Transferencias de Hohmann y asistencias gravitatorias

1. Motivación

Las sondas a Marte parten cada 26 meses, nunca en otra fecha; un satélite geoestacionario se coloca en dos encendidos separados por cinco horas; las Voyager salieron del Sistema Solar con cohetes que no habrían podido llevarlas más allá de Júpiter. Todo esto se decide con un único presupuesto: el incremento de velocidad $\Delta v$, que fija, vía la ecuación del cohete de Tsiolkovski, la masa de propelente. Esta lección calcula los $\Delta v$ de las maniobras básicas en la aproximación impulsiva (encendidos instantáneos) y de dos cuerpos.

2. La transferencia de Hohmann

Sean dos órbitas circulares coplanarias de radios $r_1 < r_2$ alrededor de un centro de parámetro $\mu$, con rapideces $v_{c1} = \sqrt{\mu/r_1}$ y $v_{c2} = \sqrt{\mu/r_2}$. Hohmann (1925) propuso unirlas con media elipse tangente a ambas: periapsis en $r_1$, apoapsis en $r_2$, semieje $a_t = (r_1+r_2)/2$. Por vis-viva (lección 0) las rapideces en los extremos de la elipse son

y como los impulsos son tangenciales (misma dirección que la velocidad), los $\Delta v$ son diferencias de módulos:

El tiempo de vuelo es medio periodo de la elipse (tercera ley). Para un viaje hacia dentro ($r_1 > r_2$) las mismas fórmulas dan $\Delta v$ negativos: se frena en ambos encendidos.

Optimalidad. Entre todas las transferencias de dos impulsos entre dos circunferencias coplanarias, la de Hohmann minimiza $|\Delta v_1| + |\Delta v_2|$ (demostración analítica: Barrar 1963; una versión elemental para impulsos tangenciales está en el Problema 1). La razón intuitiva es el efecto Oberth: un impulso rinde más energía cuanto mayor es la velocidad a la que se aplica, $d\varepsilon = v\,dv$, y los puntos de máxima velocidad de la elipse de transferencia son precisamente sus ápsides. La función $\Delta v_{\text{tot}}/v_{c1}$ depende solo de $q = r_2/r_1$ y tiene un máximo en $q = 15.58$ (Problema 2): ir más lejos de ahí cuesta menos $\Delta v$, porque la circularización final es más barata.

Ejemplo: de LEO a GEO. Órbita de aparcamiento a 300 km ($r_1 = 6\,678.137$ km) y órbita geoestacionaria ($r_2 = 42\,164$ km), $\mu_\oplus = 398\,600.435$ km³/s²: $v_{c1} = 7.726$, $v_{t1} = 10.152$, $v_{t2} = 1.608$, $v_{c2} = 3.075$ km/s; $\Delta v_1 = 2.426$ km/s, $\Delta v_2 = 1.467$ km/s, total 3.893 km/s, en $t_t = 5.27$ h. (Los lanzadores reales añaden un cambio de plano en el apogeo si el lanzamiento no es ecuatorial; por eso Kourou, a 5° de latitud, es más barato que Baikonur, a 46°.)

3. La transferencia bielíptica

Con tres impulsos: subir a un apoapsis lejano $r_B \ge r_2$, allí elevar el periapsis hasta $r_2$ y en $r_2$ circularizar (frenando). Con $a_1 = (r_1+r_B)/2$ y $a_2 = (r_B+r_2)/2$:

donde $v(r;a) = \sqrt{\mu(2/r - 1/a)}$. En el límite $r_B\to\infty$ el segundo impulso se anula y $\Delta v_{\text{tot}} \to (\sqrt2 - 1)\big(1 + q^{-1/2}\big)\,v_{c1}$ con $q = r_2/r_1$; la comparación con Hohmann (Problema 3) muestra que la bielíptica gana si y solo si $q > 11.94$ (para $r_B\to\infty$); para $r_B$ finito el umbral sube, hasta $q = 15.58$ cuando $r_B\to r_2$. Numéricamente, con $\Delta v$ en unidades de $v_{c1}$:

El ahorro es pequeño y el tiempo de vuelo enorme (crece como $r_B^{3/2}$): en la práctica se usa en casos especiales (por ejemplo, grandes cambios de plano combinados).

