El límite de Chandrasekhar

1. Motivación: una estrella del tamaño de la Tierra con la masa del Sol

Sirio B, la compañera de la estrella más brillante del cielo, tiene una masa dinámica de $1.018\pm0.011\,M_\odot$ y un radio de $0.008098\pm0.000046\,R_\odot = 5634$ km (Bond et al. 2017), menor que el de la Tierra. Su densidad media es $2.7\times10^9$ kg m⁻³, dos millones de veces la del Sol. A esa densidad, un gas ideal clásico a la temperatura de Sirio B ($T_{\rm ef} = 25\,369$ K) no podría sostenerla: la presión necesaria, $\sim GM^2/R^4\sim10^{23}$ Pa, exigiría temperaturas de $10^9$ K que la estrella no tiene y que la harían brillar diez mil veces más. Fowler (1926) resolvió la paradoja con la estadística de Fermi–Dirac, recién formulada: los electrones son fermiones, no pueden ocupar el mismo estado, y a alta densidad ejercen una presión de degeneración que no depende de la temperatura. Chandrasekhar (1931), con diecinueve años y en el barco que lo llevaba a Cambridge, advirtió que si los electrones se vuelven relativistas esa presión deja de bastar: existe una masa máxima. Esta lección la deriva.

2. El gas de electrones completamente degenerado

2.1 Momento de Fermi

A $T = 0$ los electrones llenan todos los estados de momento $p\le p_F$. Cada celda del espacio de fases de volumen $h^3$ aloja dos electrones (espín), así que la densidad numérica es

La densidad de masa la aportan los iones: $\rho = \mu_e m_u n_e$, con $\mu_e$ el número de nucleones por electrón ($\mu_e = 2$ para ⁴He, ¹²C, ¹⁶O; $\mu_e = 1$ para hidrógeno; $\mu_e = 2.15$ para ⁵⁶Fe). Es útil el parámetro de Fermi $x\equiv p_F/(m_ec)$, que mide cuán relativistas son los electrones más energéticos:

Para $\mu_e = 2$, $x = 1$ ocurre en $\rho = 1.95\times10^9$ kg m⁻³ ($1.95\times10^6$ g cm⁻³): justo la densidad media de Sirio B. Las enanas blancas viven en la transición relativista.

2.2 Presión

La presión es el flujo de momento a través de una superficie: $P = \dfrac13\displaystyle\int_0^{p_F}p\,v(p)\,n(p)\,dp$ con $n(p)\,dp = \dfrac{8\pi p^2}{h^3}dp$ y la velocidad relativista $v = \dfrac{p/m_e}{\sqrt{1+(p/m_ec)^2}}$:

Límite no relativista ($x\ll1$, $\sqrt{1+y^2}\approx1$): $\int_0^xy^4dy = x^5/5$, y con (2)

Límite ultrarrelativista ($x\gg1$, $\sqrt{1+y^2}\approx y$): $\int_0^xy^3dy = x^4/4$,

Numéricamente, para $\mu_e = 2$: $K_{\rm nr} = 3.16\times10^6$ y $K_{\rm ur} = 4.93\times10^9$ en unidades SI (chandrasekhar.ts).

Caso general (Chandrasekhar 1935): la integral (3) se hace con $y = \sinh t$:

con $f\to\tfrac85x^5$ para $x\ll1$ y $f\to2x^4$ para $x\gg1$ (ejercicio 1). El índice politrópico efectivo $1/n = d\ln P/d\ln\rho - 1$ pasa de $2/3$ a $1/3$: de $n = 3/2$ a $n = 3$.

2.3 ¿Cuándo es válida la degeneración completa?

La hipótesis $T = 0$ exige $k_BT\ll E_F$, con $E_F = m_ec^2(\sqrt{1+x^2}-1)$ la energía de Fermi. En el centro de Sirio B ($\rho_c\approx3\times10^{10}$ kg m⁻³, $x\approx2.5$): $E_F\approx0.87$ MeV, equivalente a $10^{10}$ K, frente a $T\sim10^7$ K del interior: la degeneración es completa con precisión de $(k_BT/E_F)^2\sim10^{-6}$. Las correcciones térmicas solo importan en la envoltura no degenerada, que es delgada pero controla el enfriamiento.

