Astronomía y Exploración Espacial
Grado y posgrado (física, matemáticas, ingeniería)

Educación Universitaria

Rigor completo: EDOs, cálculo variacional, tensores y métodos numéricos.

8 módulos 33 lecciones

01

Astronomía esférica y tiempo

Matemáticas: Trigonometría esférica, matrices de rotación

  • Trigonometría esférica y coordenadas celestes

    Fórmulas de los cosenos y de los senos, el triángulo de posición, la transformación ecuatorial → horizontal, el tiempo sidéreo, ortos y ocasos, y la proyección estereográfica de un planisferio.

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  • Escalas de tiempo

    UT1, UTC, TAI, TT y TDB; segundos intercalares y ΔT; día juliano y fecha juliana modificada; ángulo de rotación de la Tierra y tiempo sidéreo (fórmula IAU 2006 y fórmula clásica), con un ejemplo resuelto verificado contra los boletines del IERS.

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  • Precesión, nutación, aberración y refracción

    Las cuatro correcciones que separan las coordenadas de catálogo de la dirección en que hay que apuntar: precesión general (IAU 2006), nutación (término de 18.6 años), aberración anual (κ = 20.49552″) y refracción atmosférica (Bennett y Saemundsson), con la reducción completa de una estrella como ejemplo.

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02

Mecánica celeste

Matemáticas: EDOs, mecánica hamiltoniana, perturbaciones

  • El problema de dos cuerpos

    Reducción a un cuerpo, integrales de energía y momento angular, vector de Laplace–Runge–Lenz y ecuación de la órbita (Binet), verificado sobre el vector de estado de Marte de JPL Horizons en J2000.

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  • La ecuación de Kepler y su resolución numérica

    Del problema de dos cuerpos a la ecuación trascendente M = E − e sin E: deducción geométrica, Newton–Raphson con análisis de convergencia y de condicionamiento, versiones hiperbólica y parabólica, y verificación con las anomalías de Marte en J2000 (JPL Horizons).

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  • Elementos orbitales y conversión estado ↔ elementos

    Los seis elementos keplerianos, el sistema perifocal y las matrices de rotación R₃(−Ω)R₁(−i)R₃(−ω); algoritmos de conversión en ambos sentidos con casos degenerados, verificados sobre el vector de estado de Marte en J2000 (JPL Horizons).

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  • El problema restringido de tres cuerpos y los puntos de Lagrange

    Ecuaciones en el marco rotante, integral de Jacobi, curvas de velocidad cero de Hill, cálculo de L1–L5 y estabilidad lineal de los puntos triangulares (criterio de Routh), con aplicaciones a los troyanos de Júpiter, el sistema Tierra–Luna y la órbita del JWST en Sol–Tierra L2.

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  • Teoría de perturbaciones y el achatamiento de la Tierra

    Elementos osculadores, ecuaciones planetarias de Gauss y de Lagrange, función perturbadora promediada del armónico J₂ y sus consecuencias: regresión nodal, inclinación crítica y órbitas heliosíncronas, con valores verificados para la ISS, GPS, Landsat 8 y Sentinel-2.

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  • Resonancias y caos

    Resonancias de movimiento medio y el modelo del péndulo, los huecos de Kirkwood y la resonancia 3:2 Plutón–Neptuno, el mapa estándar de Chirikov como laboratorio del caos hamiltoniano (puntos fijos, solapamiento de resonancias, exponente de Lyapunov) y el enunciado del teorema KAM.

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  • Transferencias de Hohmann y asistencias gravitatorias

    Maniobras impulsivas: la transferencia de Hohmann y su optimalidad, la bielíptica, escape y captura con cónicas empalmadas, ventanas de lanzamiento Tierra–Marte (periodo sinódico, ángulo de fase, tiempo de espera) y la asistencia gravitatoria, con Δv calculados a partir de datos de JPL y NASA.

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03

Métodos numéricos en astrofísica

Matemáticas: Integradores simplécticos, estabilidad, error

  • Integradores simplécticos y caos en el problema de N cuerpos

    Por qué el leapfrog conserva la energía durante tiempos largos y RK4 no, y cómo medir la sensibilidad a las condiciones iniciales con el exponente de Lyapunov, en la figura en ocho y en el problema pitagórico.

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  • Runge–Kutta y paso adaptativo

    De Euler a RK4 y a los pares encajados RKF45 y Dormand–Prince: orden, error local y global, control automático del paso y su aplicación a una órbita muy excéntrica, con tablas de error medidas.

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  • N cuerpos a gran escala y el árbol de Barnes–Hut

    Por qué la suma directa cuesta O(N²) y cómo el árbol de octantes con criterio de apertura θ la reduce a O(N log N); suavizado gravitatorio de Plummer y su error; el teorema del virial como diagnóstico de una simulación.

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04

Astrofísica estelar

Matemáticas: EDOs acopladas, Lane–Emden, transferencia radiativa

  • Las ecuaciones de estructura estelar

    Equilibrio hidrostático, continuidad de masa, conservación de energía y transporte: el sistema de cuatro EDOs que describe una estrella, sus condiciones de contorno y lo que el análisis dimensional ya predice sobre el centro del Sol.