4. Escape y captura: cónicas empalmadas

Para una misión interplanetaria dividimos el viaje en tramos de dos cuerpos: hipérbola de escape respecto a la Tierra dentro de su esfera de influencia ($r_{SOI} \approx a(m/M_\odot)^{2/5} \approx 0.93\times10^{6}$ km), elipse heliocéntrica de Hohmann, e hipérbola de llegada respecto a Marte. En la frontera se empalman las velocidades: la rapidez con la que la sonda abandona la esfera de influencia, el exceso hiperbólico $v_\infty$, debe ser el $\Delta v_1$ heliocéntrico de Hohmann (en el sistema del planeta la velocidad relativa «lejana» es $v_{t1} - v_{c1}$). Desde una órbita de aparcamiento circular de radio $r_p$ la hipérbola con ese $v_\infty$ tiene en el periapsis $v_p^2 = v_\infty^2 + 2\mu/r_p$ (vis-viva con $\varepsilon = v_\infty^2/2$), así que

$C_3$ es la energía característica con que se especifica la capacidad de un lanzador. La misma fórmula da el frenado de captura a la llegada. El efecto Oberth es visible: $\Delta v_{\text{esc}}$ es mucho menor que $v_\infty + (\sqrt2-1)v_c$ (escapar primero y acelerar después).

Tierra → Marte. Con $r_1 = 1$ UA, $r_2 = 1.52371$ UA (a de Marte, NASA/JPL) y $\mu_\odot = 1.32712440\times10^{11}$ km³/s²:

Presupuesto mínimo de LEO a órbita baja marciana: $3.59 + 2.09 = 5.68$ km/s (sin cambios de plano, sin pérdidas por gravedad, y asumiendo circulares y coplanarias las órbitas de los planetas; $i_{\text{Marte}} = 1.85°$ y $e = 0.0934$ hacen que las ventanas reales oscilen alrededor de estos valores). Las misiones reales usan trayectorias de tipo Lambert ligeramente distintas (los diagramas «porkchop») y aerofrenado en la captura.

5. Ventanas de lanzamiento

Para que la sonda encuentre a Marte en el apoapsis de la elipse, Marte debe estar, en el instante de salida, un ángulo de fase $\gamma$ por delante de la Tierra:

porque durante el viaje Marte recorre $n_2t_t$ y la sonda recorre $\pi$. Con los datos anteriores, $n_2 = 0.5240°$/día y $\gamma = 180° - 135.65° = 44.3°$. Esa configuración se repite cada periodo sinódico:

(NASA: 779.94 d), es decir, 2.135 años, los famosos 26 meses. Para el regreso, la Tierra debe estar $\gamma' = \pi - n_1t_t = -75.1°$ respecto a Marte (por detrás, porque la Tierra es más rápida). Al llegar a Marte la Tierra lleva $n_1t_t - \pi = +75.1°$ de ventaja; la fase relativa cambia a ritmo $n_1 - n_2 = 0.4616°$/día, y hay que esperar hasta que valga $-75.1°$ (módulo $360°$):

Misión de ida y vuelta: $259 + 454 + 259 = 972$ días $\approx 2.66$ años. Este número, no la tecnología de propulsión, es lo que convierte un viaje tripulado a Marte en una misión de casi tres años.

6. Asistencia gravitatoria

En el sistema del planeta, un sobrevuelo es una hipérbola: la sonda llega con $\mathbf v_\infty^-$ y sale con $\mathbf v_\infty^+$ del mismo módulo (energía conservada en ese sistema) pero girado un ángulo $\delta$ (lección 0, Problema 5):

En el sistema heliocéntrico la velocidad es $\mathbf V = \mathbf V_p + \mathbf v_\infty$, con $\mathbf V_p$ la velocidad del planeta: girar $\mathbf v_\infty$ cambia $\lVert\mathbf V\rVert$. Si la sonda pasa por detrás del planeta (respecto a su movimiento), $\mathbf v_\infty^+$ queda más alineada con $\mathbf V_p$ y la sonda gana energía heliocéntrica; por delante la pierde. La energía sale del planeta: por conservación del momento, $m_p\Delta\mathbf V_p = -m\,\Delta\mathbf v_\infty$, una variación del orden de $10^{-24}$ m/s para Júpiter, inmedible pero no nula. El máximo teórico es $\Delta v = 2v_\infty$ (giro de $180°$, que exigiría $r_p\to0$).

