Precesión, nutación, aberración y refracción

1. Motivación: del catálogo al telescopio

Un catálogo da la posición media de una estrella en la época J2000.0: la dirección respecto de un ecuador y un equinoccio fijos. Para apuntar un telescopio hoy hay que (1) precesar al ecuador medio de la fecha, (2) añadir la nutación para obtener el ecuador verdadero, (3) corregir la aberración de la luz por la velocidad de la Tierra (y la paralaje, si la estrella está cerca), con lo que se obtiene la posición aparente; y, tras pasar a horizontales con el tiempo sidéreo, (4) sumar la refracción atmosférica. Los tamaños: precesión $50''$ por año (acumulativa), nutación hasta $17''$, aberración hasta $20.5''$, refracción desde $0$ en el cenit hasta $34'$ en el horizonte. Ninguna es despreciable para un telescopio con campo de minutos de arco. En esta lección deducimos cada efecto, damos las fórmulas vigentes y reducimos una estrella de principio a fin.

Convenciones: ángulos en radianes en el código (src/lib/math/reduccion.ts), en segundos de arco ($''$) en las fórmulas de precesión y nutación; $t$ es el tiempo en siglos julianos TT desde J2000.0.

2. Precesión

2.1 Física: el par sobre el abultamiento ecuatorial

La Tierra es un elipsoide achatado ($J_2 = 1.0826\times10^{-3}$) que gira con velocidad angular $\omega$ alrededor de un eje inclinado $\varepsilon = 23.44°$ respecto del plano de su órbita. El Sol y la Luna ejercen sobre el abultamiento un par medio perpendicular al eje, de módulo (promediando sobre la órbita)

con $C$ y $A$ los momentos de inercia polar y ecuatorial. Un giróscopo sometido a un par perpendicular precesa con velocidad angular $\Omega_p = \bar N/(C\omega\sin\varepsilon)$:

Con $G M_\odot/a^3 = n^2$ ($n = 2\pi/\text{año}$), $(C-A)/C = H = 3.27\times10^{-3}$ (achatamiento dinámico) y $\omega = 366.25\,n$ (rotaciones por año): $\Omega_p^\odot = \tfrac32\,n\,H\cos\varepsilon/366.25 = 1.23\times10^{-5}\,n$, es decir un ciclo cada $81\,000$ años, $\approx 16''$ por año. La Luna, aunque mucho menos masiva, está tan cerca que su contribución es $\approx 2.2$ veces la solar ($M_L/d_L^3$ frente a $M_\odot/a^3$): en total $\approx 50''$ por año y un ciclo de unos 25 800 años. El eje describe un cono de semiapertura $\varepsilon$ alrededor del polo de la eclíptica; el equinoccio retrocede sobre la eclíptica hacia el oeste. A esto se suma la precesión planetaria: los planetas hacen girar lentamente el plano de la eclíptica, lo que mueve el equinoccio $\approx 0.1''$ por año en sentido contrario.

2.2 El modelo IAU 2006 (P03)

La IAU adoptó en 2006 el modelo P03 de Capitaine, Wallace & Chapront (2003). Las cantidades, en segundos de arco con $t$ en siglos julianos TT desde J2000.0 (rutina SOFA p06e), son:

La precesión general en J2000.0 es por tanto $p = 50.287\,96''$ por año (ciclo de $360\times3600/50.288 = 25\,772$ años), y la oblicuidad media disminuye $46.84''$ por siglo ($0.47''$ por año). Para precesar coordenadas ecuatoriales de J2000.0 a la fecha se usan los tres ángulos ecuatoriales

La matriz de precesión es la composición de tres rotaciones, $\mathbf P = \mathbf R_z(-z_A)\,\mathbf R_y(\theta_A)\,\mathbf R_z(-\zeta_A)$: girar $\zeta_A$ alrededor del polo J2000 hasta llevar el eje $x$ al nodo entre los dos ecuadores, inclinar $\theta_A$ (el ángulo entre los dos ecuadores) y girar $z_A$ alrededor del nuevo polo. En coordenadas (Meeus ec. 21.4):

Para $\theta_A$ pequeño esto se reduce a las fórmulas de primer orden $\Delta\alpha = (m + n\sin\alpha\tan\delta)\,\Delta t$, $\Delta\delta = n\cos\alpha\,\Delta t$ con $m = 3.075$ s/año y $n = 20.04''$/año (ejercicio 1). El polo precesa: la declinación de una estrella cerca del polo cambia mucho, y la ascensión recta de una estrella muy cerca del polo cambia enormemente (el término $\tan\delta$). Las constantes $\zeta_A, z_A, \theta_A$ difieren de las IAU 1976 en $\approx 0.13''$ por siglo: inapreciable salvo en astrometría de precisión.