3. Los politropos n = 3/2 y n = 3

Con $P = K\rho^{1+1/n}$ y la ecuación de Lane–Emden (lección 1), $M = 4\pi\alpha^3\rho_c\omega_n$ y $R = \alpha\xi_1$, con $\alpha^2 = (n+1)K\rho_c^{1/n-1}/(4\pi G)$ y $\omega_n = -\xi_1^2\theta'(\xi_1)$.

3.1 n = 3/2: la rama no relativista

Con $\alpha^2 = \tfrac52K_{\rm nr}\rho_c^{-1/3}/(4\pi G)$, $M\propto\rho_c^{1/2}$ y $R\propto\rho_c^{-1/6}$, de donde $R\propto M^{-1/3}$, o explícitamente (ejercicio 2)

con $\xi_1 = 3.65375$, $\omega_{3/2} = 2.71406$. (El valor numérico, $R(1\,M_\odot) = 8879$ km, se calcula con radioPolitropoNR.) Cuanta más masa, menor radio: añadir masa comprime la estrella porque la presión de degeneración crece solo como $\rho^{5/3}$ mientras la gravedad por unidad de volumen crece como $\rho^{4/3}\cdot M^{2/3}$. Para $M = 0.6\,M_\odot$ (la masa típica de las enanas blancas), $R = 10\,500$ km.

3.2 n = 3: la masa queda fijada

Para $n = 3$, $\alpha^2 = \tfrac{4K_{\rm ur}}{4\pi G}\rho_c^{-2/3} = \tfrac{K_{\rm ur}}{\pi G}\rho_c^{-2/3}$, así que $\alpha^3\propto\rho_c^{-1}$ y el producto $\alpha^3\rho_c$ no depende de $\rho_c$:

independiente de $\rho_c$ y de $R$. Sustituyendo (5), con $h = 2\pi\hbar$:

La combinación $(\hbar c/G)^{1/2} = m_P = 2.18\times10^{-8}$ kg es la masa de Planck: la masa de Chandrasekhar es $\sim m_P^3/m_u^2$, un número puro ($\sim(m_P/m_u)^2\approx2\times10^{38}$) de nucleones. Es una de las pocas cantidades astronómicas que se escriben solo con constantes fundamentales.

Chandrasekhar usó $\mu_e = 2.5$, el valor que Eddington y Milne suponían para la materia estelar en 1930; con $\mu_e = 2$ (helio, carbono, oxígeno) y constantes modernas, el límite ideal es $1.46\,M_\odot$. El «1.44» de los libros de texto resulta de usar la masa del hidrógeno, $m_H = 1.00783\,m_u$, en lugar de $m_u$, que es una aproximación distinta y ligeramente peor (la masa por electrón en ¹²C es exactamente $m_u$). Las correcciones físicas reales (§5) bajan el límite a $\approx1.40\,M_\odot$ para composición C/O.

3.3 Qué pasa al acercarse al límite

Entre ambos regímenes, el modelo exacto con la ecuación de estado (6) da una curva $M(\rho_c)$ creciente que tiende asintóticamente a $M_{\rm Ch}$ cuando $\rho_c\to\infty$, mientras $R\to0$. Físicamente: cuando la presión es $\propto\rho^{4/3}$, la energía interna total escala como $\int P\,dV\propto M^{4/3}R^{-1}$, igual que la gravitatoria $GM^2/R$; para $M\lt M_{\rm Ch}$ la presión gana al comprimir, para $M\gt M_{\rm Ch}$ la gravedad gana a toda escala y no hay equilibrio (ejercicio 3). No existen enanas blancas ideales con $M\ge M_{\rm Ch}$; las que se acercan colapsan o explotan (supernovas de tipo Ia).

