Escalas de tiempo

1. Motivación: tres relojes que no marchan igual

Para apuntar un telescopio a una estrella hace falta saber cuánto ha girado la Tierra; para integrar la órbita de un asteroide hace falta un tiempo uniforme en el que las ecuaciones de Newton (o de Einstein) sean válidas; y para que un reloj de pared sirva de algo hace falta que el mediodía caiga cerca de las 12. Esas tres necesidades no las satisface un solo reloj: la rotación de la Tierra es irregular (y se frena), los relojes atómicos son uniformes pero no saben nada del Sol, y la relatividad hace que un reloj en la superficie terrestre y uno en el baricentro del Sistema Solar marchen a ritmos distintos. De ahí la familia de escalas de esta lección.

Una advertencia de rigor: muchas de las cantidades siguientes no se pueden calcular, solo medir: el desfase UT1 − UTC lo publica cada semana el IERS (Bulletin A) y los segundos intercalares se anuncian con seis meses de antelación (Bulletin C). Los valores de esta lección son los vigentes el 29 de octubre de 2026 y tienen fecha de caducidad.

2. La familia de escalas

2.1 Escalas atómicas: TAI y UTC

• TAI (Tiempo Atómico Internacional): promedio ponderado de más de 400 relojes atómicos, realizado por el BIPM. Es uniforme por construcción; su unidad es el segundo SI en el geoide.
• UTC (Tiempo Universal Coordinado): marcha al ritmo de TAI pero se mantiene a menos de 0.9 s de UT1 insertando segundos intercalares (siempre al final de un 30 de junio o de un 31 de diciembre). Desde el 1 de enero de 1972 la diferencia es un número entero de segundos:

Entre 1972 y 2016 se insertaron 27 segundos intercalares (partiendo de 10 s en 1972); la lista completa está en SEGUNDOS_INTERCALARES de src/lib/math/tiempo.ts. Desde 2017 no ha habido ninguno: la rotación de la Tierra se ha acelerado ligeramente y UT1 − UTC es ahora negativo y decreciente, por lo que un eventual segundo intercalar sería negativo, algo que nunca ha ocurrido. La Conferencia General de Pesas y Medidas decidió en 2022 abandonar los segundos intercalares a más tardar en 2035.

2.2 Escalas dinámicas: TT, TDB, TCG, TCB

• TT (Tiempo Terrestre): el tiempo propio de un reloj ideal sobre el geoide, es decir, el tiempo en que se expresan las efemérides geocéntricas. Se realiza a partir de TAI con un desfase histórico fijo:

(La resolución IAU 2000 B1.9 lo define con precisión relativista: TT difiere de TCG, el tiempo coordenado geocéntrico, por la tasa constante $L_G = 6.969290134\times10^{-10}$.)

• TDB (Tiempo Dinámico Baricéntrico): argumento de las efemérides planetarias (JPL DE). Definido por la resolución IAU 2006 B3 como transformación lineal de TCB: $\mathrm{TDB} = \mathrm{TCB} - L_B\,(\mathrm{JD}_{\mathrm{TCB}} - T_0)\cdot 86400 + \mathrm{TDB}_0$ con $L_B = 1.550519768\times10^{-8}$, $\mathrm{TDB}_0 = -6.55\times10^{-5}$ s y $T_0 = 2443144.5003725$. La diferencia TDB − TT es periódica, de amplitud $\approx 1.66$ ms, dominada por la excentricidad de la órbita terrestre (dilatación gravitatoria y cinemática variables):

con $t$ en milenios julianos TT desde J2000.0 (términos principales de Fairhead & Bretagnon 1990, tal como figuran en SOFA dtdb; tdbMenosTt incluye seis términos). Para casi toda la astronomía observacional TDB ≈ TT.

2.3 Escalas rotacionales: UT1 y ΔT

• UT1: definido por el ángulo de rotación de la Tierra (§5). Es la escala que necesita el observador, y es irregular: fluctúa por mareas, vientos, el núcleo… y se frena a largo plazo (la duración del día crece unos 1.8 ms por siglo en promedio histórico, Stephenson, Morrison & Hohenkerk 2016; la fricción de marea sola daría 2.3 ms).
• UT1 − UTC (DUT1): lo mide el IERS por VLBI y lo publica en el Bulletin A. Valor del 22 de octubre de 2026: $-0.04286$ s; predicción para el 10 de noviembre: $-0.0673$ s.
• ΔT = TT − UT1: la cantidad que hay que sumar al tiempo universal para obtener el tiempo de las efemérides. Hoy

Históricamente ΔT era $\approx 0$ hacia 1900, $32.2$ s en 1958 (de ahí la constante $32.184$ s, que hizo continuo TT con la antigua escala de efemérides en el instante en que empezó TAI), $63.8$ s en 2000 y $69.2$ s en 2026; para fechas anteriores a 1620 solo se conoce por eclipses antiguos, con incertidumbres de minutos u horas (Morrison & Stephenson). Esa incertidumbre es la que limita, por ejemplo, saber dónde fue visible un eclipse del año 1000.

