La precesión del perihelio de Mercurio

1. Motivación: 43 segundos de arco por siglo

El perihelio de Mercurio —el punto de su órbita más cercano al Sol— no está fijo: avanza unos $575''$ por siglo respecto a las estrellas. Casi todo ese avance lo explican las atracciones de Venus, la Tierra y Júpiter, que Urbain Le Verrier calculó en 1859 con la mecánica newtoniana. Pero sobraban $38''$ por siglo (Simon Newcomb los refinó a $\approx43''$ en 1895). Un planeta intramercurial («Vulcano»), un anillo de materia, una ley de gravitación con exponente distinto de 2: nada funcionó. El 18 de noviembre de 1915 Einstein presentó ante la Academia Prusiana el cálculo que, con sus ecuaciones de campo definitivas, daba exactamente $43''$ por siglo sin ningún parámetro libre. Fue el primer éxito empírico de la relatividad general; según su propio testimonio, le produjo palpitaciones.

En esta lección repetimos ese cálculo con todo detalle y lo confrontamos con las medidas actuales, que ya no provienen de tránsitos observados a ojo sino del seguimiento radar de la sonda MESSENGER.

2. La ecuación de la órbita y el término relativista

De la lección anterior, una partícula masiva en la métrica de Schwarzschild satisface, con $u = 1/r$, $\varphi$ el ángulo azimutal, $M$ la masa central (en unidades geométricas $G = c = 1$) y $L$ el momento angular por unidad de masa, la ecuación de Binet relativista

En unidades SI, $M\to GM/c^2$ y $L$ tiene unidades de m²/s, de modo que el cociente entre el término relativista y el newtoniano es $3L^2u^2/c^2 = 3(v_\perp/c)^2$, con $v_\perp = Lu$ la velocidad transversal. Para Mercurio, $v\approx 48$ km/s y $3(v/c)^2\approx 7.7\times10^{-8}$: una perturbación minúscula, pero que actúa en la misma dirección órbita tras órbita.

3. Derivación perturbativa

3.1 Solución de orden cero

Sin el término $3Mu^2$, la solución es la cónica kepleriana

donde $e$ es la excentricidad, $a$ el semieje mayor y $p$ el semilatus rectum; hemos elegido el origen de $\varphi$ en el perihelio.

3.2 Primer orden: la ecuación de la perturbación

Escribimos $u = u_0 + u_1$ con $u_1 = O(M/p)\,u_0$ y sustituimos, quedándonos con los términos de primer orden (es decir, aproximando $3Mu^2\approx3Mu_0^2$):

donde hemos usado $\cos^2\varphi = \tfrac12(1+\cos2\varphi)$. El operador $u'' + u$ es un oscilador armónico de frecuencia 1 en la variable $\varphi$. Los tres términos forzantes se tratan por separado (linealidad):

• Constante $A_0 = \frac{3M^3}{L^4}(1+e^2/2)$: solución particular $u_1 = A_0$. Desplaza la órbita en una cantidad fija: no produce precesión.
• $\cos2\varphi$: la solución particular de $u'' + u = B\cos2\varphi$ es $u_1 = -\tfrac{B}{3}\cos2\varphi$ (compruébalo: $-4\cdot(-B/3) + (-B/3) = B$). Es periódica y acotada: tampoco precesa.
• $\cos\varphi$: está en resonancia con el oscilador. La solución particular de $u'' + u = A\cos\varphi$ no es acotada.

3.3 El término secular

Probemos $u_1 = C\varphi\sin\varphi$: $u_1' = C(\sin\varphi + \varphi\cos\varphi)$, $u_1'' = C(2\cos\varphi - \varphi\sin\varphi)$, de modo que $u_1'' + u_1 = 2C\cos\varphi$. Luego $C = A/2$ y, con $A = 6M^3e/L^4$,

Este término crece linealmente con $\varphi$ (es secular) y domina a las otras correcciones al cabo de muchas órbitas. La solución completa a primer orden, reteniendo solo lo secular:

3.4 Resumación: el perihelio que avanza

Como $\cos\varphi + \epsilon\varphi\sin\varphi \approx \cos[(1-\epsilon)\varphi]$ para $\epsilon\varphi\ll1$ (desarrollo de Taylor de $\cos(\varphi - \epsilon\varphi)$ en $\epsilon\varphi$), la órbita es

