Distancias cosmológicas

1. Motivación: ¿a qué distancia está una supernova a z = 0.5?

En 1998 dos equipos midieron el brillo aparente de supernovas de tipo Ia con corrimientos al rojo $0.16 \lesssim z \lesssim 0.83$ y encontraron que eran entre un 10 % y un 15 % más lejanas de lo que predecía un universo sin constante cosmológica (Riess et al. 1998; Perlmutter et al. 1999). Para que esa frase tenga sentido hay que decir qué significa «distancia» en un universo que se expande: la separación entre el emisor y el receptor cambió mientras la luz viajaba, el espacio puede ser curvo y la luz llega enrojecida. En FLRW conviven varias distancias, todas iguales a $cz/H_0$ para $z \ll 1$ y todas distintas después. Esta lección las deriva una a una, las calcula con los parámetros de Planck 2018 y muestra cómo las supernovas las usaron para descubrir la aceleración cósmica.

2. Distancia comóvil radial

Partimos de la métrica FLRW de la lección anterior, con $a(t_0) = 1$ y la coordenada comóvil $r$:

Un fotón radial ($d\Omega = 0$, $ds = 0$) cumple $c\,dt = a\,dr$. Para un fotón emitido en $t_e$ y recibido hoy, la distancia comóvil (línea de visión) es la coordenada $r$ del emisor:

Para expresarla en función de lo que medimos, $z$, usamos $1 + z = 1/a$, de donde $dz = -da/a^2$ y, con $H = \dot a/a$, $dt = da/(aH)$. Entonces $c\,dt/a = c\,da/(a^2 H) = -c\,dz/H(z)$ y

donde $D_H$ es la distancia de Hubble ($D_H = 4430.9$ Mpc para $H_0 = 67.66$ km s⁻¹ Mpc⁻¹) y $\Omega_r, \Omega_m, \Omega_k, \Omega_\Lambda$ los parámetros de densidad actuales de radiación, materia, curvatura y constante cosmológica. $D_C$ es la distancia propia hoy entre nosotros y el emisor (Hogg 1999, §4); no es directamente observable, pero todas las demás se construyen con ella.

3. Distancia comóvil transversal y de diámetro angular

Dos fotones emitidos en el mismo instante $t_e$ desde los extremos de una regla de longitud propia $\ell$, perpendicular a la visual y situada en la coordenada $r$, llegan separados por un ángulo $\theta$. En la métrica, la longitud propia de un arco transversal en $t_e$ es $\ell = a(t_e)\,S_k(r)\,\theta$. Definimos la distancia comóvil transversal $D_M \equiv S_k(D_C)$, que con $\Omega_k = -kc^2/(R_0 H_0)^2$ se escribe

(Hogg 1999, ec. 16). La distancia de diámetro angular es, por definición, la que hace válida la relación euclídea $\ell = D_A\,\theta$:

El factor $1/(1+z)$ tiene una consecuencia sorprendente: mientras $D_M$ crece con $z$ pero se satura (la integral de $1/E$ converge), el denominador crece sin límite, así que $D_A$ alcanza un máximo y luego decrece: las galaxias muy lejanas se ven más grandes en el cielo que otras más cercanas (§6).

4. Distancia de luminosidad y relación de Etherington

Una fuente de luminosidad bolométrica $L$ (energía por unidad de tiempo en su sistema de reposo) emite fotones que hoy se reparten sobre una esfera centrada en la fuente. El área propia de esa esfera, medida hoy ($a = 1$), es $4\pi D_M^2$ (el radio «angular» de la esfera es $S_k(r)$). Pero el flujo recibido es menor que $L/4\pi D_M^2$ por dos factores $(1+z)$ independientes:

1. cada fotón llega con energía $h\nu_0 = h\nu_e/(1+z)$;
2. los fotones emitidos en un intervalo $\delta t_e$ llegan en $\delta t_0 = (1+z)\,\delta t_e$ (dilatación cosmológica del tiempo, consecuencia de $\int c\,dt/a = r$ constante para dos frentes de onda sucesivos).