3. Día juliano

3.1 Definición

El día juliano (JD) cuenta días (y fracción) desde el mediodía del 1 de enero de 4713 a. C. del calendario juliano proléptico. Es un número continuo, sin meses ni años bisiestos, ideal como argumento de polinomios. Puede referirse a cualquier escala: JD(UTC), JD(TT), JD(UT1)… Referencias:

El MJD (fecha juliana modificada) empieza a medianoche (del 17 de noviembre de 1858) y tiene menos dígitos; es el que usan los boletines del IERS (MJD 61335 = 22 de octubre de 2026). Un siglo juliano son 36 525 días, y la variable habitual en las fórmulas es

3.2 Algoritmo (Meeus ec. 7.1)

Para el calendario gregoriano, con $Y$, $M$, $D$ (día con fracción): si $M \le 2$, se hace $Y \to Y - 1$, $M \to M + 12$ (así febrero es el último mes del año y el día bisiesto queda al final). Con $A = \lfloor Y/100\rfloor$ y $B = 2 - A + \lfloor A/4\rfloor$ (corrección gregoriana de los siglos),

El término $\lfloor 30.6001(M+1)\rfloor$ genera la secuencia de días acumulados 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31, 31 de marzo a enero (el $0.0001$ evita errores de redondeo); el $365.25$ reparte los bisiestos. Está en jdDesdeCalendario, con su inversa calendarioDesdeJD; el test comprueba el ejemplo 7.a de Meeus (1957 octubre 4.81 → 2436116.31, el lanzamiento del Sputnik) y J2000.0.

4. Día solar y día sidéreo

La Tierra da una vuelta respecto de las estrellas en un día sidéreo; respecto del Sol, en un día solar, algo más largo porque la Tierra avanza en su órbita $\approx 360°/365.25$ al día y tiene que girar ese ángulo extra. Si en un año trópico hay $N_s = 365.2422$ días solares, hay exactamente $N_s + 1$ rotaciones sidéreas (una vuelta extra por el viaje alrededor del Sol):

La IAU fija la tasa con precisión en la definición del ángulo de rotación (§5): $1.00273781191135448$ vueltas por día UT1, lo que da un día estelar (una vuelta respecto del origen celeste intermedio, no rotante) de $86164.0989$ s. El día sidéreo medio (una vuelta respecto del equinoccio medio, que precesa) es $0.0084$ s más corto, $86164.0905$ s, porque el equinoccio retrocede hacia el oeste y la Tierra lo alcanza antes. Ambos valores los calcula tiempo.ts a partir de las constantes de la IAU y los comprueba el test.

5. Ángulo de rotación de la Tierra y tiempo sidéreo

5.1 ERA

Desde las resoluciones IAU 2000, la rotación de la Tierra se describe por el ángulo de rotación de la Tierra (ERA), $\theta$, ángulo entre el origen celeste intermedio (CIO) y el origen terrestre intermedio, lineal en UT1 por definición (IERS Conventions 2010, ec. 5.15):

Es la definición misma de UT1. En J2000.0, $\theta = 2\pi\times0.779057\ldots = 280.4606°$.

5.2 GMST (IAU 2006)

El tiempo sidéreo medio de Greenwich es el ángulo horario del equinoccio medio de la fecha. Como el equinoccio precesa respecto del CIO, GMST = ERA + (precesión acumulada en ascensión recta), un polinomio en siglos julianos TT (Capitaine, Wallace & Chapront 2005; SOFA gmst06):

con $t = (\mathrm{JD}_{\mathrm{TT}} - 2451545.0)/36525$. El término $4612.156534''$ por siglo ($= 46.12''$ por año $= 3.075$ s de tiempo por año) es la precesión general en ascensión recta. Nótese el doble argumento: UT1 para la rotación, TT para la precesión; usar UT1 en el polinomio introduce un error de $\sim 10^{-4}$ segundos de arco, despreciable, pero usar UTC en lugar de UT1 en el ERA introduce un error de $(\mathrm{UT1} - \mathrm{UTC})\times 1.0027 = 43$ ms de tiempo $= 0.64''$ hoy, y hasta 0.9 s $= 13.5''$ en el peor caso. Es el primer error sistemático que comete quien «usa la hora del ordenador».

