Inflación cósmica

1. Motivación: dos coincidencias insoportables

El modelo del Big Bang caliente explica el CMB, la nucleosíntesis y la expansión, pero deja dos preguntas sin respuesta dentro de su propia lógica. Primera: el CMB tiene la misma temperatura, con precisión de $10^{-5}$, en direcciones del cielo que, según el propio modelo, nunca estuvieron en contacto causal. Segunda: la densidad del universo es hoy igual a la crítica con precisión del 0.2 %, lo que exige que en la época de Planck lo fuera con precisión de $10^{-60}$. Guth (1981) propuso que una fase de expansión acelerada en los primeros $10^{-35}$ s resuelve ambas y, como regalo, genera las semillas de la estructura. Esta lección cuantifica los problemas, deriva la solución y confronta sus predicciones ($n_s$, $r$) con Planck y BICEP/Keck.

2. El problema del horizonte

Horizonte de partículas

La máxima distancia propia que una señal luminosa ha podido recorrer desde $t = 0$ hasta $t$ es el horizonte de partículas

Para $a \propto t^n$ con $n < 1$ la integral converge: $d_{\rm hor} = ct/(1-n)$. Así, en la era de radiación ($n = 1/2$) $d_{\rm hor} = 2ct$ y en la de materia ($n = 2/3$) $d_{\rm hor} = 3ct$ (problema 1). En el universo real, con radiación y materia, la versión comóvil es

que horizonteParticulas (en distanciasCosmologicas.ts) integra en la variable $u = \sqrt{a}$. Con Planck 2018, $\chi_{\rm hor}(z_\ast = 1090) = 281$ Mpc (0.26 Mpc propios) y $\chi_{\rm hor}(0) = 14\,160$ Mpc.

El ángulo del horizonte en el CMB

Dos puntos de la superficie de última dispersión separados hoy por un ángulo $\theta$ distaban entre sí $\theta\,D_M(z_\ast)$ (comóvil). Pudieron intercambiar señales solo si $\theta\,D_M \lesssim \chi_{\rm hor}(z_\ast)$, luego

En Einstein–de Sitter la expresión es cerrada: $\chi_{\rm hor} = 2D_H/\sqrt{1+z}$ y $D_M = 2D_H(1 - 1/\sqrt{1+z})$, luego $\theta_{\rm hor} = 1/(\sqrt{1+z_\ast} - 1) = 1.8^\circ$ (problema 1; el valor menor en ΛCDM se debe a la radiación, que acorta el horizonte temprano). El cielo contiene $4\pi/(\pi\theta_{\rm hor}^2) \approx 4/\theta_{\rm hor}^2 \approx 10^4$ regiones causalmente desconectadas en $z_\ast$, todas con la misma temperatura. En el Big Bang estándar no hay mecanismo físico que lo explique: es una condición inicial.

3. El problema de la planitud

De la primera ecuación de Friedmann, $H^2 = \tfrac{8\pi G}{3c^2}\varepsilon - \tfrac{kc^2}{R_0^2a^2}$, dividiendo por $H^2$ y con $\Omega(t) \equiv \varepsilon/\varepsilon_c(t)$:

donde $\Omega_k$ es el parámetro de curvatura actual. El denominador $a^2E^2 = (\dot a/H_0)^2$ es el cuadrado de la velocidad de expansión: en un universo desacelerado $\dot a$ decrece y $|\Omega - 1|$ crece con el tiempo. En la era de radiación $a^2E^2 \approx \Omega_r a^{-2}$ y $|\Omega - 1| \approx |\Omega_k|\,a^2/\Omega_r$; en la de materia, $\propto a$. Planck 2018 (+BAO) mide $\Omega_k = 0.001 \pm 0.002$; tomando $|\Omega_k| \le 0.005$ y $\Omega_r = 9.1\times10^{-5}$, con $a = T_0/T$:

Un universo que nace con $|\Omega - 1| \sim 1$ en la época de Planck recolapsa o se vacía en un tiempo de Planck. Que hoy $\Omega \approx 1$ exige un ajuste inicial de una parte en $10^{60}$. (El modelo también predice una densidad inaceptable de monopolos magnéticos si hubo una transición de gran unificación; la inflación los diluye.)