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  • Politropos y la ecuación de Lane–Emden

    Del equilibrio hidrostático y la ecuación de Poisson a la ecuación de Lane–Emden, sus soluciones exactas, su resolución numérica y la relación masa–radio que conduce a la masa de Chandrasekhar.

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  • Transporte radiativo y convectivo

    De la difusión de fotones al gradiente radiativo, la opacidad media de Rosseland y la ley de Kramers; el criterio de Schwarzschild y la teoría de la longitud de mezcla aplicados a la zona convectiva del Sol.

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  • Nucleosíntesis estelar y neutrinos solares

    Cadena protón–protón (ramas I–III) y ciclo CNO con energías verificadas; derivación del factor de Gamow y del pico de Gamow; dependencia ε ∝ ρT^ν; y la confirmación experimental con los neutrinos solares de Borexino.

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  • El límite de Chandrasekhar

    Del gas de electrones degenerados a los politropos n = 3/2 y n = 3; derivación de la masa de Chandrasekhar, relación masa–radio de las enanas blancas y contraste con Sirio B.

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05

Dinámica galáctica

Matemáticas: Ecuación de Boltzmann sin colisiones, potenciales

06

Relatividad general y objetos compactos

Matemáticas: Geometría diferencial, geodésicas

  • Geodésicas de Schwarzschild: órbitas y luz alrededor de un agujero negro

    De la métrica de Schwarzschild a la precesión de Mercurio, la ISCO, la desviación de la luz y la sombra de un agujero negro, con integración numérica de las geodésicas.

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  • La precesión del perihelio de Mercurio

    Derivación perturbativa de Δφ = 6πGM/[c²a(1−e²)], los 42.98″ por siglo, la historia de Le Verrier a Einstein y el presupuesto completo de la precesión observada con datos de MESSENGER.

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  • Desviación de la luz y lentes gravitacionales

    Derivación del ángulo 4GM/(c²b) = 1.75″ en el limbo solar, el eclipse de 1919 con sus cautelas historiográficas, el radio de Einstein y las lentes fuertes y débiles, y las medidas VLBI y Cassini del parámetro γ.

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  • Ondas gravitacionales: del cuadrupolo a GW150914

    La fórmula del cuadrupolo, la potencia radiada por una binaria, la masa de chirp y el chirrido, el púlsar de Hulse–Taylor (Weisberg & Huang 2016) y la primera detección directa, GW150914 (Abbott et al. 2016).

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07

Cosmología

Matemáticas: Ecuaciones de Friedmann, integrales de distancia

  • Las ecuaciones de Friedmann

    De la métrica FLRW a la dinámica del factor de escala a(t), con soluciones analíticas, edad del universo, desaceleración y distancias cosmológicas.

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  • Distancias cosmológicas

    Distancia comóvil, de luminosidad y de diámetro angular en FLRW: derivación desde la métrica, integrales en ΛCDM, el máximo de la distancia de diámetro angular, cálculo numérico con Planck 2018 y el diagrama de Hubble de supernovas Ia.

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  • Fondo cósmico de microondas y nucleosíntesis primordial

    Termodinámica del CMB (T₀ = 2.72548 K), recombinación con la ecuación de Saha y desacoplamiento en z ≈ 1090, espectro de potencias y picos acústicos, y nucleosíntesis primordial: Y_p, D/H y el cociente bariones/fotones η confrontados con PDG 2025 y Planck 2018.

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  • Inflación cósmica

    Los problemas del horizonte y de la planitud derivados cuantitativamente, la inflación como fase de expansión acelerada, el campo escalar en rodadura lenta, los ≈ 60 e-folds necesarios, y las predicciones n_s y r confrontadas con Planck 2018 y BICEP/Keck 2021.

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08

Exoplanetas y astrofísica observacional

Matemáticas: Estadística bayesiana, series temporales, Fourier

  • Tránsitos y curvas de luz

    Geometría del tránsito en órbita circular: T₁₄ y T₂₃, área de intersección de dos círculos, oscurecimiento al limbo, densidad estelar, degeneraciones, probabilidad geométrica y relación señal/ruido.

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  • El método de la velocidad radial

    Derivación de la curva de velocidad radial y de la semiamplitud K, función de masa y masa mínima m sin i, el caso de 51 Pegasi b (Mayor & Queloz 1995), presupuesto de errores y límites instrumentales de HARPS y ESPRESSO.

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  • Periodogramas de Lomb–Scargle

    Búsqueda de periodicidades en series con muestreo irregular: del periodograma clásico al de Lomb–Scargle por mínimos cuadrados, ventana espectral y alias, rejilla de frecuencias, probabilidad de falsa alarma (Baluev, bootstrap) y un ejemplo computacional con una serie tipo 51 Peg.

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  • Inferencia bayesiana y MCMC

    Teorema de Bayes, verosimilitud gaussiana y priors; el algoritmo de Metropolis–Hastings con demostración del balance detallado; diagnósticos de convergencia (Gelman–Rubin, autocorrelación, tamaño efectivo); emcee; ejemplo completo ajustando una curva de velocidad radial.

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