5.3 La fórmula clásica (Meeus ec. 12.4)

En la práctica de precisión de segundo de arco se usa la forma polinómica en grados derivada de la expresión IAU 1982 (Aoki et al. 1982), que es la que implementa gmst en src/lib/math/coordinates.ts y la lección anterior:

Las dos expresiones difieren en menos de 4 ms de tiempo (0.06″) entre 1987 y 2030 (test tiempo.test.ts): la diferencia se debe a las constantes de precesión IAU 1976 frente a IAU 2006. Para fines docentes, y para el simulador, la fórmula de Meeus es suficiente.

5.4 GAST y tiempo sidéreo local

El tiempo sidéreo aparente (GAST) refiere el ángulo horario al equinoccio verdadero, afectado por la nutación: $\mathrm{GAST} = \mathrm{GMST} + \Delta\psi\cos\varepsilon$, donde $\Delta\psi\cos\varepsilon$ es la ecuación de los equinoccios (hasta $\pm 1.2$ s de tiempo; lección siguiente). El tiempo sidéreo local se obtiene sumando la longitud del observador, positiva al este: $\theta = \theta_0 + \lambda$; el ángulo horario de un astro es entonces $H = \theta - \alpha$.

6. Ejemplo resuelto

Instante: 2026 octubre 22, 0$^{\mathrm h}$ 00$^{\mathrm m}$ 00$^{\mathrm s}$ UTC. Observador: Bogotá, $\lambda = -74.0817°$ (centro de la ciudad). Datos del IERS: TAI − UTC = 37 s; UT1 − UTC = −0.04286 s (Bulletin A, valor observado para ese día).

1. Día juliano. $Y = 2026$, $M = 10$, $D = 22.0$: $A = 20$, $B = 2 - 20 + 5 = -13$; $\lfloor 365.25\times 6742\rfloor = 2462515$, $\lfloor 30.6001\times 11\rfloor = 336$. $\mathrm{JD}_{\mathrm{UTC}} = 2462515 + 336 + 22 - 13 - 1524.5 = 2461335.5$; $\mathrm{MJD} = 61335.0$ (coincide con el boletín).
2. Escalas. $\mathrm{TT} - \mathrm{UTC} = 69.184$ s, luego $\mathrm{JD}_{\mathrm{TT}} = 2461335.5 + 69.184/86400 = 2461335.500800\,7$. $\Delta T = 69.184 + 0.043 = 69.227$ s. $\mathrm{JD}_{\mathrm{UT1}} = 2461335.5 - 0.04286/86400 = 2461335.499999\,50$. $\mathrm{TDB} - \mathrm{TT} = -1.57$ ms (fase de la órbita: a finales de octubre la Tierra se acerca al perihelio).
3. ERA. $T_u = 9790.49999950$; vueltas $= 0.7790572733 + 1.00273781191\times 9790.4999995 = 9818.0836\ldots$; la fracción da $\theta = 30.097546° = 2^{\mathrm h}00^{\mathrm m}23.411^{\mathrm s}$.
4. GMST. $t = (2461335.5008007 - 2451545)/36525 = 0.26804930$; polinomio $= 0.014506 + 4612.156534\times0.2680493 + 1.3915817\times0.2680493^2 = 1236.3\ldots''= 0.343444°$. $\mathrm{GMST} = 30.097546° + 0.343444° = 30.440990° = 2^{\mathrm h}01^{\mathrm m}45.838^{\mathrm s}$. Con la fórmula de Meeus: $2^{\mathrm h}01^{\mathrm m}45.842^{\mathrm s}$ (4 ms más).
5. GAST. Con la nutación de la fecha (lección siguiente; serie corta de Meeus) $\Delta\psi = +8.26''$ y $\varepsilon = 23.4358°$: ecuación de los equinoccios $= 8.26''\times\cos\varepsilon = 7.58'' = 0.505$ s. $\mathrm{GAST} = 2^{\mathrm h}01^{\mathrm m}46.343^{\mathrm s}$.
6. Local. $\lambda = -74.0817° = -4^{\mathrm h}56^{\mathrm m}19.6^{\mathrm s}$. $\mathrm{LMST} = 2^{\mathrm h}01^{\mathrm m}45.838^{\mathrm s} - 4^{\mathrm h}56^{\mathrm m}19.608^{\mathrm s} + 24^{\mathrm h} = 21^{\mathrm h}05^{\mathrm m}26.23^{\mathrm s}$; $\mathrm{LAST} = 21^{\mathrm h}05^{\mathrm m}26.73^{\mathrm s}$.