4. Inflación: expansión acelerada

Ambos problemas tienen la misma raíz: el radio de Hubble comóvil $(aH)^{-1} = (\dot a)^{-1}$ crece en un universo desacelerado, así que las escalas comóviles entran continuamente en contacto causal y la curvatura comóvil crece. Una fase con

(por la ecuación de aceleración) invierte las dos tendencias. Si durante la inflación $H \approx H_I$ es constante, $a \propto e^{H_It}$ (de Sitter) y en $N \equiv \ln(a_{\rm fin}/a_{\rm ini}) = H_I\,\Delta t$ e-folds el radio de Hubble comóvil se reduce en $e^{-N}$ y $|\Omega - 1| \propto (aH)^{-2}$ cae en $e^{-2N}$.

¿Cuántos e-folds?

Para que todo el cielo del CMB (y, de hecho, todo el universo observable) estuviera dentro de una región causal al empezar la inflación, el radio de Hubble comóvil inicial debe ser mayor que el actual:

con $a_e$ el final de la inflación. Suponiendo recalentamiento instantáneo a temperatura $T_e$ y expansión adiabática desde entonces, $a_e/a_0 = (T_0/T_e)(g_{s,0}/g_{s,e})^{1/3}$ (conservación de la entropía; $g_{s,0} = 3.91$, $g_{s,e} = 106.75$ en el modelo estándar), y $H_I^2 = \tfrac{8\pi G}{3c^2}\cdot\tfrac{\pi^2}{30}g_\ast\frac{(k_BT_e)^4}{(\hbar c)^3}$. El cálculo numérico (hecho con las constantes de la librería) da

es decir $N_{\min} \approx 60 + \ln(T_e/10^{15}\ \mathrm{GeV})$: unos 60 e-folds, un factor $e^{60} \approx 10^{26}$ en tamaño. La condición de planitud da lo mismo: para que $|\Omega - 1|_{\rm fin} \lesssim 10^{-56}$ (tabla de §3, escala GUT) partiendo de $|\Omega - 1|_{\rm ini} \sim 1$ hace falta $e^{-2N} \lesssim 10^{-56}$, $N \gtrsim 64$. Que ambos números coincidan no es casual: los dos problemas son el mismo enunciado sobre $(aH)^{-1}$.

5. Dinámica del inflatón en rodadura lenta

Un campo escalar homogéneo $\phi(t)$ con potencial $V(\phi)$ tiene, en unidades naturales ($\hbar = c = 1$, masa de Planck reducida $M_{\rm Pl} = (8\pi G)^{-1/2} = 2.435\times10^{18}$ GeV),

Si la energía potencial domina, $P \approx -\varepsilon$: justo la ecuación de estado que acelera. Las ecuaciones de Friedmann y de Klein–Gordon (que es la ecuación de fluido para este $\varepsilon$ y $P$) son

con $V' = dV/d\phi$: un oscilador con fricción $3H$. La rodadura lenta supone $\tfrac12\dot\phi^2 \ll V$ y $|\ddot\phi| \ll 3H|\dot\phi|$, de modo que

La validez de ambas aproximaciones se controla con los parámetros de rodadura lenta

(problema 4: $\epsilon_V \simeq -\dot H/H^2 = \tfrac32\dot\phi^2/V$). La inflación termina cuando $\epsilon_V = 1$. El número de e-folds entre $\phi$ y $\phi_e$ es

Ejemplo: V = ½ m²φ²

$V'/V = 2/\phi$, $V''/V = 2/\phi^2$, luego $\epsilon_V = \eta_V = 2M_{\rm Pl}^2/\phi^2$; fin en $\phi_e = \sqrt2 M_{\rm Pl}$ y

Para $N = 60$, $\phi = 15.6\,M_{\rm Pl}$ (inflación «de campo grande») y $\epsilon_V = 1/(2N + 1) \approx 1/121$. La masa $m$ se fija con la amplitud de las fluctuaciones (§6): $m \approx 6\times10^{-6}M_{\rm Pl} \approx 1.5\times10^{13}$ GeV.

Fin de la inflación y recalentamiento

Cuando $\epsilon_V \to 1$ el campo cae al mínimo y oscila; su acoplamiento a otros campos lo desintegra en partículas relativistas que termalizan a $T_{\rm reh} \lesssim (30\,V_e/\pi^2 g_\ast)^{1/4}$. Desde ahí sigue el Big Bang caliente estándar. La inflación no sustituye al Big Bang: lo precede y le fija las condiciones iniciales.