3. Nutación

3.1 Origen y término principal

El par lunisolar no es constante: varía con la posición de la Luna y del Sol y, sobre todo, con la inclinación de la órbita lunar ($5.145°$) cuyo nodo retrocede con periodo de $18.61$ años. El resultado es un bamboleo del eje superpuesto a la precesión: la nutación, descrita por dos ángulos, $\Delta\psi$ (en longitud, a lo largo de la eclíptica) y $\Delta\varepsilon$ (en oblicuidad). El modelo IAU 2000A tiene 1365 términos; el primero, con argumento la longitud del nodo lunar $\Omega$, domina por un orden de magnitud (SOFA nut00b):

El periodo de $\Omega$ es $1296000''/6962890.5431''$ siglos $= 18.613$ años. Sobre la esfera celeste, el polo describe la elipse de nutación, de semiejes $9.2''$ (en la dirección del polo de la eclíptica, por $\Delta\varepsilon$) y $17.2''\sin\varepsilon = 6.8''$ (perpendicular, por $\Delta\psi$), que Bradley observó en 1748 y d’Alembert explicó dinámicamente en 1749.

3.2 Serie corta (Meeus) y precisión

Para $0.5''$ en $\Delta\psi$ y $0.1''$ en $\Delta\varepsilon$ bastan cuatro términos (Meeus cap. 22):

con $L = 280.4665° + 36000.7698°\,t$ (longitud media del Sol) y $L' = 218.3165° + 481267.8813°\,t$ (de la Luna). Los términos en $2L$ y $2L'$ son las nutaciones semestral y quincenal. Es la serie que usa nutacionMeeus; el test la compara con el valor de la serie completa de Meeus para el 10 de abril de 1987 ($\Delta\psi = -3.788''$, $\Delta\varepsilon = +9.443''$) y comprueba que el término principal solo ($-3.36''$, $+9.03''$) se queda a $0.4''$.

3.3 Efecto en coordenadas ecuatoriales

Con el equinoccio desplazado $\Delta\psi$ sobre la eclíptica y la oblicuidad cambiada en $\Delta\varepsilon$, en primer orden (Meeus ec. 23.1; se deduce diferenciando la transformación eclíptica → ecuatorial, ejercicio 2):

El término $\cos\varepsilon\,\Delta\psi$, común a todas las estrellas, es la ecuación de los equinoccios de la lección anterior.

4. Aberración anual

4.1 Deducción

Un observador que se mueve con velocidad $\mathbf v$ ve la luz de una fuente en dirección $\hat{\mathbf p}$ (dirección «natural», hacia la fuente) desviada hacia el ápex de su movimiento. Con la transformación de Lorentz de la velocidad de un fotón, si $\theta$ es el ángulo entre $\hat{\mathbf p}$ y $\mathbf v$,

y para $\beta \ll 1$ el desplazamiento es $\Delta\theta = \theta - \theta' = \beta\sin\theta + O(\beta^2)$. Con la velocidad orbital media de la Tierra, $v = 29.785$ km/s: $\beta = 9.936\times10^{-5}$ rad $= 20.49''$. La constante de aberración

es $\beta$ en segundos de arco para la velocidad media (más precisamente, $\kappa = n a/(c\sqrt{1-e^2})$ con $n$ el movimiento medio y $a$ el semieje). Como la velocidad de la Tierra gira $360°$ al año, cada estrella describe en el cielo una elipse de aberración de semieje mayor $\kappa$ y semieje menor $\kappa\sin\beta_{\text{ecl}}$ (latitud eclíptica): un círculo en el polo de la eclíptica, un segmento de $\pm 20.5''$ en la eclíptica. Este efecto, descubierto por Bradley en 1728 buscando la paralaje de γ Draconis, fue la primera prueba directa del movimiento de la Tierra y permitió medir $c$ con un 1 % de error.

El término de orden $\beta^2$ ($\sim 10^{-8}$ rad $= 2$ mas) importa en astrometría espacial; SOFA ab usa la fórmula relativista completa. Para una estrella hay que añadir la aberración diurna por la rotación terrestre, $\le 0.32''\cos\varphi$.