4. El modelo de Chandrasekhar: la curva masa–radio completa

Con (6) y el equilibrio hidrostático se integra la estructura para cada $\rho_c$. Conviene usar $x$ como variable: de $dP/dx = \dfrac{8\pi m_e^4c^5}{3h^3}\dfrac{x^4}{\sqrt{1+x^2}}$ y $\rho\propto x^3$,

con $A = \pi m_e^4c^5/3h^3$ y $B_0 = (8\pi/3)(m_ec/h)^3$. La implementación estructuraEnanaBlanca (RK4 con paso adaptativo, superficie en $x = 10^{-3}x_c$) da, para $\mu_e = 2$:

La rama no relativista sobreestima el radio ya en $0.4\,M_\odot$ (10 %) y en $1\,M_\odot$ falla por un 55 %: las enanas blancas reales están todas en la zona de transición, y la curva exacta cae mucho más deprisa que $M^{-1/3}$ cerca del límite. En el simulador puedes ver cómo el perfil de densidad $\theta^n$ se concentra al pasar de $n = 1.5$ a $n = 3$: la estrella relativista tiene un núcleo denso y una envoltura tenue, y $\rho_c/\bar\rho$ pasa de 6 a 54.

El segundo simulador integra la ecuación de estado completa de Chandrasekhar para una serie de densidades centrales y dibuja la curva masa–radio exacta frente a la rama $n = 3/2$. Mueve $\rho_c$ hacia arriba y observa cómo $M \to M_{\rm Ch}$ mientras $R \to 0$; cambia $\mu_e$ de 2 a 2.15 (núcleo de hierro) y comprueba que $M_{\rm Ch} \propto \mu_e^{-2}$. Los botones de Sirio B, Proción B y 40 Eri B buscan el modelo de la masa observada: compara su radio con el medido.

5. Sirio B: datos reales y análisis de error

Datos (Bond et al. 2017, ApJ 840, 70). Órbita visual con HST y astrometría histórica: periodo $P = 50.1284\pm0.0043$ años, semieje mayor $a = 7.4957\pm0.0025''$, paralaje $\varpi = 0.3789\pm0.0014''$. Tercera ley de Kepler:

y la razón de masas (del movimiento de cada estrella respecto al baricentro) da $M_B = 1.018\pm0.011\,M_\odot$. El radio, $R_B = 0.008098\pm0.000046\,R_\odot = 5634\pm32$ km, sale del ajuste del espectro HST/STIS con $T_{\rm ef} = 25\,369\pm46$ K y del flujo absoluto a la distancia conocida.

Modelo. enanaBlancaDeMasa(1.018 M☉, μ_e = 2) da $R = 5583$ km $= 0.00803\,R_\odot$, $\rho_c = 3.2\times10^{10}$ kg m⁻³, $P_c = 4.4\times10^{23}$ Pa, $x_c = 2.53$. El radio ideal es un 0.9 % menor que el observado.

Propagación de incertidumbres. Cerca de $1\,M_\odot$ la pendiente de la curva exacta es $d\ln R/d\ln M\approx-1.0$ (de la tabla: $\ln(5720/7200)/\ln(1.0/0.8) = -1.03$), más empinada que el $-1/3$ no relativista. Entonces $\delta R_{\rm mod}/R = 1.0\times\delta M/M = 1.1$ %, que sumada en cuadratura al $0.6$ % observacional da $1.3$ %: la discrepancia del 0.9 % es de $0.7\sigma$. El modelo ideal, sin parámetros libres, reproduce Sirio B.

Correcciones físicas (Hamada & Salpeter 1961; Kippenhahn et al. cap. 37). Dos efectos del orden del por ciento, de signo opuesto: (i) la interacción de Coulomb entre electrones e iones, que reduce la presión en un factor $\sim1 - 0.005\,Z^{2/3}$ para densidades típicas y disminuye el radio; (ii) la envoltura no degenerada a $T_{\rm ef} = 25\,000$ K, que aumenta el radio en $\sim1$–$2$ %. Que Sirio B caiga un 1 % por encima del modelo ideal es, cualitativamente, lo esperado para una enana blanca de C/O caliente. A densidades mayores aparece la neutronización ($e^- + p\to n + \nu_e$ dentro de los núcleos cuando $E_F$ supera el umbral de captura, 13 MeV para ¹²C, es decir $\rho\gtrsim4\times10^{13}$ kg m⁻³), que reduce $\mu_e$ efectivo y el límite de masa real queda en $\approx1.40\,M_\odot$. Por último, la relatividad general vuelve inestable al modelo algo antes de $R\to0$: el límite se alcanza a $\rho_c$ finita, $\sim10^{13}$ kg m⁻³.