6. Perturbaciones primordiales: n_s y r

Durante la inflación las fluctuaciones cuánticas del inflatón, $\delta\phi \simeq H/2\pi$ por modo que cruza el horizonte, se convierten en perturbaciones de curvatura $\zeta = -H\,\delta\phi/\dot\phi$ que se congelan fuera del horizonte y reentran después como las semillas del CMB y de las galaxias. Sus espectros de potencias (Dodelson & Schmidt 2020, cap. 7; Baumann 2022, cap. 8) son

y como $H$ y $\epsilon_V$ varían lentamente mientras los modos salen del horizonte,

(problema 5). Dos consecuencias generales: $n_s$ ligeramente menor que 1 (porque $\epsilon_V > 0$ y, típicamente, $\eta_V < 0$ cerca de un máximo o una meseta), y un fondo de ondas gravitacionales primordiales cuya amplitud mide directamente la escala de energía de la inflación:

Datos

• Planck 2018 X (TT,TE,EE+lowE+lensing): $n_s = 0.9649 \pm 0.0042$ (68 %), $\ln(10^{10}A_s) = 3.044 \pm 0.014$, es decir $A_s = 2.10\times10^{-9}$ en $k_\ast = 0.05$ Mpc⁻¹; sin evidencia de variación de $n_s$ con la escala; $r_{0.002} < 0.10$ (95 %) con Planck solo y $r_{0.002} < 0.056$ combinando con BICEP2/Keck 2015.
• BICEP/Keck 2021 (BK18 + Planck + WMAP): $r_{0.05} < 0.036$ (95 %), con $\sigma(r) = 0.009$ (PRL 127, 151301).

Luego $V^{1/4} < 1.4\times10^{16}$ GeV y $H_I < 4.7\times10^{13}$ GeV: la inflación ocurrió, como mucho, a la escala de gran unificación. Que $n_s \ne 1$ a más de 8 σ es la confirmación más clara de que el espectro primordial no es exactamente invariante de escala, como predice cualquier potencial con pendiente.

Dos modelos frente a los datos

(problemas 4 y 5). El plano $(n_s, r)$ de Planck 2018 X, figura 8, ya descarta los monomios $\phi^p$ con $p \ge 2$ y favorece potenciales en «meseta» como el de Starobinsky o Higgs no mínimamente acoplado. La próxima generación (LiteBIRD, CMB-S4) apunta a $\sigma(r) \sim 10^{-3}$, suficiente para detectar $r = 0.003$.

7. Análisis numérico

Para integrar la ecuación de Klein–Gordon sin la aproximación de rodadura lenta se escribe el sistema de primer orden en $y = (\phi, \dot\phi, \ln a)$ con $H$ de la ligadura de Friedmann (en unidades $M_{\rm Pl} = 1$):

Con RK4 (rk4Step de la librería) y paso $h = 0.01/H$ el error de $N$ es $O(h^4)$; comprobación: la solución de rodadura lenta $\phi(t) = \phi_i - \sqrt{2/3}\,m\,t$ (para $V = \tfrac12m^2\phi^2$) debe reproducirse hasta $\epsilon_V \sim 0.1$, y el valor numérico de $N$ desde $\phi_i = 15.6$ debe ser $60 \pm 1$ (problema 6). La fase de oscilaciones finales, con $H \ll m$, exige reducir el paso a $h \ll 1/m$; un integrador de paso fijo que no lo haga «explota» precisamente ahí.

8. Simulador

Elige el modelo de Sitter ($\Omega_\Lambda = 1$): es la inflación eterna en miniatura. Observa que $a(t)$ no tiene Big Bang y que la curva es una exponencial. Con $H_0 = 67.66$ km s⁻¹ Mpc⁻¹, ¿cuántos Gyr hacen falta para un e-fold? ¿Y para 60? Compáralo con los $\sim 60/H_I \approx 3\times10^{-35}$ s de la inflación a $10^{15}$ GeV.

Problemas

1. (Demostración) Horizontes. (a) Demuestra que para $a \propto t^n$ ($n < 1$) $d_{\rm hor} = ct/(1-n)$. (b) En Einstein–de Sitter demuestra $\theta_{\rm hor}(z) = 1/(\sqrt{1+z} - 1)$ y evalúalo en $z_\ast = 1090$. (c) ¿Por qué con radiación el ángulo es menor?