4.2 Fórmulas en coordenadas ecuatoriales

Con $\odot$ la longitud verdadera del Sol, $e$ la excentricidad y $\pi$ la longitud del perihelio de la órbita terrestre (Meeus ec. 23.3):

Los términos en $e\kappa$ ($0.34''$) son la aberración elíptica, constante para cada estrella a lo largo del año (la velocidad de la Tierra no tiene módulo constante); los catálogos antiguos la incluían en las posiciones medias. aberracionAnual implementa estas fórmulas y el test reproduce el ejemplo 23.a de Meeus.

5. Refracción atmosférica

5.1 Atmósfera plano-paralela

Sea una atmósfera estratificada en capas planas con índice de refracción $n(h)$, $n = 1$ fuera y $n_0$ en el observador. Por la ley de Snell aplicada capa a capa, $n\sin z$ es invariante a lo largo del rayo: $\sin z_{\text{verdadera}} = n_0\sin z_0$, donde $z_0$ es la distancia cenital aparente (observada). La refracción $R = z - z_0$ cumple $\sin(z_0 + R) = n_0\sin z_0$; para $R$ pequeño, $\sin z_0 + R\cos z_0 = n_0\sin z_0$, luego

Con $n_0 - 1 = 2.82\times10^{-4}$ (aire a 1010 hPa y 10 °C, luz amarilla): $R = 58.2''\tan z_0$, es decir $0.97'$ a $45°$ de altura, lo que concuerda con la fórmula de Bennett a mejor de $1''$ hasta $z_0 \approx 60°$ y al 2 % hasta $80°$. El resultado no depende del perfil $n(h)$ (solo de $n_0$): es el teorema de la atmósfera plana. Cerca del horizonte falla (la tangente diverge) porque la curvatura de la Tierra importa; la corrección siguiente es $R = A\tan z_0 - B\tan^3 z_0$ con $B \approx 0.067''$ (SOFA refco), y para $z_0 \gt 80°$ hay que trazar rayos numéricamente o usar fórmulas empíricas.

5.2 Fórmulas de Bennett y Saemundsson

Con $h_0$ la altura aparente en grados, Bennett (1982) ajustó, con error $\lt 0.07'$ de horizonte a cenit (Meeus ec. 16.3):

Para pasar de la altura verdadera $h$ a la aparente, Saemundsson (1986) dio la inversa aproximada (Meeus ec. 16.4):

consistente con Bennett a $\lt 4''$ para $h \ge 5°$ (test reduccion.test.ts). Ambas se refieren a $P = 1010$ hPa y $T = 10$ °C y se multiplican por

que es la dependencia de $n_0 - 1 \propto \rho \propto P/T$ de un gas ideal. Valores (Bennett, condiciones estándar): $34.5'$ en el horizonte, $28.75'$ a $0.5°$ (ejemplo 16.a de Meeus), $9.9'$ a $5°$, $5.4'$ a $10°$, $1.7'$ a $30°$, $1.0'$ a $45°$, $0.58'$ a $60°$, $0$ en el cenit ($-0.08''$ en realidad: un residuo del ajuste). En Bogotá ($2640$ m, $P \approx 750$ hPa, $T \approx 14$ °C) el factor es $0.732$: refracción horizontal $25.2'$. Por eso el Sol «sale» en Bogotá unos 40 s más tarde de lo que daría la refracción estándar: la refracción horizontal de $34'$ equivale a $34/15 \approx 2.3$ minutos de tiempo en el ecuador, y $26\%$ menos son $\approx 36$ s.

La refracción depende además de la longitud de onda ($n$ es mayor en el azul): un astro bajo se ve como un pequeño espectro vertical, de $1$–$2''$ entre el azul y el rojo a $30°$–$45°$ de altura y de más de $30''$ en el horizonte, el origen del «rayo verde» en las puestas de Sol.

6. Ejemplo resuelto: θ Persei en 2028

Reproducimos los ejemplos 21.b y 23.a de Meeus con nuestro código (reduccion.ts). Datos: θ Persei, J2000.0: $\alpha_0 = 2^{\mathrm h}44^{\mathrm m}11.986^{\mathrm s}$, $\delta_0 = +49°13'42.48''$; movimiento propio $\mu_\alpha = +0.03425$ s/año, $\mu_\delta = -0.0895''$/año. Fecha: 2028 noviembre 13.19 TT, $\mathrm{JD} = 2462088.69$, $t = 0.288\,670\,500$.