Por tanto $F = L/[4\pi D_M^2 (1+z)^2]$ y, definiendo $D_L$ por la ley euclídea $F = L/4\pi D_L^2$,

La igualdad $D_L = (1+z)^2 D_A$ es la relación de reciprocidad de Etherington (1933): no depende de las ecuaciones de Friedmann, solo de que los fotones sigan geodésicas nulas y se conserve su número, así que es una prueba de la propia relatividad general a escala cósmica. La separación $D_L \ne D_A$ a $z \gtrsim 0.1$ es enorme: en $z = 1$ difieren en un factor 4.

Módulo de distancia

En magnitudes, $m - M = 5\log_{10}(D_L/10\ \mathrm{pc})$. Con $D_L$ en Mpc,

Si el flujo se mide en una banda y no bolométricamente hay que añadir la corrección K, que tiene en cuenta que el espectro observado está desplazado respecto al filtro (Hogg 1999, §13; Hogg et al. 2002).

5. Desarrollo a bajo corrimiento: la ley de Hubble y q₀

Para $z \ll 1$ desarrollamos $1/E(z)$ alrededor de $z = 0$. Como $E(0) = 1$ y, derivando $E^2$,

(usa $\Omega_k = 1 - \Omega_r - \Omega_m - \Omega_\Lambda$), tenemos $1/E \approx 1 - (1+q_0)z$ y

(a este orden la curvatura no interviene en $D_M$, pues $S_k(x) = x + O(x^3)$). El término lineal es la ley de Hubble, $D_L \approx cz/H_0$; el cuadrático mide la desaceleración: en un universo que se acelera ($q_0 < 0$) las fuentes a un $z$ dado están más lejos y se ven más débiles. Para Planck 2018, $q_0 = 9.1\times10^{-5} + 0.3111/2 - 0.6889 = -0.533$.

6. El máximo de la distancia de diámetro angular

Einstein–de Sitter (solución exacta)

Con $\Omega_m = 1$, $E = (1+z)^{3/2}$ y

Sea $x \equiv (1+z)^{-1/2} \in (0, 1]$. Entonces $D_A = 2D_H\,x^2(1-x)$, cuya derivada $2D_H(2x - 3x^2)$ se anula en $x = 2/3$, es decir $1 + z = 9/4$:

ΛCDM (condición general)

En un universo plano, $D_A = D_C/(1+z)$ y $dD_C/dz = D_H/E(z)$. La condición $dD_A/dz = 0$ es

que hay que resolver numéricamente. En src/lib/math/distanciasCosmologicas.ts, zMaximoDiametroAngular la localiza por sección áurea (el problema es unimodal); el test comprueba $z_{\max} = 5/4$ en EdS con error $< 10^{-4}$. Para Planck 2018 (+BAO) resulta

de modo que $1''$ corresponde como máximo a $1792\ \mathrm{Mpc} \times 4.848\times10^{-6} = 8.7$ kpc. Una galaxia de 10 kpc nunca se ve menor que $1.15''$, esté en $z = 1.6$ o en $z = 10$. En el universo de Milne ($\Omega_m = \Omega_\Lambda = 0$) no hay máximo: $D_A \to D_H/2$ monótonamente (problema 2).

7. Resultados con Planck 2018

La tabla siguiente se calculó con distanciasCosmologicas.ts para $H_0 = 67.66$ km s⁻¹ Mpc⁻¹, $\Omega_m = 0.3111$, $\Omega_\Lambda = 0.6889$, $\Omega_r = 9.1\times10^{-5}$ (columna TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO de la tabla 2 de Planck 2018 VI). $t_L$ es el tiempo de retrospección.

Dos comprobaciones independientes del código:

• Edad. $t_0 = \int_0^\infty dz/[(1+z)E]/H_0 = 13.786$ Gyr frente a $13.787 \pm 0.020$ Gyr de Planck.
• Escala acústica. Planck mide con precisión de 0.03 % el ángulo $\theta_\ast = r_\ast/D_M(z_\ast)$ que subtiende el horizonte sonoro comóvil $r_\ast = 144.43$ Mpc en $z_\ast = 1089.92$: $100\,\theta_\ast = 1.04110 \pm 0.00031$. Con la columna sin BAO ($H_0 = 67.36$, $\Omega_m = 0.3153$) nuestro $D_M(z_\ast) = 13\,836$ Mpc da $100\,\theta_\ast = 1.0416$, a 0.05 % del valor publicado (la diferencia viene de tratar los neutrinos como radiación sin masa dentro de $\Omega_r$).

