Nucleosíntesis estelar y neutrinos solares

1. Motivación: la fuente de energía del Sol

En la lección 0 vimos que la contracción gravitatoria solo sostiene la luminosidad solar durante $\sim3\times10^7$ años, cien veces menos que la edad de las rocas terrestres. Eddington (1920) propuso que la fusión de hidrógeno en helio, con la conversión de masa en energía de Einstein, era la fuente; Bethe (1939) identificó las reacciones concretas. El problema es que el centro del Sol está a $T_c = 1.57\times10^7$ K, donde la energía térmica de dos protones ($k_BT\approx1.35$ keV) es mil veces menor que la altura de la barrera de Coulomb que los separa ($\sim1$ MeV a la distancia nuclear). Clásicamente, la fusión sería imposible. La mecánica cuántica (efecto túnel, Gamow 1928) y la cola de la distribución de Maxwell–Boltzmann lo resuelven, y lo hacen con una dependencia con la temperatura que determina la estructura de toda estrella. Hoy, además, podemos ver las reacciones en directo: los neutrinos que producen atraviesan el Sol y llegan a la Tierra en ocho minutos, y Borexino los ha medido uno a uno por rama.

2. Energética: cuánta energía libera cada reacción

La energía liberada en una reacción (su valor $Q$) es la diferencia de masas entre reactivos y productos, $Q = (\sum m_{\rm ini} - \sum m_{\rm fin})c^2$. Usamos las masas atómicas de la evaluación AME2020 (Wang et al. 2021; tabla NIST), en unidades de masa atómica $u$, con $1\,u\,c^2 = 931.49410242$ MeV (CODATA 2018). Como las masas atómicas incluyen los electrones, en una desintegración $\beta^+$ hay que restar $2m_ec^2 = 1.022$ MeV (el positrón creado más el electrón orbital sobrante); ese positrón se aniquila después con un electrón del plasma y devuelve los 1.022 MeV al medio.

El balance global es el mismo por cualquier camino:

incluida la aniquilación de los dos positrones. Es el 0.712 % de la masa en reposo de los cuatro protones ($26.731/3755.67$). Los neutrinos se llevan una parte que depende de la rama (en pp-I, menos del 3 %: dos neutrinos de a lo sumo 0.420 MeV cada uno).

Consumo de hidrógeno del Sol. Para producir $L_\odot = 3.828\times10^{26}$ W hacen falta $L_\odot/Q = 3.828\times10^{26}/(26.731\times1.6022\times10^{-13}\ \mathrm J) = 8.9\times10^{37}$ síntesis de ⁴He por segundo, es decir, $4\times8.9\times10^{37}\times1.6735\times10^{-27}$ kg $= 6.0\times10^{11}$ kg de hidrógeno por segundo (seiscientos millones de toneladas), de las que $4.3\times10^9$ kg se convierten en energía.

3. La cadena protón–protón

Todas las ramas comienzan igual. La primera reacción es la más lenta del universo estelar: convierte un protón en neutrón por interacción débil ($p\to n+e^++\nu_e$ dentro del sistema de dos protones), con una sección eficaz tan pequeña ($S(0) = 4.01\times10^{-22}$ keV b) que nunca se ha medido en el laboratorio; se calcula.

El neutrino pp tiene un espectro continuo con energía máxima 0.420 MeV. En el 0.2 % de los casos la primera reacción ocurre con un electrón capturado, ${}^1\mathrm H + e^- + {}^1\mathrm H\to{}^2\mathrm H + \nu_e$ (reacción pep), que emite un neutrino monoenergético de 1.442 MeV. El deuterio se quema en segundos, así que su abundancia es ínfima. El ³He puede seguir tres caminos:

Rama pp-I (en el Sol, $\sim85$ % de las terminaciones):

Comprobación: $2\times(0.420 + 1.022) + 2\times5.494 + 12.860 = 26.732$ MeV. $\checkmark$

Rama pp-II ($\sim15$ %): el ³He se une a un ⁴He preexistente y el ⁷Be captura un electrón.

Los neutrinos del ⁷Be son líneas (captura electrónica a dos cuerpos): 0.862 y 0.384 MeV. Comprobación: $1.442 + 5.494 + 1.587 + 0.862 + 17.346 = 26.731$ MeV. $\checkmark$

Rama pp-III ($\sim0.02$ %): el ⁷Be captura un protón antes que un electrón.