1. Movimiento propio ($28.867$ años): $\alpha_0' = 2^{\mathrm h}44^{\mathrm m}12.975^{\mathrm s} = 41.054\,061°$, $\delta_0' = +49°13'39.90'' = 49.227\,749°$.
2. Precesión. $\zeta_A = 668.374''$, $z_A = 663.137''$, $\theta_A = 578.514''$ (IAU 2006; Meeus con IAU 1976 obtiene $668.414''$, $663.177''$, $578.479''$). Aplicando la rotación: $\alpha = 2^{\mathrm h}46^{\mathrm m}11.324^{\mathrm s}$, $\delta = +49°20'54.50''$ (Meeus: $11.331^{\mathrm s}$ y $54.54''$; la diferencia de $0.1''$ es la del modelo de precesión). En 28.9 años la estrella se ha movido $2$ minutos de tiempo en $\alpha$ y $7'$ en $\delta$.
3. Nutación. Para esa fecha la serie completa da $\Delta\psi = +14.861''$, $\Delta\varepsilon = +2.705''$ (nuestra serie corta: $15.04''$ y $2.67''$; el término principal solo: $16.48''$ y $2.65''$). Con $\varepsilon = 23.436°$ (oblicuidad verdadera): $\Delta\alpha_1 = +15.843''$, $\Delta\delta_1 = +6.217''$.
4. Aberración. Con $\odot = 231.328°$, $e = 0.016\,696\,5$, $\pi = 103.434°$: $\Delta\alpha_2 = +30.045''$, $\Delta\delta_2 = +6.697''$.
5. Posición aparente. $\alpha = 2^{\mathrm h}46^{\mathrm m}14.384^{\mathrm s}$, $\delta = +49°21'07.42''$ (Meeus: $14.390^{\mathrm s}$, $07.45''$).
6. Refracción. Si la estrella se observa a altura aparente $h_0 = 30°$ desde Bogotá (750 hPa, 14 °C): $R = 1.717'\times0.732 = 1.257'$; su altura verdadera es $29°58'44.6''$. Si en cambio se calcula la altura verdadera a partir de las coordenadas aparentes y el tiempo sidéreo, y resulta $30°$, la aparente será $30° + 1.746'\times0.732 = 30°01'16.7''$.

Error presupuestado: precesión $0.1''$ (modelo), nutación $0.5''$ (serie corta) o $0.001''$ (IAU 2000A), aberración $0.01''$ (términos de orden $\beta^2$ y velocidad de la Tierra aproximada), refracción $0.07'$ (fórmula) más lo que la atmósfera real difiera del modelo (típicamente $\pm 10\%$ de $R$ por debajo de $10°$ de altura: en el horizonte, varios minutos de arco).

Qué observar. El simulador trabaja con coordenadas J2000 sin precesar, sin nutación ni aberración, y sin refracción: por eso una estrella «sale» exactamente cuando su altura calculada cruza cero. Compara la hora de salida del Sol que da con la de un almanaque: la diferencia ($\approx 2$–$3$ min en latitudes bajas) es la refracción horizontal más el semidiámetro solar.

Problemas

1. (Fórmulas de primer orden). A partir de la rotación de precesión demuestra que, para un intervalo corto $\Delta t$ (años), $\Delta\alpha = (m + n\sin\alpha\tan\delta)\Delta t$ y $\Delta\delta = n\cos\alpha\,\Delta t$, con $m = (\dot\zeta_A + \dot z_A)$ y $n = \dot\theta_A$. Calcula $m$ y $n$ con los coeficientes IAU 2006 y aplícalos a θ Persei para 28.87 años; compara con el resultado exacto.

2. (Nutación en ecuatoriales). Deduce las fórmulas de §3.3 diferenciando la transformación eclíptica → ecuatorial $\sin\delta = \sin\beta\cos\varepsilon + \cos\beta\sin\varepsilon\sin\lambda$, $\cos\delta\cos\alpha = \cos\beta\cos\lambda$, con $\beta$ fija y $\lambda \to \lambda + \Delta\psi$, $\varepsilon \to \varepsilon + \Delta\varepsilon$.

3. (Constante de aberración). Demuestra que $\kappa = \dfrac{2\pi a}{c\,P\sqrt{1 - e^2}}$ (con $P$ el año sidéreo) y calcula su valor con $a = 1.495\,978\,707\times10^{11}$ m, $P = 365.256\,363$ d, $e = 0.016\,708\,6$, $c = 299\,792\,458$ m/s. Explica la diferencia con $20.49552''$.