8. Supernovas Ia y la aceleración

Las SN Ia son candelas estandarizables: tras corregir por la relación anchura–luminosidad su dispersión en $M$ es de unas 0.15 mag. El diagrama de Hubble representa $m(z)$, es decir $M + \mu(z)$; $M$ y $H_0$ solo desplazan verticalmente la curva (aparecen en la combinación $M - 5\log_{10}H_0$), de modo que la forma de $\mu(z)$ es la que fija $\Omega_m$ y $\Omega_\Lambda$.

En $z = 0.5$ el modelo ΛCDM predice supernovas 0.40 mag más débiles que EdS y 0.19 mag más débiles que un universo abierto con $\Omega_m = 0.2$; esta última cifra es justamente el exceso de 10–15 % en distancia (0.2–0.3 mag) que vieron Riess et al. (1998) con 16 supernovas lejanas y 34 cercanas. Perlmutter et al. (1999), con 42 supernovas en $0.18 \le z \le 0.83$, obtuvieron la ligadura $0.8\,\Omega_m - 0.6\,\Omega_\Lambda \approx -0.2 \pm 0.1$ y, para un universo plano, $\Omega_m = 0.28^{+0.09}_{-0.08}$ (estadístico), con $P(\Lambda > 0) = 99\,\%$. Riess et al. (1998) rechazaron $\Omega_\Lambda = 0$ a 3–4 σ y un universo cerrado de solo materia a 7–8 σ. La sensibilidad es modesta: $\partial\mu/\partial\Omega_m \approx -0.75$ mag en $z = 0.5$ para modelos planos, así que medir $\Omega_m$ con ±0.05 requiere controlar sistemáticos de 0.04 mag (extinción, evolución, corrección K).

9. Análisis numérico y de error

Cuadratura. cosmology.comovingDistance aplica Simpson con 1000 subintervalos a $\int_0^z dz'/E$. El integrando es muy empinado cerca de $z = 0$ cuando $z$ es grande (varía como $(1+z)^{-3/2}$), y en $z = 1090$ el paso $\Delta z \approx 1$ produce un error del 1.5 %. distanciasCosmologicas.distanciaComovil cambia de variable a $a = u^2$:

cuyo integrando es suave en todo $[0, 1]$; con 2000 subintervalos el error relativo frente a la fórmula exacta de EdS es inferior a $10^{-8}$ hasta $z = 1090$ (test). Como Simpson es de orden $h^4$, duplicar $n$ divide el error por 16: compruébalo en el problema 6.

Propagación. De $\mu = 5\log_{10}D_L + 25$, $\delta\mu = (5/\ln 10)\,\delta D_L/D_L = 2.17\,\delta D_L/D_L$. La incertidumbre de $H_0$ (0.42/67.66 = 0.6 %) da $\delta\mu = 0.013$ mag, común a todos los $z$. A bajo $z$ domina la velocidad peculiar: $\delta z = v_p/c \approx 10^{-3}$ para $v_p = 300$ km s⁻¹, que en $z = 0.01$ es un 10 % en distancia, 0.2 mag; por eso las muestras cosmológicas descartan $z \lesssim 0.01$–0.02.

10. Simulador

1. Fija Planck 2018 y lee $a(t)$: ¿en qué instante se emitió la luz que hoy vemos con $z = 1$? Compara con $t_L = 7.94$ Gyr.
2. Cambia a Einstein–de Sitter con el mismo $H_0$ y estima a ojo cuánto se reduce la edad; relaciónalo con que $D_C(z)$ es menor en EdS (tabla de §8).
3. En un modelo cerrado ($\Omega_m = 3$), ¿qué le ocurre a $D_M$ cuando $\sqrt{|\Omega_k|}\,D_C/D_H \to \pi$? ¿Qué vería un observador de un objeto en el «punto antipodal»?