Comprobación: $1.442 + 5.494 + 1.587 + 0.136 + 16.958 + 1.022 + 0.092 = 26.731$ MeV. $\checkmark$ La rama pp-III es energéticamente irrelevante, pero sus neutrinos, de varios MeV (el ⁸Be queda en un nivel excitado ancho y el neutrino se reparte el resto con el positrón), son los únicos detectables por Super-Kamiokande y SNO, y fueron durante treinta años el centro del «problema de los neutrinos solares».

El cociente entre las ramas II (+III) y I lo fija la competencia ${}^3\mathrm{He}+{}^4\mathrm{He}$ frente a ${}^3\mathrm{He}+{}^3\mathrm{He}$, que depende de la temperatura y de la abundancia de ⁴He: es una sonda directa de $T_c$ y Borexino lo ha medido (§7).

4. El ciclo CNO

Bethe (1939) también propuso un ciclo catalítico en el que ¹²C captura cuatro protones sucesivos y se regenera:

Suma: $26.733$ MeV (igual a (1) salvo redondeo). $\checkmark$ La reacción más lenta es ${}^{14}\mathrm N(p,\gamma){}^{15}\mathrm O$ ($S(0) = 1.66$ keV b, pero con barrera de Coulomb $Z = 7$), que fija la tasa del ciclo y convierte casi todo el C y el O iniciales en ¹⁴N: en las estrellas que han quemado hidrógeno por CNO, el nitrógeno se enriquece a costa del carbono. En el Sol el ciclo aporta solo el 0.8 % de la energía (modelo BP2000/BS05 con abundancias GS98); en estrellas de $M\gtrsim1.3\,M_\odot$ domina.

5. Efecto túnel: el factor de Gamow

5.1 Derivación WKB

Dos núcleos de cargas $Z_1e$, $Z_2e$ y masa reducida $\mu$ con energía relativa $E$ en el centro de masas ven el potencial de Coulomb $V(r) = \dfrac{Z_1Z_2e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$ hasta el radio nuclear $r_n$, donde la interacción fuerte los captura. El punto de retroceso clásico es $r_c = Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0E)$. La aproximación WKB da la probabilidad de atravesar la región prohibida $r_n\lt r\lt r_c$:

Con $V - E = E\,(r_c/r - 1)$ y el cambio $r = r_c\cos^2\phi$:

Por tanto, para $E$ muy por debajo de la barrera,

donde $\alpha = e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c) = 1/137.036$ es la constante de estructura fina y

es la energía de Gamow. Para $p+p$, $\mu = m_p/2$ y $E_G = m_pc^2(\pi\alpha)^2 = 938.27\ \mathrm{MeV}\times(0.022925)^2 = 493.1$ keV. Para ${}^{14}\mathrm N + p$, $E_G = 45.1$ MeV: la barrera de Coulomb entra al cuadrado con $Z_1Z_2$.

A $E = 6$ keV, el factor de Gamow para $p+p$ es $\exp(-\sqrt{493/6}) = e^{-9.07} = 1.2\times10^{-4}$: no es despreciable. Y en la distribución de Maxwell–Boltzmann a $1.57\times10^7$ K, la fracción de pares con $E\gt6$ keV es $\sim e^{-6/1.35}\approx0.01$. El producto de dos factores pequeños pero no absurdos, multiplicado por $\sim10^{56}$ protones, basta.

5.2 Sección eficaz y factor astrofísico

La sección eficaz se escribe $\sigma(E) = \dfrac{S(E)}{E}\exp(-\sqrt{E_G/E})$: el factor $1/E\propto\lambda^2$ es el área cuántica de de Broglie, el exponencial es (2), y el factor astrofísico $S(E)$ recoge la física nuclear y varía suavemente con $E$ (salvo resonancias). Los valores recomendados por Adelberger et al. (2011), en keV b ($1\ \mathrm b = 10^{-28}$ m²):

Los 25 órdenes de magnitud entre $S_{pp}$ y $S_{33}$ miden la diferencia entre la interacción débil y la fuerte.

6. El pico de Gamow y la dependencia con la temperatura

6.1 La integral de la tasa

En un gas a temperatura $T$, la tasa de reacciones por unidad de volumen entre especies 1 y 2 es $r_{12} = \dfrac{n_1n_2}{1+\delta_{12}}\langle\sigma v\rangle$, con la media sobre Maxwell–Boltzmann en la energía relativa:

El integrando es el producto de una exponencial decreciente (Maxwell) y una creciente (Gamow): un pico estrecho, el pico de Gamow. Con $S$ aproximadamente constante, el máximo del exponente $g(E) = -E/k_BT - \sqrt{E_G/E}$ está en

Definimos $\tau\equiv3E_0/k_BT$; entonces $g(E_0) = -E_0/k_BT - \sqrt{E_G/E_0} = -E_0/k_BT - 2E_0/k_BT = -\tau$ (usando (5) para escribir $\sqrt{E_G/E_0} = 2E_0/k_BT$).