Ejemplo (Júpiter). $v_\infty = 10$ km/s, periapsis a $10\,R_J$ ($R_J = 71\,492$ km, $\mu_J = 1.26687\times10^{8}$ km³/s²): $e = 1.564$, $\delta = 79.5°$, $\lVert\Delta\mathbf v_\infty\rVert = 12.8$ km/s. Es decir, Júpiter puede «regalar» más $\Delta v$ que el que un lanzador entero da en LEO; con ese impulso las Voyager (Flandro 1966) alcanzaron velocidad de escape del Sistema Solar. Para frenar (misiones a Mercurio o al Sol) se pasa por delante: BepiColombo y Parker Solar Probe usan Venus repetidamente ($v_\infty = 5$ km/s a $1.2\,R_V$: $\delta = 79.8°$, $\Delta v = 6.4$ km/s).

7. Análisis de error de las hipótesis

1. Impulso instantáneo. Un encendido de duración $\Delta t$ con empuje constante reparte el $\Delta v$ a lo largo de un arco; la pérdida por gravedad es $\approx\Delta v\,(n\Delta t)^2/24$ para un arco corto. Para un encendido de 10 min en LEO ($n\Delta t = 0.68$ rad) la pérdida es del 2 %; para etapas de bajo empuje (propulsión eléctrica, $\Delta t\sim$ meses) la aproximación deja de valer y el problema es de control óptimo.
2. Cónicas empalmadas. Despreciar el Sol dentro de la esfera de influencia terrestre y la Tierra fuera de ella produce errores de $\sim1$ % en $v_\infty$ (Vallado §12.3), que se corrigen después con integración numérica completa; el método sirve para el diseño, no para la navegación.
3. Órbitas planetarias circulares y coplanarias. La excentricidad de Marte hace que $r_2$ varíe entre 1.381 y 1.666 UA: el $\Delta v$ real de una ventana concreta difiere de la tabla en hasta $\pm0.3$ km/s, y el cambio de plano ($1.85°$) añade $2v\sin(i/2) \approx 0.8$ km/s si se hace en el peor sitio (mucho menos si se reparte). Los diagramas porkchop, resolviendo el problema de Lambert entre posiciones de efemérides reales, dan el valor exacto para cada par de fechas.
4. Sensibilidad al tiempo de salida. Un retraso $\delta t$ cambia el ángulo de fase en $(n_1-n_2)\delta t = 0.46°$/día; el coste en $\Delta v$ crece aproximadamente de forma cuadrática con el error de fase cerca del óptimo. Por eso las ventanas duran unas semanas, no meses.

8. Simulador

Fija $a = 1.262$ UA y $e = 0.2075$: es la elipse de transferencia Tierra–Marte. Comprueba que el periapsis está a 1 UA y el apoapsis a 1.524 UA, que el periodo es $2t_t = 517.7$ d y que la rapidez en el periapsis es 32.7 km/s (frente a los 29.8 km/s de la Tierra: el $\Delta v_1$ de 2.9 km/s). Observa cuánto más lento se mueve en el apoapsis.

El segundo simulador anima la misión completa en órbitas circulares coplanares. Elige Marte y lanza con un ángulo de fase distinto del óptimo: mide cuántos grados de error en la salida producen cuántos millones de kilómetros de fallo en la llegada (la sensibilidad del §7, punto 4). En el modo universitario, compara Hohmann con la bielíptica para Neptuno y comprueba en la gráfica que la bielíptica solo gana por encima de $r_2/r_1 \approx 11.94$.

Problemas

1. (Demostración) Considera transferencias de dos impulsos tangenciales entre $r_1$ y $r_2$ con una elipse de periapsis $r_1$ y apoapsis $r_a \ge r_2$ (la sonda cruza $r_2$ y allí se circulariza con un impulso no tangencial). Demuestra que el $\Delta v$ total es mínimo para $r_a = r_2$, es decir, Hohmann.

2. (Demostración) Escribe $\Delta v_{\text{tot}}/v_{c1} = f(q)$ con $q = r_2/r_1$ y demuestra que $f$ tiene un máximo en $q \approx 15.58$. Interpreta.