2. (Demostración) Planitud. A partir de la primera ecuación de Friedmann demuestra $|\Omega(t) - 1| = |\Omega_k|/(a^2E^2)$ y que crece como $a^2$ en la era de radiación y como $a$ en la de materia. Comprueba el valor de la tabla de §3 para la nucleosíntesis.

3. e-folds. Reproduce la fila $T_e = 10^{15}$ GeV de la tabla de §4: calcula $H_I$ con $g_\ast = 106.75$ y $N_{\min} = \ln[a_eH_I/(a_0H_0)]$ con $H_0 = 67.36$ km s⁻¹ Mpc⁻¹. ¿Cómo cambia $N_{\min}$ si el recalentamiento no es instantáneo y la energía se diluye como materia (oscilaciones del inflatón) durante un factor $10^3$ en $a$?

4. (Demostración) Rodadura lenta. (a) Demuestra que $-\dot H/H^2 = \tfrac32\dot\phi^2/(\tfrac12\dot\phi^2 + V)$ exactamente y que en rodadura lenta vale $\epsilon_V$. (b) Para $V = \tfrac12m^2\phi^2$ obtén $N(\phi)$, $n_s(N)$ y $r(N)$ y evalúalos en $N = 50$ y $60$.

5. (Demostración) Starobinsky. Para $V = \Lambda^4(1 - e^{-x})^2$ con $x = \sqrt{2/3}\,\phi/M_{\rm Pl}$, demuestra que para $x \gg 1$: $\epsilon_V \simeq \tfrac43e^{-2x}$, $\eta_V \simeq -\tfrac43e^{-x}$, $N \simeq \tfrac34e^{x}$, y por tanto $n_s \simeq 1 - 2/N$, $r \simeq 12/N^2$.

6. (Computacional) Klein–Gordon con RK4. Integra el sistema de §7 para $V = \tfrac12m^2\phi^2$ con $m = 1$ (unidades $M_{\rm Pl} = 1$), $\phi_i = 15.6$, $\dot\phi_i = -\sqrt{2/3}$ (valor de rodadura lenta). Registra $N(t) = \ln a$, $\epsilon_H = -\dot H/H^2$ y detén la integración en $\epsilon_H = 1$. ¿Cuánto vale $N$ total? Repite con paso doble y mitad y estima el error.

import numpy as np
def rhs(y, m=1.0):
    phi, v, lna = y
    H = np.sqrt((0.5 * v**2 + 0.5 * m**2 * phi**2) / 3)
    return np.array([v, -3 * H * v - m**2 * phi, H])
def rk4(y, h):
    k1 = rhs(y); k2 = rhs(y + h/2*k1); k3 = rhs(y + h/2*k2); k4 = rhs(y + h*k3)
    return y + h/6*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)
for h in (0.02, 0.01, 0.005):
    y = np.array([15.6, -np.sqrt(2/3), 0.0]); eps = 0
    while eps < 1:
        y = rk4(y, h)
        H2 = (0.5*y[1]**2 + 0.5*y[0]**2)/3
        eps = 1.5*y[1]**2/(0.5*y[1]**2 + 0.5*y[0]**2)   # ε_H exacto (problema 4a)
    print(h, y[2])

7. Escala de energía. Con $A_s = 2.10\times10^{-9}$: (a) obtén $V^{1/4}$ y $H_I$ para $r = 0.036$ y para $r = 0.003$; (b) para $V = \tfrac12m^2\phi^2$ deduce $m$ de $A_s$ con $N = 60$.

Lecturas

• Guth, A. H. (1981), Phys. Rev. D 23, 347: el artículo original, con los problemas del horizonte, la planitud y los monopolos.
• Ryden, B. (2017). Introduction to Cosmology, 2.ª ed., cap. 10: exposición cuantitativa a nivel de esta lección.
• Dodelson, S. & Schmidt, F. (2020). Modern Cosmology, 2.ª ed., cap. 7: generación de perturbaciones y derivación de $n_s$ y $r$.
• Baumann, D. (2022). Cosmology, caps. 4 y 8: rodadura lenta, e-folds y fluctuaciones cuánticas con todo detalle.
• Weinberg, S. (2008). Cosmology, cap. 4 y §10.3.
• Planck Collaboration (2020), A&A 641, A10 (Planck 2018 X), figura 8: el plano $(n_s, r)$ con los modelos; BICEP/Keck (2021), PRL 127, 151301.