4. (Refracción plano-paralela). Demuestra que para una atmósfera plana estratificada $R = (n_0 - 1)\tan z_0$ exactamente al primer orden en $n_0 - 1$, independientemente del perfil $n(h)$, y estima el error de esa fórmula a $z_0 = 60°$ y $80°$ comparando con Bennett.

5. (Error de la refracción horizontal). Cerca del horizonte la refracción varía $\approx 10\%$ con el gradiente térmico de las capas bajas, que no se conoce. Estima el error en el instante de la salida del Sol en Bogotá y en Oslo ($\varphi = 59.9°$) para un error de $3'$ en $R$.

6. (Computacional: reducción completa). Escribe un programa que, dadas las coordenadas J2000 y el movimiento propio de una estrella, una fecha TT y la posición del Sol (puedes tomarla de la lección sobre el Sol: posicionSol), calcule la posición aparente aplicando precesión IAU 2006, nutación (serie corta) y aberración, y luego, dadas la latitud, longitud, presión y temperatura, la altura y acimut observados (con refracción de Saemundsson) a una hora UTC. Verifica con θ Persei (§6) y luego aplícalo a Sirio desde Bogotá hoy.

import numpy as np
AS = np.radians(1/3600)
def horner(t, c): return sum(ck*t**k for k, ck in enumerate(c))
def angulos_precesion(t):
    z  = horner(t, [-2.650545, 2306.077181, 1.0927348, 0.01826837, -0.000028596, -0.0000002904])*AS
    ze = horner(t, [ 2.650545, 2306.083227, 0.2988499, 0.01801828, -0.000005971, -0.0000003173])*AS
    th = horner(t, [0, 2004.191903, -0.4294934, -0.04182264, -0.000007089, -0.0000001274])*AS
    return ze, z, th
def precesar(ra, dec, t):
    ze, z, th = angulos_precesion(t)
    A = np.cos(dec)*np.sin(ra+ze)
    B = np.cos(th)*np.cos(dec)*np.cos(ra+ze) - np.sin(th)*np.sin(dec)
    C = np.sin(th)*np.cos(dec)*np.cos(ra+ze) + np.cos(th)*np.sin(dec)
    return (z + np.arctan2(A, B)) % (2*np.pi), np.arcsin(C)
def nutacion(t):                       # serie corta de Meeus, segundos de arco
    om = np.radians(125.04452 - 1934.136261*t); L = np.radians(280.4665 + 36000.7698*t); Lp = np.radians(218.3165 + 481267.8813*t)
    dpsi = -17.20*np.sin(om) - 1.32*np.sin(2*L) - 0.23*np.sin(2*Lp) + 0.21*np.sin(2*om)
    deps =   9.20*np.cos(om) + 0.57*np.cos(2*L) + 0.10*np.cos(2*Lp) - 0.09*np.cos(2*om)
    return dpsi, deps
def refraccion_saemundsson(h_deg, P=1010, T=10):
    return 1.02/np.tan(np.radians(h_deg + 10.3/(h_deg + 5.11))) * (P/1010)*(283/(273+T))   # arcmin

Lecturas

• Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, 3.ª ed. (2013), cap. 6 (precesión, nutación, rotación: el marco IAU 2006/2000A completo, con el CIO) y cap. 7 (reducción de posiciones: aberración, paralaje, deflexión gravitatoria).
• Capitaine, Wallace & Chapront (2003), A&A 412, 567: el modelo P03, con las tablas que hemos usado.
• Mathews, Herring & Buffett (2002), JGR 107, 2068: la teoría de nutación de Tierra no rígida detrás de IAU 2000A.
• Meeus (1998), caps. 16, 21, 22, 23: fórmulas prácticas y los ejemplos numéricos que reproduce el test.
• Green (1985), Spherical Astronomy, cap. 9 (precesión y nutación con derivaciones dinámicas); los capítulos de refracción y aberración desarrollan el tratamiento relativista completo.
• Bennett (1982), J. Navigation 35, 255 y Saemundsson (1986), Sky & Telescope 72, 70: las fórmulas de refracción.
• Bradley (1729), Phil. Trans. 35, 637: el artículo que descubrió la aberración (y, de paso, la nutación, publicada en 1748).