3. (Demostración) Obtén $\lim_{r_B\to\infty}\Delta v_{\text{tot}}$ de la bielíptica en unidades de $v_{c1}$ y demuestra que iguala a Hohmann en $q = 11.94$.

4. (Oberth) Una nave en una órbita dada debe aumentar su energía específica en $\Delta\varepsilon$ fijo (por ejemplo, para alcanzar un $v_\infty$ dado). Demuestra que el impulso tangencial necesario, $\Delta v = \sqrt{v^2 + 2\Delta\varepsilon} - v$, es una función decreciente de la rapidez $v$ en el punto de encendido, y aplícalo a una órbita de transferencia geoestacionaria (300 × 35 786 km) que quiere partir hacia Marte con $v_\infty = 2.945$ km/s: compara el encendido en el perigeo y en el apogeo.

5. (Ventanas) Deduce la fórmula del tiempo de espera en Marte $t_{\text{esp}} = \big[2\pi - 2(n_1t_t - \pi)\big]/(n_1 - n_2)$ (módulo $2\pi/(n_1-n_2)$) y calcula la duración total de una misión de ida y vuelta a Venus ($a = 0.72333$ UA, $T = 224.701$ d).

6. (Asistencia) Demuestra que el cambio de energía heliocéntrica específica de la sonda en un sobrevuelo es $\Delta\varepsilon = \mathbf V_p\cdot\Delta\mathbf v_\infty$ y que, para un ángulo de giro $\delta$ dado, es máximo cuando $\Delta\mathbf v_\infty$ es paralelo a $\mathbf V_p$, es decir, cuando las asíntotas de entrada y salida son simétricas respecto a la dirección perpendicular a $\mathbf V_p$.

7. (Computacional) Escribe un programa que, para cada planeta (semiejes de src/lib/math/planetas.ts o de la NASA), calcule la transferencia de Hohmann desde la Tierra: $\Delta v_1$, $\Delta v_2$, $t_t$, $\gamma$ y $S$; y para Marte, el $\Delta v$ total desde LEO 300 km hasta órbita circular a 300 km. Tabula y comenta los casos de Mercurio y Neptuno.

import numpy as np
mu = 1.32712440041e11; AU = 1.495978707e8; d = 86400
planetas = {'Mercurio': 0.38710, 'Venus': 0.72333, 'Marte': 1.52371, 'Júpiter': 5.20289,
            'Saturno': 9.53668, 'Urano': 19.18916, 'Neptuno': 30.06992}
r1 = AU; T1 = 2*np.pi*np.sqrt(r1**3/mu)
for nombre, a in planetas.items():
    r2 = a*AU; at = (r1+r2)/2
    vc1, vc2 = np.sqrt(mu/r1), np.sqrt(mu/r2)
    dv1 = np.sqrt(mu*(2/r1-1/at)) - vc1; dv2 = vc2 - np.sqrt(mu*(2/r2-1/at))
    tt = np.pi*np.sqrt(at**3/mu); n2 = np.sqrt(mu/r2**3); T2 = 2*np.pi/n2
    gamma = np.degrees((np.pi - n2*tt + np.pi) % (2*np.pi) - np.pi); S = 1/abs(1/T1 - 1/T2)
    print(f'{nombre:8s} dv1={dv1:6.2f} dv2={dv2:6.2f} km/s  t={tt/d:7.1f} d  γ={gamma:7.1f}°  S={S/d:7.1f} d')

Autoevaluación

Lecturas

• Curtis (2020), cap. 6: transferencias de Hohmann y bielíptica con los ejemplos 6.1–6.4 y la demostración del cociente 11.94; cap. 8: misiones interplanetarias, cónicas empalmadas, ventanas (ejemplos 8.3–8.5 para Marte) y asistencias gravitatorias (§8.9).
• Vallado (2013), §6.3–6.4: maniobras coplanarias y comparación de transferencias; cap. 12: diseño de misión interplanetaria y esferas de influencia.
• Danby (1988), cap. 8: tratamiento clásico de las órbitas de transferencia.
• Hohmann (1925), Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (NASA TT F-44): el texto original; Barrar (1963): demostración de optimalidad.
• Minovitch (1961) y Flandro (1966): origen de la asistencia gravitatoria y del «Grand Tour» de las Voyager.
• NASA GSFC Planetary Fact Sheets y JPL Horizons: todos los datos planetarios de esta lección.