Transporte radiativo y convectivo

1. Motivación: el cuello de botella de la energía

El Sol genera $3.8\times10^{26}$ W en su núcleo, pero un fotón emitido en el centro no sale directamente: el camino libre medio en el interior es del orden del milímetro, y la energía tarda del orden de $10^5$ años en alcanzar la superficie. La opacidad del material controla cuán empinado debe ser el gradiente de temperatura para que la luminosidad atraviese cada capa; si el gradiente requerido es demasiado grande, el gas se vuelve inestable y la convección toma el relevo. El Sol tiene un interior radiativo y una envoltura convectiva que empieza en $r = 0.713\pm0.001\,R_\odot$ (Basu & Antia 1997, por heliosismología). Esta lección deriva las herramientas para entender ese valor.

2. Transporte radiativo: de la ecuación de transferencia a la difusión

2.1 Ecuación de transferencia

Sea $I_\nu(\mathbf r,\hat{\mathbf n})$ la intensidad específica (W m⁻² Hz⁻¹ sr⁻¹) en la dirección $\hat{\mathbf n}$. A lo largo de un rayo, con $\kappa_\nu$ la opacidad (m² kg⁻¹) y $j_\nu$ la emisividad por unidad de masa,

En el interior estelar el camino libre medio $\ell_\nu = 1/(\kappa_\nu\rho)$ es minúsculo frente a la escala de variación de $T$, de modo que el campo de radiación es casi isótropo y casi planckiano: en equilibrio termodinámico local (ETL) $j_\nu = \kappa_\nu B_\nu(T)$ (ley de Kirchhoff), con $B_\nu$ la función de Planck.

2.2 Aproximación de difusión

Escribamos $I_\nu = B_\nu(T) + I_\nu^{(1)}$ con $I_\nu^{(1)}$ una pequeña corrección anisótropa. En simetría esférica, con $\mu = \cos\theta$ el coseno del ángulo respecto a la dirección radial, $ds = dr/\mu$, y a primer orden la ecuación de transferencia da

El flujo radial monocromático es la integral angular de $I_\nu\mu$; el término isótropo $B_\nu$ no contribuye y

Esta es una ley de Fick: el flujo es proporcional al gradiente de la densidad de energía, con coeficiente de difusión $c\ell_\nu/3$. La hipótesis clave, $|I^{(1)}_\nu|\ll B_\nu$, equivale a $\ell_\nu\ll T/|dT/dr|$, que falla solo en la atmósfera.

2.3 Opacidad media de Rosseland

El flujo total es $F = \int_0^\infty F_\nu\,d\nu$. Para escribirlo con una sola opacidad definimos la media de Rosseland $\kappa_R$ por

Entonces (1) integrada en frecuencia da

con $L = 4\pi r^2F$. Dos observaciones:

• $\kappa_R$ es una media armónica: pesa las frecuencias transparentes (donde $1/\kappa_\nu$ es grande). La radiación escapa por las «ventanas» del espectro, como el agua por los agujeros de un cubo.
• El peso $\partial B_\nu/\partial T$ (no $B_\nu$) tiene su máximo en $h\nu\approx3.83\,k_BT$, algo por encima del pico de Planck ($h\nu\approx2.82\,k_BT$): lo que importa es dónde el espectro cambia más con $T$.

Observa en el simulador cómo se desplaza el máximo de $B_\lambda$ con la temperatura y, mentalmente, dónde estaría el peso de Rosseland (hacia frecuencias algo mayores, es decir, longitudes de onda menores). A $T = 2\times10^6$ K (base de la zona convectiva solar) el peso cae en el rango de rayos X blandos, $\lambda\sim 2$ nm.

2.4 Gradiente radiativo y luminosidad de Eddington

Con el gradiente logarítmico $\nabla\equiv d\ln T/d\ln P$ y el equilibrio hidrostático (lección 0, ejercicio 1):

Si $P\approx P_{\rm rad} = aT^4/3$ (estrellas muy masivas), $\nabla_{\rm rad} = \dfrac{\kappa_RL}{16\pi cGm}$, y como $\nabla\le1$ para que la presión de radiación no se invierta, la luminosidad está acotada por la luminosidad de Eddington

con $\kappa_R = \kappa_{\rm es}$ para $X = 0.7$. Por encima de ella la radiación expulsa la envoltura.