6.2 Aproximación gaussiana (método de Laplace)

Desarrollando $g$ a segundo orden en torno a $E_0$: $g''(E_0) = -\tfrac34\sqrt{E_G}\,E_0^{-5/2} = -\dfrac{3}{2E_0k_BT}$, así que

y la integral es $\int\exp[g]\,dE\approx\dfrac{\sqrt\pi}{2}\,\Delta\,e^{-\tau}$ (extendiendo la gaussiana a toda la recta). Por tanto

6.3 El exponente ν

Las dependencias con $T$ son: $E_0\propto T^{2/3}$, $\Delta\propto(E_0T)^{1/2}\propto T^{5/6}$ y $\tau\propto T^{-1/3}$, de modo que $\langle\sigma v\rangle\propto T^{-3/2}\,T^{5/6}\,e^{-\tau} = T^{-2/3}e^{-\tau}$. Entonces

La tasa de generación de energía por unidad de masa es $\varepsilon = Q\,r_{12}/\rho\propto\rho\,X_1X_2\langle\sigma v\rangle$, de modo que localmente $\varepsilon\propto\rho\,T^\nu$. Valores en el centro del Sol ($T_c = 1.5696\times10^7$ K; calculados con src/lib/math/gamow.ts):

Dos lecciones físicas: (i) las reacciones ocurren a $E_0\approx4$–$20\,k_BT$, en la cola de Maxwell; (ii) a mayor carga, el pico se desplaza a energías más altas y la sensibilidad a la temperatura se dispara: $\varepsilon_{pp}\propto T^4$ pero $\varepsilon_{\rm CNO}\propto T^{20}$. Por eso el CNO, con $e^{-\tau}$ veinte órdenes de magnitud menor que el pp en el Sol, lo alcanza con un aumento modesto de $T_c$: en una estrella de $1.5\,M_\odot$ ($T_c\approx2\times10^7$ K) ya domina, y concentra la generación de energía en un núcleo diminuto que se vuelve convectivo (lección 2).

7. Neutrinos solares: la prueba experimental

Cada síntesis de ⁴He emite dos neutrinos. El flujo en la Tierra se puede acotar casi sin modelo: si toda la luminosidad viene de (1), $\Phi_\nu\approx\dfrac{2L_\odot/Q}{4\pi(1\,\mathrm{UA})^2} = \dfrac{2\times8.9\times10^{37}}{4\pi(1.496\times10^{11})^2} = 6.4\times10^{14}$ m⁻² s⁻¹ $= 6.4\times10^{10}$ cm⁻² s⁻¹ (ligeramente por exceso, porque los neutrinos se llevan parte de $Q$ y porque las ramas II y III emiten neutrinos más energéticos). La repartición entre ramas, en cambio, depende de $T_c$ y de la microfísica. Borexino (Gran Sasso, 280 t de centelleador líquido) midió entre 2012 y 2020 cada componente:

Fuentes: Borexino 2018 (Nature 562, 505) para pp, ⁷Be y pep; Borexino 2020 (Phys. Rev. D 101, 062001) para ⁸B, expresado como flujo de $\nu_e$ equivalente sin conversión de sabor; Borexino 2020 (Nature 587, 577) para CNO, a $5.1\sigma$. Predicciones del modelo B16-GS98 tal como las cita Borexino. Para pp, ⁷Be y pep los flujos medidos ya están corregidos por las oscilaciones de sabor (MSW-LMA); el déficit aparente del ⁸B es exactamente ese efecto, hoy entendido: solo $\sim1/3$ de los $\nu_e$ de alta energía llegan como $\nu_e$.

