Tránsitos y curvas de luz

Motivación: un 1 % de luz durante tres horas

Cuando un planeta pasa por delante de su estrella, el brillo cae una fracción $(R_p/R_\star)^2$: un 1 % para un Júpiter frente a una estrella como el Sol, 84 partes por millón para la Tierra. Esa curva de luz, medida con fotometría de precisión desde el espacio (Kepler, TESS) o desde tierra, contiene la geometría completa de la órbita: el radio relativo del planeta, el parámetro de impacto, la escala $a/R_\star$ y, con la tercera ley de Kepler, la densidad media de la estrella, sin necesidad de espectroscopía ni de distancia. Esta lección deriva cada una de esas relaciones, construye el modelo de la curva con oscurecimiento al limbo por cuadratura y analiza qué puede y qué no puede distinguir una curva de luz con ruido.

Geometría en el plano del cielo

Consideramos una órbita circular de radio $a$ y periodo $P$, inclinación $i$ respecto al plano del cielo ($i = 90^\circ$: órbita vista de canto) y medimos el tiempo $t$ desde la conjunción inferior (centro del tránsito). Con la fase $\varphi = 2\pi t/P$ y unidades de radio estelar $R_\star$, el centro del planeta proyectado sobre el cielo está en

y el planeta está delante de la estrella si $\cos\varphi > 0$. La separación proyectada de los centros es

Definimos la razón de radios $k = R_p/R_\star$ y el parámetro de impacto

la distancia mínima entre centros, en radios estelares. Hay tránsito (quizá rasante) si y solo si $b < 1+k$.

Duraciones T₁₄ y T₂₃

Los cuatro contactos ocurren cuando $z = 1+k$ (1.º y 4.º, contacto exterior) y $z = 1-k$ (2.º y 3.º, contacto interior). Imponiendo $z = 1 \pm k$:

El tránsito dura $2\varphi$ en fase, es decir $2\varphi\,P/(2\pi)$ en tiempo:

(Seager & Mallén-Ornelas 2003; Winn 2010). Si $b > 1-k$ no hay 2.º ni 3.º contacto: el tránsito es rasante y $T_{23}$ no existe. Para $a \gg R_\star$ el arcoseno es casi su argumento:

donde $\tau$ es la duración de la entrada (o la salida). Al crecer $b$ el tránsito se acorta y la entrada se alarga: la curva pasa de forma de «U» a forma de «V».

Inversión: de la curva de luz a b y a/R⋆

Para una estrella uniforme la profundidad da $k = \sqrt{\delta}$. Llamando $S_{14} = \sin^2(\pi T_{14}/P)$, $S_{23} = \sin^2(\pi T_{23}/P)$ y usando $(a/R_\star)^2\sin^2 i = (a/R_\star)^2 - b^2$, las dos ecuaciones anteriores son lineales en $b^2$ y $(a/R_\star)^2$:

Es la «solución única» de Seager & Mallén-Ornelas: cuatro observables ($\delta$, $T_{14}$, $T_{23}$, $P$) fijan $k$, $b$, $a/R_\star$ e $i$.

Flujo bloqueado: área de intersección de dos círculos

Sea una estrella uniforme de radio 1 y un disco opaco de radio $k$ a distancia $z$. El flujo relativo es $F = 1 - A(1, k, z)/\pi$, con $A(r_1, r_2, d)$ el área común a dos círculos de radios $r_1, r_2$ separados $d$.

Derivación. Si $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, la región común es la unión de dos segmentos circulares que comparten la cuerda. Por el teorema del coseno, el semiángulo subtendido por la cuerda desde el centro del círculo $j$ es

Un segmento de semiángulo $\alpha$ en un círculo de radio $r$ tiene área $r^2\alpha - \tfrac12 r^2\sin 2\alpha$ (sector menos triángulo isósceles). La suma de los dos triángulos isósceles es el doble del triángulo de lados $(d, r_1, r_2)$, cuya área, por Herón, es $\tfrac14\sqrt{(-d+r_1+r_2)(d+r_1-r_2)(d-r_1+r_2)(d+r_1+r_2)}$. Así

con $A = 0$ si $d \ge r_1 + r_2$ y $A = \pi\min(r_1, r_2)^2$ si $d \le |r_1 - r_2|$. En particular, con el planeta completamente dentro del disco, $\delta = k^2$ exactamente. Es el término $\lambda^e$ de Mandel & Agol (2002). Implementación: areaInterseccion y flujoUniforme en src/lib/math/transito.ts.