Es una elipse cuyo perihelio ($u$ máximo) se repite cuando $(1-\epsilon)\varphi = 2\pi$, esto es, en $\varphi = 2\pi/(1-\epsilon)\approx 2\pi(1+\epsilon)$. El perihelio avanza, por órbita,

La aproximación $\epsilon\varphi\ll1$ se viola tras $\sim1/\epsilon$ órbitas, pero el resultado por órbita es correcto: formalmente, el término secular es el primer término del desarrollo de la frecuencia corregida (método de Lindstedt–Poincaré; problema 3). Con la tercera ley de Kepler, $GM = 4\pi^2a^3/T^2$, se obtiene la forma equivalente que usó Einstein:

4. Mercurio: 42.98″ por siglo

4.1 Cálculo

Usamos $GM_\odot = 1.327\,124\,4\times10^{20}$ m³ s⁻² (IAU 2015), $c = 299\,792\,458$ m/s, de modo que $GM_\odot/c^2 = 1476.6$ m; y los elementos medios de Mercurio $a = 0.387\,098$ UA $= 5.7909\times10^{10}$ m, $e = 0.205\,630$, periodo sidéreo $T = 87.9691$ d:

Un siglo juliano tiene $36\,525$ d, es decir $36\,525/87.9691 = 415.20$ órbitas:

Para los demás planetas interiores la fórmula da $8.62''$ (Venus), $3.84''$ (Tierra) y $1.35''$ (Marte) por siglo: menores porque $\Delta\varphi\propto1/a$ y el número de órbitas por siglo $\propto a^{-3/2}$, de modo que la tasa escala como $a^{-5/2}$ (problema 1).

4.2 Propagación de incertidumbres

$\dot\omega\propto GM_\odot\,a^{-1}(1-e^2)^{-1}T^{-1}$. Con $\delta(GM_\odot)/GM_\odot\sim10^{-10}$ y los elementos orbitales conocidos a $10^{-8}$ o mejor, la incertidumbre teórica es despreciable ($10^{-6}$ de $42.98''$). La única fuente de error real está en los términos de orden superior: la corrección siguiente es de orden $(M/p)^2$, es decir $\sim10^{-7}$ relativo, también despreciable. La función precesionPorOrbita de src/lib/math/schwarzschild.ts, que integra la ecuación de Binet completa con RK4, difiere de la fórmula en $3\times10^{-5}$ relativo para Mercurio, discrepancia dominada por la interpolación del paso por el perihelio y no por la física.

En el simulador, lleva la órbita a $a = 100M$, $e = 0.5$: la precesión por órbita es ya de varios grados y la fórmula de primer orden se equivoca en un 6.5 %. Cerca de la ISCO la órbita dibuja una roseta: el régimen perturbativo ha desaparecido.

5. El presupuesto de la precesión observada

La relatividad no es el único efecto. El avance total del perihelio respecto al sistema de referencia inercial (ICRF) tiene tres contribuciones:

Park et al. (2017) analizaron el seguimiento radar de la sonda MESSENGER en órbita de Mercurio (2011–2015) y obtuvieron la tasa total con una precisión de $0.0015''$ por siglo, un orden de magnitud mejor que cualquier medida anterior, junto con $J_2$ del Sol. La fila planetaria se obtiene por diferencia y coincide con el cálculo newtoniano de las efemérides.

El achatamiento solar produce un avance $\Delta\varphi_{J_2} = 3\pi J_2R_\odot^2/p^2$ por órbita (problema 4); Will (2014) lo escribe, junto con el término relativista en el formalismo parametrizado post-newtoniano (PPN), como

donde $\gamma$ mide la curvatura espacial por unidad de masa y $\beta$ la no linealidad de la superposición de potenciales; en relatividad general $\gamma = \beta = 1$. Con $J_2 = 2.25\times10^{-7}$ el segundo término vale $0.029''$, como en la tabla. Combinando MESSENGER con la cota de Cassini sobre $\gamma$, Park et al. obtienen

y Will (2014) cita $\beta-1 = (-4.1\pm7.8)\times10^{-5}$ de ajustes de efemérides con datos de MESSENGER. La relatividad general supera la prueba con una precisión de unas pocas partes en $10^5$.