El resultado más elegante es el cociente de ramas: Borexino obtiene para la razón de tasas ${}^3\mathrm{He}+{}^4\mathrm{He}$ frente a ${}^3\mathrm{He}+{}^3\mathrm{He}$

una medida de la temperatura central del Sol, porque las dos capturas del ³He tienen energías de Gamow muy distintas ($Z_1Z_2 = 4$ frente a $4$ con masas reducidas distintas, y sobre todo el ⁴He abundante frente al ³He escaso, cuya abundancia de equilibrio depende a su vez de $T$). Las fracciones de ramas se deducen de los flujos: con los valores del modelo, $N_{\rm II}/N_{\rm I} = \Phi_{^7{\rm Be}}/[(\Phi_{pp}-\Phi_{^7{\rm Be}})/2] = 0.176$, consistente con la medida. La detección del CNO (2020), ochenta y un años después de Bethe, cerró el programa: todas las ramas de la nucleosíntesis solar están observadas.

8. Análisis de error

1. Aproximación gaussiana. Comparando (7) con la integral (4) evaluada numéricamente (Simpson con 4000 intervalos en $[0, E_0 + 12\Delta]$; integralGamowNumerica), la gaussiana subestima la integral en un 2.9 % para $p+p$ y un 0.7 % para ${}^{14}\mathrm N + p$ en el centro del Sol. El error decrece como $\sim1/\tau$: la corrección de primer orden es un factor $(1 + 5/(12\tau))$ (Clayton §4.3, ejercicio 3). El exponente $\nu$ numérico (derivada logarítmica de la integral) coincide con $(\tau-2)/3$ en $\pm0.01$.
2. Variación de $S(E)$. Si $S(E) = S(0)(1 + E\,S'/S)$, el pico se desplaza y aparece un factor $\approx1 + E_0S'(0)/S(0)$ a primer orden. Para $p+p$, $S'/S\approx11$ MeV⁻¹ (Adelberger et al. 2011) y $E_0 = 6$ keV: una corrección del 7 %. Adelberger et al. tabulan $S'(0)$ y $S''(0)$ de cada reacción para esto.
3. Apantallamiento electrónico. El plasma reduce la barrera: con el potencial de Debye–Hückel, la tasa se multiplica por $\exp(Z_1Z_2e^2/(4\pi\varepsilon_0R_Dk_BT))$ (apantallamiento débil de Salpeter 1954), que en el centro del Sol es una corrección de pocos por ciento para $p+p$ y de decenas de por ciento para el CNO, donde $Z_1Z_2 = 7$.
4. Propagación a $\varepsilon$. $\delta\varepsilon/\varepsilon = \delta S/S + \nu\,\delta T/T$. Con $\nu = 20$, un 1 % de error en $T_c$ cambia la tasa CNO un 20 %: la incertidumbre del flujo CNO predicho (11 %) es casi toda temperatura y abundancia de C+N, no física nuclear. A la inversa, medir el flujo CNO con un 10 % de precisión fijaría la metalicidad del núcleo solar y zanjaría el «problema de las abundancias» (lección 2).

Problemas

1. Valores Q. Calcula con la tabla de masas el $Q$ de ${}^3\mathrm{He}+{}^3\mathrm{He}\to{}^4\mathrm{He}+2p$ y el de ${}^7\mathrm{Be}+e^-\to{}^7\mathrm{Li}+\nu_e$. Explica por qué en el segundo caso no hay que restar $2m_ec^2$ aunque intervenga un electrón.

2. Anchura del pico. Demuestra que $g''(E_0) = -\dfrac{3}{2E_0k_BT}$ y que, por tanto, el integrando es $\approx e^{-\tau}\exp[-(E-E_0)^2/(\Delta/2)^2]$ con $\Delta = 4\sqrt{E_0k_BT/3}$. Verifica numéricamente para $p+p$ a $T_c$ que $\Delta = 6.63$ keV.

3. Corrección a la gaussiana. Escribe $E = E_0(1+\eta)$ y desarrolla $g(E) = -\tau\left[\tfrac13(1+\eta) + \tfrac23(1+\eta)^{-1/2}\right]$ hasta cuarto orden en $\eta$. Demuestra que el primer término correctivo a $\int e^{g}dE$ es un factor $1 + \dfrac{5}{12\tau} + O(\tau^{-2})$ y compáralo con el error numérico de §8 (2.9 % para $\tau = 13.5$).

4. Cruce pp–CNO. Con $\varepsilon_{pp} = \varepsilon_{pp,\odot}(T/T_{c,\odot})^{\nu_{pp}}$ y $\varepsilon_{\rm CNO} = \varepsilon_{\rm CNO,\odot}(T/T_{c,\odot})^{\nu_{\rm CNO}}$, con el CNO aportando el 0.8 % en el centro del Sol, y tomando $\nu_{pp} = 3.8$, $\nu_{\rm CNO} = 19.6$ constantes, estima la temperatura a la que ambas tasas se igualan (misma composición). ¿Por qué el resultado es solo orientativo?