Oscurecimiento al limbo

La intensidad emergente decrece hacia el borde del disco porque, mirando oblicuamente, la profundidad óptica unidad se alcanza en capas más altas y frías de la fotosfera. Con $\mu = \cos\theta = \sqrt{1 - r^2}$ ($\theta$ es el ángulo entre la normal a la superficie y la visual, $r$ la distancia proyectada al centro) usamos la ley cuadrática

Las condiciones físicas $I > 0$ y $dI/d\mu > 0$ en todo el disco equivalen a $u_1 + u_2 < 1$, $u_1 > 0$ y $u_1 + 2u_2 > 0$ (Kipping 2013). El flujo total del disco es, con $r\,dr = -\mu\,d\mu$,

Para un planeta pequeño ($k \ll 1$) la intensidad es casi constante bajo su disco y

de modo que en el centro ($\mu = 1$) el tránsito es más profundo que $k^2$ y cerca del limbo, menos. El fondo plano se vuelve redondeado y la entrada y salida se suavizan.

Método numérico de anillos

Mandel & Agol (2002) dan el flujo en forma cerrada con integrales elípticas. Aquí usamos un método más transparente: la luz bloqueada es la integral de Stieltjes

Dividimos $[r_-, r_+]$ en $n$ anillos con nodos uniformes en $\theta = \arcsin r$ (así $\mu = \cos\theta$ es suave y se evita la derivada infinita de $\sqrt{1-r^2}$ en el limbo) y sumamos

Los incrementos $A(r_{j+1}) - A(r_j)$ son exactos, de modo que las singularidades de raíz cuadrada de $dA/dr$ en $r = |z\pm k|$ no contaminan la cuadratura: solo se aproxima la variación de $I$ dentro de cada anillo, con la regla del punto medio, de error $O(n^{-2})$. Con $u_1 = u_2 = 0$ la suma es telescópica y el resultado es exacto. Con $(u_1, u_2) = (0.6, 0.3)$ y $n = 200$, el error relativo medido en $\Delta F$ frente a $n = 5\times 10^4$ es $\lesssim 1.5\times 10^{-6}$ (peor caso probado: $k = 0.3$, $z = 0.8$), muy por debajo del ruido fotométrico de cualquier instrumento actual. La normalización de la propia regla (integral del disco completo) tiene error relativo $\approx 2\times 10^{-6}$ con $n = 200$. Implementación: flujoLimbo en src/lib/math/transito.ts, con tests.

La densidad de la estrella desde la curva de luz

La tercera ley de Kepler, $G(M_\star + M_p)P^2 = 4\pi^2 a^3$, junto con $\rho_\star = M_\star/(\tfrac43\pi R_\star^3)$, da

Como $a/R_\star$ sale solo de la forma de la curva de luz, el tránsito mide la densidad estelar sin espectroscopía ni distancia. Para el Sol visto como «estrella con tránsito» de la Tierra ($a/R_\star = 215$, $P = 1$ año) resulta $\rho_\odot \approx 1.41$ g cm⁻³. En el límite $k \ll 1$, $T \ll P$, combinando las aproximaciones de $T_{14}$ y $T_{23}$:

La densidad depende de la diferencia entre dos tiempos parecidos: la precisión con que se mide la entrada y la salida controla todo.