3. Fuentes de opacidad y ley de Kramers

3.1 Dispersión electrónica (Thomson)

Cada electrón libre dispersa con sección eficaz $\sigma_T = 6.6525\times10^{-29}$ m² (CODATA 2018), independiente de la frecuencia. Con $n_e = \rho(1+X)/(2m_u)$ para gas totalmente ionizado (ejercicio 2),

No depende de $\rho$ ni de $T$: es el suelo de la opacidad a altas temperaturas.

3.2 Absorción ligado-libre y libre-libre: Kramers

La fotoionización (ligado-libre, bf) y el bremsstrahlung inverso (libre-libre, ff) tienen secciones eficaces $\propto\nu^{-3}$ (Kramers 1923). Al promediar con Rosseland (ejercicio 6) se obtiene la ley de Kramers $\kappa\propto\rho T^{-7/2}$. Con los ajustes de Carroll & Ostlie (§9.2), convertidos a SI:

con $\rho$ en kg m⁻³, $T$ en K, $g_{\rm bf}, g_{\rm ff}\sim1$ los factores de Gaunt (corrección cuántica) y $t\sim1$–$100$ el factor de «guillotina», que corrige la pérdida de electrones ligados a alta ionización. El factor $Z$ en $\kappa_{\rm bf}$ es decisivo: los metales, aunque sean el 2 % de la masa, dominan la opacidad ligado-libre porque el H y el He ya están completamente ionizados por encima de $\sim10^5$ K.

3.3 El ion H⁻ y los límites de Kramers

En atmósferas frías ($T\lesssim10^4$ K) la opacidad dominante es la del ion negativo H⁻ (energía de ligadura 0.754 eV), cuya abundancia crece con la densidad de electrones libres, suministrados por los metales de bajo potencial de ionización. El resultado es $\kappa_{\rm H^-}\propto Z\,\rho^{1/2}\,T^{9}$: la opacidad crece con la temperatura, al revés que Kramers. Por debajo de $\sim3000$ K dominan las moléculas y el polvo. Las tablas modernas (OPAL, OP) integran millones de transiciones; Kramers sigue siendo la aproximación analítica útil entre $10^4$ y $10^7$ K.

Ejemplo (centro del Sol). Con $\rho_c = 1.527\times10^5$ kg m⁻³, $T_c = 1.5696\times10^7$ K, $X_c = 0.340$, $Z_c = 0.0198$ (BP2000): $\kappa_{\rm es} = 0.0268$, $\kappa_{\rm ff}\approx0.048$ ($g_{\rm ff} = 1$) y $\kappa_{\rm bf}\approx0.11\,(g_{\rm bf}/t)/0.1$ m² kg⁻¹. Con $g_{\rm bf}/t\sim0.1$ las tres contribuciones son comparables, $\kappa_R\sim0.1$–$0.2$ m² kg⁻¹ (1–2 cm² g⁻¹): el centro del Sol es solo un orden de magnitud más opaco que la dispersión Thomson pura.

4. Convección I: el criterio de Schwarzschild

4.1 Derivación

Consideremos una burbuja de gas en $r$ que se desplaza $\delta r\gt0$ hacia arriba lo bastante deprisa para no intercambiar calor (adiabática) y lo bastante despacio para mantener el equilibrio de presión con el entorno (subsónica). Su densidad cambia según

mientras que el entorno cambia según $\delta\rho_{\rm e} = \dfrac{d\rho}{dr}\delta r$. La burbuja sigue subiendo (inestabilidad) si queda menos densa que el entorno, $\delta\rho_{\rm b}\lt\delta\rho_{\rm e}$. Para gas ideal $\rho\propto P/T$ (a $\mu$ fijo), $\ln\rho = \ln P - \ln T + \text{const}$, y