6. Análisis numérico

1. Variable de integración. Integrar en $P$ es desastroso cerca de la superficie, donde $P\to0$ y $\rho\propto P^{3/5}$ no es diferenciable en $P = 0$. En $x$, $dx/dr\propto1/x$ también diverge, pero el paso adaptativo (duplicación de paso con tolerancia $10^{-9}$) lo maneja: el último 0.1 % del radio consume la mitad de los pasos. La superficie se define en $x = 10^{-3}x_c$, lo que deja fuera una masa relativa $\sim10^{-9}$ y un radio relativo $\lt10^{-4}$.
2. Cancelación en $f(x)$. Para $x\lt10^{-2}$ la fórmula (6) resta números de orden 3 para obtener un resultado de orden $10^{-10}$: se pierden 6 cifras. fChandrasekhar usa la serie $\tfrac85x^5(1 - \tfrac{5}{14}x^2 + \ldots)$ en ese rango (el test de chandrasekhar.test.ts comprueba el empalme).
3. Convergencia a $M_{\rm Ch}$. Como $M(\rho_c)$ se acerca al límite como $M_{\rm Ch}(1 - c\,x_c^{-2})$ (ejercicio 5), para obtener $M_{\rm Ch}$ con error $10^{-3}$ hace falta $x_c\sim30$, es decir $\rho_c\sim5\times10^{13}$ kg m⁻³; el test exige $M(10^{14}\ \mathrm{kg\,m^{-3}})\gt0.97\,M_{\rm Ch}$ y obtiene $0.996$.
4. Sensibilidad a constantes. $M_{\rm Ch}\propto\hbar^{3/2}c^{3/2}G^{-3/2}m_u^{-2}$: la incertidumbre dominante es la de $G$ ($2.2\times10^{-5}$ relativa, CODATA 2018), que da $3\times10^{-5}$ en $M_{\rm Ch}$, irrelevante frente a la de $\mu_e$ y a las correcciones físicas.

Problemas

1. Límites de f(x). Demuestra, desarrollando (6), que $f(x) = \tfrac85x^5 - \tfrac47x^7 + \tfrac13x^9 + O(x^{11})$ y que $f(x) = 2x^4 - 2x^2 + 3\ln(2x) + \tfrac32 + O(x^{-2})$. Deduce los exponentes politrópicos $5/3$ y $4/3$.

2. Relación masa–radio n = 3/2. A partir de $M = 4\pi\alpha^3\rho_c\omega$ y $\alpha^2 = \tfrac52K\rho_c^{-1/3}/(4\pi G)$, elimina $\rho_c$ y demuestra que $R = \xi_1\,\dfrac{5K}{8\pi G}\,(4\pi\omega)^{1/3}\,M^{-1/3}$, es decir, $R^3M = \text{const}$. Evalúala para $M = M_\odot$, $\mu_e = 2$.

3. Argumento energético del límite. Modela la enana blanca como esfera uniforme de masa $M$ y radio $R$ con $N = M/(\mu_em_u)$ electrones. Escribe la energía total $E(R) = E_{\rm Fermi} + E_{\rm grav}$ en los límites no relativista ($E_F\propto N^{5/3}/R^2$) y ultrarrelativista ($E_F\propto N^{4/3}/R$) y demuestra que en el segundo caso solo hay equilibrio si $M$ es menor que una masa crítica, que estimarás en orden de magnitud.

4. Temperatura de degeneración. Define $T_{\rm deg}$ por $k_BT_{\rm deg} = E_F$ y demuestra que en el límite no relativista $T_{\rm deg} = \dfrac{h^2}{2m_ek_B}\left(\dfrac{3\rho}{8\pi\mu_em_u}\right)^{2/3} = 3.0\times10^3\,\mathrm K\,(\rho/\mu_e)^{2/3}$ con $\rho$ en kg m⁻³. Evalúa para el centro del Sol ($1.5\times10^5$ kg m⁻³, $\mu_e\approx1.2$) y para Sirio B. ¿Está degenerado el núcleo solar?