Degeneraciones

• $b$ frente a $a/R_\star$. Con la duración total fija, un tránsito central rápido (b pequeño, $a/R_\star$ grande) y uno descentrado lento (b grande, $a/R_\star$ pequeño) duran lo mismo. Solo la forma —la duración relativa de la entrada, $\tau/T_{14} \approx k/(1-b^2)$— los separa. Con ruido alto, $b$ y $\rho_\star$ quedan fuertemente correlacionados.
• $b$ frente a $k$ en tránsitos rasantes. Si $b > 1-k$ el planeta nunca está entero sobre el disco: la profundidad ya no es $k^2$ y combinaciones distintas de $(k, b)$ producen curvas en «V» casi idénticas. Los radios de planetas rasantes son poco fiables.
• Limbo frente a geometría. El oscurecimiento al limbo también redondea la curva y alarga visualmente la entrada, imitando un $b$ mayor; y la profundidad central depende de $u_1, u_2$. Se ajustan simultáneamente (con priors de modelos de atmósferas o con muestreo no informativo, Kipping 2013).
• El radio absoluto. La curva solo da $k$: $R_p$ requiere $R_\star$ independiente. Con la semiamplitud de velocidad radial $K = (2\pi G/P)^{1/3} M_p\sin i/(M_\star+M_p)^{2/3}$ (órbita circular) e $i$ del tránsito se obtiene $M_p$ y, con $R_p$, la densidad del planeta.

Pruébalo en el simulador: fija la profundidad y $T_{14}$, sube $b$ y ajusta el periodo para recuperar la misma duración; compara las formas.

Probabilidad geométrica de tránsito

Si las orientaciones orbitales son isótropas, $\cos i$ está uniformemente distribuido en $[0, 1]$. Hay tránsito si $b = (a/R_\star)\cos i < 1 + k$, es decir si $\cos i < (1+k)R_\star/a$, luego

Para la Tierra, $p_{\rm tr} \approx 1/215 \approx 0.47\,\%$; para un Júpiter caliente con $a/R_\star \approx 9$, $\approx 11\,\%$. Para órbitas excéntricas se multiplica por $(1 + e\sin\omega)/(1 - e^2)$ (Winn 2010). Por eso un censo de tránsitos debe corregirse por $a/R_\star$ para inferir frecuencias de planetas.

Ruido y relación señal/ruido

Si cada punto tiene ruido blanco gaussiano de desviación $\sigma$ y hay $N$ puntos dentro del tránsito, la profundidad promediada tiene incertidumbre $\sigma/\sqrt N$ y

con $\Delta t$ la cadencia y $N_{\rm tr}$ el número de tránsitos observados. La S/N crece como la raíz del tiempo total en tránsito. El ruido real no es blanco: la granulación y la actividad estelar, y la sistemática del instrumento, introducen ruido rojo correlacionado en escalas de horas que no se promedia como $1/\sqrt N$ (Winn 2010). El simulador genera datos con ruido blanco reproducible (generador mulberry32 + Box–Muller con semilla, crearGaussiano en transito.ts) y muestra la S/N resultante.

Problemas

1. Demuestra que, para $a \gg R_\star$ y $k \ll 1$, $\tau \approx \dfrac{P}{\pi}\dfrac{R_\star}{a}\dfrac{k}{\sqrt{1-b^2}}$ y $\tau/T_{14} \approx k/(1-b^2)$.

2. Verifica la inversión de Seager & Mallén-Ornelas: a partir de $\delta$, $S_{14}$ y $S_{23}$ obtén $b^2$ y $(a/R_\star)^2$. ¿Qué ocurre si $S_{23} \to S_{14}$?

3. Calcula $\delta$, $T_{14}$ y $\rho_\star$ para (a) $k = 0.1$, $P = 3$ d, $a/R_\star = 8.8$, $b = 0$; (b) la Tierra frente al Sol. Compara con las lecturas del simulador.

4. Demuestra que con la ley cuadrática $F_0 = \pi(1 - u_1/3 - u_2/6)$ y que, para $k \ll 1$, la profundidad central es $k^2/(1 - u_1/3 - u_2/6)$. Con $u_1 = 0.4$, $u_2 = 0.25$, ¿cuánto más profundo es el tránsito central que $k^2$?

5. Sea $w(\theta) = dA/d\theta \ge 0$ el peso de la cuadratura de anillos, de modo que el error es $\varepsilon = F_0^{-1}\sum_j\int_{\theta_j}^{\theta_{j+1}} w(\theta)\,[I(\theta) - I(\bar\theta_j)]\,d\theta$. Demuestra que, si $w$ e $I(\cos\theta)$ son de clase $C^2$, $\varepsilon = \dfrac{(\Delta\theta)^2}{24F_0}\displaystyle\int\bigl(2I'w' + I''w\bigr)\,d\theta + O\bigl((\Delta\theta)^4\bigr)$. ¿Por qué las singularidades de $w$ en $r = |z\pm k|$ no degradan el orden?