Como $d\ln P/dr\lt0$, la condición $\delta\rho_{\rm b}\lt\delta\rho_{\rm e}$ se convierte en $(1-\nabla_{\rm ad})\gt(1-\nabla)$, es decir, el criterio de Schwarzschild (1906):

donde hemos puesto $\nabla = \nabla_{\rm rad}$ porque el gradiente real es el radiativo mientras no haya convección. Para gas ideal monoatómico $\nabla_{\rm ad} = (\gamma-1)/\gamma = 2/5$. Si $\mu$ varía con $r$ (gradientes de composición), la condición se corrige con el término de Ledoux, $\nabla_{\rm rad}\gt\nabla_{\rm ad} + \dfrac{\varphi}{\delta}\nabla_\mu$, que estabiliza las capas donde $\mu$ crece hacia dentro.

4.2 Dónde convecta una estrella

Por (4), $\nabla_{\rm rad}$ es grande donde lo son $\kappa_R$, $L/m$ o $P/T^4$:

• Núcleos convectivos ($M\gtrsim1.2\,M_\odot$): la combustión CNO, con $\varepsilon\propto T^{20}$, concentra $L$ en una masa pequeña, y $L/m$ se dispara.
• Envolturas convectivas ($M\lesssim1.3\,M_\odot$): en las capas de ionización parcial del H y el He, $\kappa$ es enorme (H⁻ y bf) y además $\nabla_{\rm ad}$ cae muy por debajo de $2/5$ porque parte del calor se invierte en ionizar ($\gamma\to1$). Ambos efectos empujan hacia (7).

En el Sol, con $L = L_\odot$, $m = 0.976\,M_\odot$ (masa interior a la base de la zona convectiva, BP2000) y $\nabla_{\rm ad} = 0.4$, el criterio (7) se lee $\kappa_RP\gt\dfrac{16\pi acGm\nabla_{\rm ad}}{3L}\,T^4 = 5.1\times10^{-13}\,T^4$ (SI). En la base de la zona convectiva, $T = 2.18\times10^6$ K (BP2000), el umbral es $\kappa_RP\gt1.2\times10^{13}$ Pa m² kg⁻¹. Hacia abajo $T^4$ crece más deprisa que $\kappa_RP$ (Kramers: $\kappa\propto\rho T^{-3.5}$) y la capa vuelve a ser radiativa; hacia arriba la ionización parcial dispara $\kappa$ y hunde $\nabla_{\rm ad}$. Por eso el límite está donde está, y por eso es tan sensible a la opacidad: un 10 % en $\kappa$ entre $2$ y $4.5\times10^6$ K mueve $R_{\rm CZ}$ lo suficiente para distinguir entre las abundancias solares antiguas y nuevas (Bahcall, Serenelli & Basu 2005).

5. Convección II: teoría de la longitud de mezcla

El criterio (7) dice si hay convección, no cuánta energía transporta ni cuál es el gradiente real $\nabla$ (entre $\nabla_{\rm ad}$ y $\nabla_{\rm rad}$). La teoría de la longitud de mezcla (Prandtl; Böhm-Vitense 1958) responde con un modelo de una sola constante libre.

Hipótesis. Las burbujas recorren una distancia $\ell_m = \alpha H_P$ antes de disolverse, con $H_P = -dr/d\ln P = P/(\rho g)$ la escala de altura de presión y $\alpha$ un parámetro de orden unidad; el exceso de temperatura y la velocidad son los acumulados a lo largo de $\ell_m/2$ en promedio.

Exceso de temperatura. Una burbuja adiabática que sube $\Delta r$ está más caliente que el entorno en

Velocidad. La fuerza de flotación por unidad de masa es $g\,\Delta\rho/\rho = g\,\Delta T/T$ (gas ideal, presión igualada). Integrando el trabajo sobre $\ell_m/2$, con un factor $1/2$ adicional por la fricción y la ineficiencia usual en esta teoría:

Flujo convectivo. Las burbujas transportan calor $\rho c_PT\,(\Delta T/T)$ por unidad de volumen con velocidad $v$; promediando $\Delta T$ sobre el recorrido ($\Delta r = \ell_m/2$):