5. Aproximación al límite. Demuestra que, para el modelo exacto, $M(\rho_c)\to M_{\rm Ch}$ con una corrección de orden $x_c^{-2}$, usando que la ecuación de estado (6) para $x\gg1$ es $P = K_{\rm ur}\rho^{4/3}(1 - x^{-2} + \ldots)$ y tratando la corrección como perturbación del politropo $n = 3$. Comprueba con la tabla de §4 que $(M_{\rm Ch} - M)/M_{\rm Ch}\approx c\,x_c^{-2}$ con $c$ aproximadamente constante para $x_c\ge4$.

6. (Computacional) Curva masa–radio. Escribe un programa que integre el modelo de Chandrasekhar con la ecuación de estado (6) para $\rho_c$ entre $10^8$ y $10^{14}$ kg m⁻³ ($\mu_e = 2$), dibuje $R(M)$ junto a la rama $n = 3/2$ y sitúe a Sirio B con sus barras de error. Comprueba que $M\to M_{\rm Ch}$ y estudia la convergencia con la tolerancia.

import numpy as np
h, c, G, me, mu = 6.62607015e-34, 2.99792458e8, 6.6743e-11, 9.1093837015e-31, 1.66053906660e-27
Msun, Rsun, mue = 1.989e30, 6.957e8, 2.0
A = np.pi*me**4*c**5/(3*h**3); B = 8*np.pi/3*(me*c/h)**3*mue*mu      # P = A f(x), rho = B x^3
def deriv(r, y):                      # y = [m, x]
    m, x = y; x = max(x, 1e-12)
    return np.array([4*np.pi*r*r*B*x**3, -G*m*B*np.sqrt(1+x*x)/(8*A*r*r*x)])
def rk4(r, y, h):
    k1 = deriv(r, y); k2 = deriv(r+h/2, y+h/2*k1); k3 = deriv(r+h/2, y+h/2*k2); k4 = deriv(r+h, y+h*k3)
    return y + h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)
def modelo(rho_c, tol=1e-9):
    xc = (rho_c/B)**(1/3); r = 1.0; y = np.array([4/3*np.pi*rho_c, xc]); h = 1e3
    while True:
        y1 = rk4(r, y, h); y2 = rk4(r+h/2, rk4(r, y, h/2), h/2)
        err = max(abs(y2[0]-y1[0])/y[0], abs(y2[1]-y1[1])/xc)/15
        if err > tol: h *= 0.5; continue
        yN = y2 + (y2-y1)/15
        if yN[1] < 1e-3*xc: return y[0], r
        r += h; y = yN; h *= min(2, 0.9*(tol/max(err,1e-30))**0.2)
for rho_c in np.logspace(8, 14, 13):
    M, R = modelo(rho_c); print(f'{rho_c:.1e}  M={M/Msun:.4f} Msun  R={R/1e3:.0f} km')

7. Enanas blancas de helio y de hierro. Calcula $M_{\rm Ch}$ para $\mu_e = 2$ (He, C, O) y $\mu_e = 56/26 = 2.154$ (⁵⁶Fe). ¿Qué ocurriría con el límite para una hipotética enana blanca de hidrógeno ($\mu_e = 1$) y por qué no existen?

Lecturas

• Chandrasekhar (1939), An Introduction to the Study of Stellar Structure, cap. X (gas degenerado) y XI (configuraciones completamente colapsadas: la curva masa–radio exacta).
• Chandrasekhar (1931), ApJ 74, 81 (el límite con μₑ = 2,5) y (1935), MNRAS 95, 207 (modelo con ecuación de estado exacta).
• Kippenhahn, Weigert & Weiss (2012), Stellar Structure and Evolution, §15.2 (gas degenerado), §19.7 (masa de Chandrasekhar), cap. 37 (enanas blancas).
• Shapiro & Teukolsky (1983), Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars, cap. 2 (ecuación de estado fría) y cap. 3 (enanas blancas, correcciones).
• Carroll & Ostlie (2017), §16.3–16.4.
• Hamada & Salpeter (1961), ApJ 134, 683 — modelos a temperatura cero con correcciones de Coulomb y neutronización.
• Bond et al. (2017), ApJ 840, 70, DOI 10.3847/1538-4357/aa6af8 — masa y radio de Sirio B.
• Fowler, R. H. (1926), MNRAS 87, 114, «On dense matter» — la primera aplicación de la estadística de Fermi–Dirac a las enanas blancas.