Problemas

1. (Demostración) Dilatación temporal cosmológica. Demuestra que dos frentes de onda emitidos en $t_e$ y $t_e + \delta t_e$ llegan separados por $\delta t_0 = (1+z)\,\delta t_e$, y deduce de ello $1 + z = 1/a(t_e)$ y el factor $(1+z)^{-2}$ del flujo.

2. (Demostración) Milne. Para $\Omega_m = \Omega_\Lambda = 0$ ($\Omega_k = 1$), demuestra que $D_A = D_H\,\dfrac{z(2+z)}{2(1+z)^2}$, que es creciente para todo $z$ y tiende a $D_H/2$.

3. (Demostración) Segundo orden en z. Completa la derivación de §5: a partir de $E(z)^2$ obtén $dE/dz|_0 = 1 + q_0$ y demuestra $D_L = D_H[z + \tfrac12(1-q_0)z^2] + O(z^3)$. ¿Qué signo tiene la corrección para Planck 2018 y cuánto vale en $z = 0.1$?

4. Tamaños aparentes. Con la tabla de §7: (a) ¿cuántos kpc subtiende $1''$ en $z = 0.5$, $1.59$ y $10$? (b) ¿Qué tamaño angular tiene una galaxia de 10 kpc en $z = 1$ y en $z = 6$? (c) El disco de última dispersión está en $z = 1089.9$: ¿cuántos Mpc propios abarca $1^\circ$?

5. Discriminar modelos con supernovas. Un conjunto de SN Ia en $z = 0.5$ tiene $\sigma_M = 0.15$ mag cada una. (a) ¿Cuántas hacen falta para distinguir ΛCDM de EdS a 5 σ? (b) ¿Y de un abierto con $\Omega_m = 0.2$? (c) ¿Por qué la respuesta no depende de $H_0$ ni de $M$?

6. (Computacional) Cuadratura y orden de convergencia. Implementa $D_C$ con Simpson en la variable $u = \sqrt a$ y en la variable $z$, y mide el error relativo frente a la fórmula exacta de EdS en $z = 2$ y $z = 1090$ para $n = 50, 100, 200, 400$.

import numpy as np
def simpson(f, a, b, n):
    x = np.linspace(a, b, n + 1); w = np.ones(n + 1); w[1:-1:2] = 4; w[2:-1:2] = 2
    return (b - a) / (3 * n) * np.sum(w * f(x))
def DC_z(z, n):  # EdS, en unidades de D_H
    return simpson(lambda zz: (1 + zz) ** -1.5, 0, z, n)
def DC_u(z, n):
    return simpson(lambda u: 2 * u / np.sqrt(u ** 2), np.sqrt(1 / (1 + z)), 1, n)  # Ω_m u² bajo la raíz
exacto = lambda z: 2 * (1 - (1 + z) ** -0.5)
for z in (2, 1090):
    for n in (50, 100, 200, 400):
        print(z, n, abs(DC_z(z, n) / exacto(z) - 1), abs(DC_u(z, n) / exacto(z) - 1))

7. Velocidades peculiares. Una SN Ia en $z = 0.02$ pertenece a una galaxia con velocidad peculiar desconocida de dispersión 300 km s⁻¹. Estima el error que introduce en $\mu$ y compáralo con $\sigma_M = 0.15$ mag. ¿A partir de qué $z$ es despreciable (menor que 0.03 mag)?

Lecturas

• Hogg, D. W. (1999). Distance measures in cosmology, arXiv:astro-ph/9905116. Referencia breve y completa; nuestra notación sigue la suya.
• Ryden, B. (2017). Introduction to Cosmology, 2.ª ed., cap. 6: distancias, candelas y reglas estándar, supernovas.
• Weinberg, S. (2008). Cosmology, §1.4 (distancias y el desarrollo en $q_0$), §1.6 (supernovas).
• Riess et al. (1998), AJ 116, 1009; Perlmutter et al. (1999), ApJ 517, 565: los artículos del Nobel de 2011.
• Planck Collaboration (2020), A&A 641, A6, tabla 2: parámetros usados en los cálculos.