5. Vida del Sol en la secuencia principal. Si el Sol quema el 10 % de su hidrógeno inicial ($X_0 = 0.71$) a luminosidad constante $L_\odot$, calcula su vida de secuencia principal con (1) y la fracción de masa convertida. Discute el signo del error de suponer $L$ constante.

6. (Computacional) Pico de Gamow y exponente ν. Escribe un programa que (a) integre numéricamente (4) para $p+p$ y ${}^{14}\mathrm N+p$ entre $10^7$ y $3\times10^7$ K, (b) compare con la aproximación gaussiana, y (c) obtenga $\nu(T)$ por derivada logarítmica centrada y lo compare con $(\tau-2)/3$. Reproduce la tabla de §6.3.

import numpy as np
k = 8.617333262e-5*1e-3      # keV/K
alpha = 7.2973525693e-3; mp = 938.27208816e3  # keV
def EG(Z1, Z2, mu): return 2*mu*(np.pi*alpha*Z1*Z2)**2
def integral(EGv, T, n=4000):           # ∫ exp(-E/kT - sqrt(EG/E)) dE, Simpson
    kT = k*T; E0 = (EGv*kT**2/4)**(1/3); D = 4*np.sqrt(E0*kT/3)
    E = np.linspace(1e-9, E0+12*D, n+1); f = np.exp(-E/kT - np.sqrt(EGv/E))
    h = E[1]-E[0]; return h/3*(f[0]+f[-1]+4*f[1:-1:2].sum()+2*f[2:-1:2].sum()), E0, D, 3*E0/kT
for nombre, Z2, mu in [('pp', 1, mp/2), ('14N+p', 7, 14.003074*1.007825/(15.010899)*931494.10242)]:
    EGv = EG(1, Z2, mu)
    for T in [1e7, 1.5696e7, 2e7, 3e7]:
        I, E0, D, tau = integral(EGv, T)
        gauss = np.sqrt(np.pi)/2*D*np.exp(-tau)
        dlnT = 1e-3
        Ip, *_ = integral(EGv, T*np.exp(dlnT)); Im, *_ = integral(EGv, T*np.exp(-dlnT))
        nu_num = (np.log(Ip)-np.log(Im))/(2*dlnT) - 1.5     # incluye el T^{-3/2} de <σv>
        print(f'{nombre} T={T:.3e} E0={E0:.2f} keV Δ={D:.2f} τ={tau:.2f} ν=({tau-2)/3:.2f} ν_num={nu_num:.2f} gauss/num={gauss/I:.4f}')

7. Flujo de neutrinos pp desde la luminosidad. Demuestra que, si una fracción $f_\nu$ de $Q$ escapa en neutrinos, el flujo total de neutrinos solares es $\Phi = \dfrac{2L_\odot}{(1-f_\nu)Q\cdot4\pi d^2}$, y usa el flujo pp medido por Borexino para acotar $f_\nu$ en la rama pp-I. Compara con el máximo posible (dos neutrinos de 0.420 MeV).

Lecturas

• Clayton (1983), Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesis, cap. 4 (tasas termonucleares: factor de Gamow, pico, §4.2–4.4) y cap. 5 (cadena pp y ciclo CNO).
• Kippenhahn, Weigert & Weiss (2012), Stellar Structure and Evolution, cap. 18 (reacciones nucleares, §18.1–18.5).
• Carroll & Ostlie (2017), §10.3 (fuentes de energía estelar).
• Adelberger et al. (2011), Rev. Mod. Phys. 83, 195, DOI 10.1103/RevModPhys.83.195 — factores S recomendados y fórmulas del pico de Gamow.
• Bethe (1939), Phys. Rev. 55, 434, DOI 10.1103/PhysRev.55.434 — artículo original de la cadena pp y el ciclo CNO.
• Bahcall (1989), Neutrino Astrophysics, Cambridge University Press, cap. 3 — energética de las ramas y espectros de neutrinos.
• Borexino Collaboration (2018), Nature 562, 505, DOI 10.1038/s41586-018-0624-y; (2020) Nature 587, 577, DOI 10.1038/s41586-020-2934-0; (2020) Phys. Rev. D 101, 062001, DOI 10.1103/PhysRevD.101.062001.
• Wang et al. (2021), Chinese Phys. C 45, 030003, DOI 10.1088/1674-1137/abddaf — evaluación de masas AME2020.