5.1 Un apunte historiográfico

Le Verrier (1859) obtuvo $38''$ por siglo de residuo a partir de los tránsitos de Mercurio de 1697 a 1848; Newcomb (1895), con mejores perturbaciones planetarias, $\approx43''$. Einstein no ajustó nada: usó la fórmula $\Delta\varphi = 24\pi^3a^2/[c^2T^2(1-e^2)]$ con los elementos de la época y obtuvo $43''$. El valor $42.98''$ de las tablas modernas tiene cuatro cifras porque las constantes son hoy mucho mejores, no porque la teoría haya cambiado. (La cifra «$5600''$ por siglo» que aparece en algunos textos es el avance respecto al equinoccio móvil, que incluye la precesión de los equinoccios, $\approx5025''$ por siglo; la tabla anterior está referida a un sistema inercial.)

6. Problemas

1. Escalado con el semieje. Demuestra que la tasa de precesión relativista por siglo escala como $a^{-5/2}(1-e^2)^{-1}$ y úsalo para obtener los valores de Venus, la Tierra y Marte a partir del de Mercurio.

2. Los términos no seculares (demostración). Demuestra que la solución completa de primer orden es $u_1 = \frac{3M^3}{L^4}\left[1+\frac{e^2}{2} + e\varphi\sin\varphi - \frac{e^2}{6}\cos2\varphi\right]$ y que la corrección no secular al radio es menor que $3M/p$ en términos relativos.

3. Lindstedt–Poincaré. Introduce la variable $\psi = \Omega\varphi$ con $\Omega = 1 + \epsilon\Omega_1+\dots$ y exige que la solución sea periódica en $\psi$. Demuestra que la eliminación del término secular impone $\Omega_1 = -1$ con $\epsilon = 3M^2/L^2$, recuperando $\Delta\varphi = 2\pi\epsilon$ sin recurrir a la resumación de §3.4.

4. Achatamiento solar. Un cuerpo achatado produce el potencial $\Phi = -\frac{GM}{r}\left[1 - J_2\frac{R^2}{r^2}P_2(\cos\theta)\right]$. En el plano ecuatorial, demuestra que la precesión por órbita es $\Delta\varphi_{J_2} = 3\pi J_2R^2/p^2$ y evalúala para Mercurio con $J_2 = 2.25\times10^{-7}$, $R_\odot = 6.957\times10^8$ m.

5. Hulse–Taylor. El púlsar binario PSR B1913+16 tiene $P_b = 0.322\,997\,448\,918$ d, $e = 0.617\,134$ y masa total $2.828\,M_\odot$. Calcula la precesión del periastro con la fórmula de esta lección (válida para dos cuerpos sustituyendo $M$ por la masa total) y compárala con el valor medido $\langle\dot\omega\rangle = 4.226\,585(4)°$ por año.

6. Computacional: convergencia del término secular. Integra numéricamente $u'' + u = M/L^2 + 3Mu^2$ con RK4 (o usa precesionPorOrbita) para $p/M = 10^2, 10^3, \dots, 10^6$ con $e = 0.2$, y representa el cociente $\Delta\varphi_{\rm num}/\Delta\varphi_{\text{fórmula}}$ frente a $M/p$. Comprueba que la desviación es lineal en $M/p$ (el siguiente orden de la teoría de perturbaciones) y estima su coeficiente.

import { precesionPorOrbita, precesionCampoDebil } from '@/lib/math/schwarzschild';
const e = 0.2;
for (const p of [1e2, 1e3, 1e4, 1e5, 1e6]) {
  const a = p / (1 - e * e);
  const num = precesionPorOrbita(a * (1 - e), a * (1 + e), 1, 1e-3);
  console.log(p, num / precesionCampoDebil(a, e) - 1);
}

7. Autoevaluación

8. Lecturas

• Hartle (2003), Gravity, §10.4: la derivación perturbativa paso a paso. Schutz (2009), §11.1. Carroll (2004), §5.5. Weinberg (1972), §8.6 (y §9.5 para la versión PPN).
• Will (2014), Living Reviews in Relativity 17, 4, §4.2 («The perihelion shift of Mercury»), arXiv:1403.7377.
• Park et al. (2017), AJ 153, 121, doi:10.3847/1538-3881/aa5be2: la medida con MESSENGER.
• Einstein (1915), Sitzungsberichte 831–839; traducción al inglés en The Collected Papers of Albert Einstein, vol. 6, doc. 24 (Princeton).
• Roseveare, N. T. (1982). Mercury’s Perihelion from Le Verrier to Einstein. Oxford University Press: la historia completa, incluidas las hipótesis fallidas.