6. Un instrumento logra $\sigma = 200$ ppm por punto con cadencia de 2 min. ¿Cuántos tránsitos de una Tierra frente a un Sol hacen falta para $S/N = 7$? ¿Y de un Neptuno ($R_p = 3.9\,R_\oplus$) frente a una enana roja de $0.3\,R_\odot$ con $T_{14} \approx 2$ h?

7. Demuestra $p_{\rm tr} = (R_\star + R_p)/a$ para órbitas circulares isótropas. (Pista: el polo orbital está uniformemente distribuido en la esfera; ¿qué fracción del área de la esfera es una franja ecuatorial de semianchura angular $\beta$?)

8. (Computacional) Recuperar los parámetros de una curva de luz. Con datosSinteticos (o tu propio código) genera una curva con $k = 0.1$, $b = 0.3$, $a/R_\star = 8.8$, $P = 3$ d, $(u_1, u_2) = (0.4, 0.25)$, cadencia 2 min y $\sigma = 500$ ppm. Ajusta $(k, b, a/R_\star)$ minimizando $\chi^2$ sobre una rejilla (o con un optimizador) con los coeficientes de limbo fijos, y repite con $(u_1, u_2)$ libres. Compara las incertidumbres de $b$ y de $\rho_\star$ en ambos casos y explica el resultado con las degeneraciones de la sección correspondiente.

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares
def area(r1, r2, d):                       # intersección de dos círculos
    if d >= r1 + r2: return 0.0
    if d <= abs(r1 - r2): return np.pi * min(r1, r2)**2
    a1 = np.arccos((d*d + r1*r1 - r2*r2) / (2*d*r1)); a2 = np.arccos((d*d + r2*r2 - r1*r1) / (2*d*r2))
    return r1*r1*a1 + r2*r2*a2 - 0.5*np.sqrt((-d+r1+r2)*(d+r1-r2)*(d-r1+r2)*(d+r1+r2))
def flujo(t, k, b, aRs, u1, u2, P=3.0, n=200):   # método de anillos de la lección
    phi = 2*np.pi*t/P; z = aRs*np.sqrt(np.sin(phi)**2 + (b/aRs)**2*np.cos(phi)**2)
    F0 = np.pi*(1 - u1/3 - u2/6); out = np.ones_like(t)
    for i, (zi, c) in enumerate(zip(z, np.cos(phi))):
        if c <= 0 or zi >= 1 + k: continue
        rm, rp = max(0, zi-k), min(1, zi+k); th = np.linspace(np.arcsin(rm), np.arcsin(rp), n+1)
        r = np.sin(th); A = np.array([area(ri, k, zi) for ri in r]); mu = np.cos(0.5*(th[1:]+th[:-1]))
        out[i] = 1 - np.sum(np.diff(A) * (1 - u1*(1-mu) - u2*(1-mu)**2)) / F0
    return out
t = np.arange(-0.15, 0.15, 2/1440); rng = np.random.default_rng(3)
y = flujo(t, 0.1, 0.3, 8.8, 0.4, 0.25) + 5e-4*rng.standard_normal(t.size)
res = least_squares(lambda p: (y - flujo(t, *p, 0.4, 0.25))/5e-4, [0.09, 0.5, 8.0])
J = res.jac; cov = np.linalg.inv(J.T @ J); print(res.x, np.sqrt(np.diag(cov)))

Lecturas

• Winn, J. N. (2010). Transits and Occultations, en Exoplanets (ed. Seager), arXiv:1001.2010: la referencia pedagógica estándar; nuestra notación la sigue.
• Seager & Mallén-Ornelas (2003), ApJ 585, 1038: la solución única; Mandel & Agol (2002), ApJ 580, L171: el modelo analítico con limbo.
• Kipping (2013), MNRAS 435, 2152: muestreo de los coeficientes de limbo. Perryman (2018), The Exoplanet Handbook, cap. 6.
• Carter, J. A. et al. (2008). Analytic approximations for transit light-curve observables, uncertainties, and covariances. ApJ 689, 499: propagación de errores en $(\delta, T, \tau)$.