Cierre. En el interior, $F_{\rm conv}\approx L/(4\pi r^2)$ (la convección transporta casi todo); (9) se despeja en $\Delta\nabla$. Estimación en la base de la zona convectiva solar ($r = 0.714R_\odot$, $T = 2.18\times10^6$ K, $g = GM/r^2 = 525$ m s⁻², $\alpha = 2.04$ como en BP2000, $c_P = \tfrac52k_B/(\mu m_u)$ con $\mu = 0.6$, y $\rho\sim10^2$ kg m⁻³ como orden de magnitud):

El gradiente real excede al adiabático en una parte en cuatro millones, y $v/c_s\sim3\times10^{-4}$ (velocidad del sonido $c_s = \sqrt{\gamma P/\rho}\approx2\times10^5$ m s⁻¹). Conclusión importante: en el interior profundo la convección es tan eficiente que $\nabla = \nabla_{\rm ad}$ es una aproximación excelente y los detalles de la teoría no importan. Cerca de la fotosfera, donde $\rho$ cae a $\sim10^{-4}$ kg m⁻³, $\Delta\nabla$ se vuelve de orden unidad, $v\sim$ km s⁻¹ (los gránulos solares) y el valor de $\alpha$ sí afecta al radio del modelo: por eso $\alpha$ se calibra con el Sol ($\alpha_\odot\approx2$ en la mayoría de los códigos).

6. Análisis numérico y de error

1. Media de Rosseland con malla finita. $1/\kappa_\nu$ tiene picos estrechos en las ventanas entre bordes de fotoionización y líneas; con la regla de Simpson en malla uniforme el error es $O(h^4\,f^{(4)})$, pero $f^{(4)}$ es enorme en los bordes. Se usa malla logarítmica en $\nu$ y se refina alrededor de los bordes $h\nu = \chi_i$. La media armónica es además sensible a los valores pequeños de $\kappa_\nu$: un error del 10 % en una ventana dominante se traslada casi íntegro a $\kappa_R$.
2. Propagación de $\delta\kappa$ a la estructura. De (4), $\delta\nabla_{\rm rad}/\nabla_{\rm rad} = \delta\kappa_R/\kappa_R$, y el radio de la base convectiva responde a ello de forma aproximadamente lineal: las tablas OPAL y OP difieren en $\sim2$–$3$ % en el interior solar y eso mueve $R_{\rm CZ}$ en $\sim0.002\,R_\odot$, del mismo orden que la precisión heliosísmica ($0.001\,R_\odot$). Las opacidades son hoy el límite de precisión del modelo solar.
3. Rigidez del transporte. En zonas convectivas eficientes, (9) obliga a resolver $\Delta\nabla\sim10^{-7}$ con $\nabla\sim0.4$: restar dos números casi iguales cuesta 7 cifras. Los códigos resuelven la ecuación cúbica de la longitud de mezcla en la variable $\Delta\nabla$ directamente y nunca por diferencia $\nabla-\nabla_{\rm ad}$.
4. Validez de la difusión. El error relativo de (1) es $O(\ell_\nu/H_T)$ con $H_T = T/|dT/dr|$. En el interior solar $\ell\sim10^{-3}$ m y $H_T\sim10^8$ m: $10^{-11}$. En la fotosfera $\ell\sim H_T$ y hay que resolver la ecuación de transferencia completa.

Problemas

1. Flujo de difusión. Demuestra, a partir de $I_\nu = B_\nu + I_\nu^{(1)}$ y de la ecuación de transferencia en ETL, la ecuación (1), y comprueba que el coeficiente de difusión de la densidad de energía $u_\nu = 4\pi B_\nu/c$ es $D = c\ell_\nu/3$.

2. Dispersión electrónica. Prueba que para gas totalmente ionizado $n_e = \rho(1+X)/(2m_u)$ y deduce (5). ¿Cuánto vale $\kappa_{\rm es}$ para gas de helio puro?

3. Umbral de Eddington. Demuestra que si $P = P_{\rm rad}$ domina, la condición $dP_{\rm rad}/dr\ge dP/dr$ (la radiación no puede empujar más que la gravedad) equivale a $L\le L_{\rm Edd} = 4\pi cGM/\kappa$, y evalúa $L_{\rm Edd}$ para una estrella de $100\,M_\odot$ con $\kappa = \kappa_{\rm es}$, $X = 0.7$.

4. Gradiente adiabático con ionización. Para un gas de hidrógeno parcialmente ionizado con grado de ionización $x$, demuestra que $\nabla_{\rm ad}$ cae por debajo de $2/5$ y calcula su valor mínimo aproximado en $x = 1/2$ con $\chi_H/k_BT = 10$ (indicación: use $c_P$ efectivo incluyendo $d x/dT$ a partir de la ecuación de Saha, $x^2/(1-x)\propto T^{3/2}e^{-\chi/k_BT}/\rho$).

5. Escala de la zona convectiva. Con los datos de §5, demuestra que el tiempo de vuelta de una burbuja, $\ell_m/v$, es de semanas en la base de la zona convectiva y compáralo con el tiempo de Kelvin–Helmholtz de la envoltura.

6. (Computacional) Media de Rosseland de una opacidad de Kramers. Sea $\kappa_\nu = \kappa_0(\nu_0/\nu)^3$ para $\nu\gt\nu_0$ y $\kappa_\nu = \kappa_0$ por debajo (borde de fotoionización en $h\nu_0 = \chi$). Calcula numéricamente $\kappa_R/\kappa_0$ en función de $u_0 = h\nu_0/k_BT$ con Simpson en malla logarítmica, y comprueba que para $u_0\to0$ $\kappa_R\propto T^{-3}\cdot$const (el origen del $T^{-7/2}$ de Kramers junto al factor $\rho$ y la densidad de estados).

import numpy as np
def w(u): return u**4*np.exp(-u)/np.expm1(-u)**2   # forma estable para u grande
def simpson_log(f, a, b, n=2000):          # Simpson en x = ln u (n par)
    x = np.linspace(np.log(a), np.log(b), n+1); u = np.exp(x)
    g = f(u)*u                              # du = u dx
    return (x[1]-x[0])/3*(g[0]+g[-1]+4*g[1:-1:2].sum()+2*g[2:-1:2].sum())
norm = 4*np.pi**4/15
for u0 in [0.1, 0.5, 1, 2, 4, 8]:
    num = simpson_log(w, 1e-6, u0) + simpson_log(lambda u: (u/u0)**3*w(u), u0, 60)
    print(u0, norm/num)                     # kappa_R / kappa_0

7. Núcleo convectivo. Para una estrella de $5\,M_\odot$ con combustión CNO, $\varepsilon\propto T^{18}$, demuestra que cerca del centro $L/m\to\varepsilon_c$ y que $\nabla_{\rm rad}(0) = \dfrac{3\kappa_cP_c\varepsilon_c}{16\pi acGT_c^4}$. Explica cualitativamente por qué el núcleo convectivo se extiende más allá del punto donde $\varepsilon$ se hace despreciable.

Lecturas

• Kippenhahn, Weigert & Weiss (2012), Stellar Structure and Evolution, cap. 5 (transporte radiativo y conductivo), 6 (estabilidad: Schwarzschild y Ledoux), 7 (longitud de mezcla), 17 (opacidades).
• Carroll & Ostlie (2017), §9.2 (fuentes de opacidad, ley de Kramers) y §10.4 (transporte y criterio de convección).
• Hansen, Kawaler & Trimble (2004), Stellar Interiors, cap. 4 (opacidades) y 5 (transporte de energía, longitud de mezcla).
• Böhm-Vitense (1958), Z. Astrophys. 46, 108 — formulación original de la teoría de la longitud de mezcla.
• Basu & Antia (1997), MNRAS 287, 189, DOI 10.1093/mnras/287.1.189 — profundidad de la zona convectiva solar por heliosismología.
• Bahcall, Serenelli & Basu (2005), ApJ 621, L85, DOI 10.1086/428929 — sensibilidad del modelo solar a la opacidad.
• Iglesias & Rogers (1996), ApJ 464, 943, DOI 10.1086/177381 — tablas de opacidad OPAL.