Interpretación: a medianoche UTC (19 h hora de Bogotá) culminan en Bogotá los astros de $\alpha \approx 21^{\mathrm h}05^{\mathrm m}$. Todos los valores se reproducen con tiempo.ts y reduccion.ts; el error dominante del resultado es el de la serie corta de nutación ($\lesssim 0.5''$, es decir, 0.03 s).

7. Análisis de error: qué importa y qué no

Moraleja: para precisión de segundo de arco lo que importa es ΔT (en las efemérides), la ecuación de los equinoccios y la longitud del observador, no la diferencia entre fórmulas de GMST ni TDB − TT.

Qué observar. El simulador calcula el tiempo sidéreo local con la fórmula de Meeus a partir de la hora UTC del sistema (sin ΔT ni DUT1). Pon la fecha del ejemplo y comprueba qué ascensión recta culmina a las 19:00 hora de Bogotá. Luego avanza exactamente 24 h: el cielo se ha adelantado $3^{\mathrm m}56^{\mathrm s}$.

Problemas

1. (Día sidéreo). Demuestra que si el año trópico tiene $N_s$ días solares medios, contiene exactamente $N_s + 1$ días sidéreos, y calcula el día sidéreo con $N_s = 365.2422$. ¿Por qué el valor IAU del día estelar (86164.0989 s) no coincide exactamente con ese resultado?

2. (Algoritmo del día juliano). Demuestra que $\lfloor 30.6001\,(M+1)\rfloor - 122$, para $M = 3, \dots, 14$ (marzo a febrero), genera los días acumulados al comienzo de cada mes contados desde el 1 de marzo, y explica por qué el 0.0001 es necesario.

3. (ΔT y la Luna). La Luna avanza en ascensión recta $\approx 0.55''$ por segundo de tiempo. Un programa calcula la posición de la Luna para las 03:00:00 UTC del 22 de octubre de 2026 usando $\mathrm{JD}_{\mathrm{UTC}}$ como argumento de la efeméride (que espera TT). ¿Qué error comete? ¿Y si usa UT1? ¿Y para el año 1600, con $\Delta T \approx 120$ s?

4. (Ecuación de los equinoccios). Demuestra que el desplazamiento del equinoccio verdadero respecto del medio, medido a lo largo del ecuador, es $\Delta\psi\cos\varepsilon$ en primer orden, y acota su valor máximo en segundos de tiempo.

5. (Deriva secular). La duración del día aumenta unos $1.8$ ms por siglo (promedio de los últimos 2700 años, Stephenson, Morrison & Hohenkerk 2016). Demuestra que ΔT crece entonces de forma cuadrática con el tiempo y estima ΔT para el año $-500$ con la parábola $\Delta T \approx 32\ \text{s}\,((y - 1820)/100)^2$. Compara con el valor que daría una extrapolación lineal desde hoy.

6. (Computacional). Escribe una función que, dados año, mes, día, hora, minuto y segundo UTC y la longitud, devuelva JD, MJD, JD(TT), ERA, GMST (IAU 2006 y Meeus), su diferencia en ms, y el LMST. Verifica con el ejemplo 12.a de Meeus (1987 abril 10, 0$^{\mathrm h}$ UT → GMST $= 13^{\mathrm h}10^{\mathrm m}46.3668^{\mathrm s}$) y con el ejemplo resuelto de §6. Luego grafica la diferencia IAU 2006 − Meeus entre 1900 y 2100.

import numpy as np
def jd(Y, M, D, h=0, m=0, s=0):
    D += (h + m/60 + s/3600)/24
    if M <= 2: Y, M = Y-1, M+12
    A = Y//100; B = 2 - A + A//4
    return int(365.25*(Y+4716)) + int(30.6001*(M+1)) + D + B - 1524.5
def era(jd_ut1):
    Tu = jd_ut1 - 2451545.0
    return 2*np.pi*((0.7790572732640 + 1.00273781191135448*Tu) % 1)
def gmst06(jd_ut1, jd_tt):
    t = (jd_tt - 2451545.0)/36525
    p = 0.014506 + t*(4612.156534 + t*(1.3915817 + t*(-0.00000044 + t*(-0.000029956 - 0.0000000368*t))))
    return (era(jd_ut1) + np.radians(p/3600)) % (2*np.pi)
def gmst_meeus(jd_ut1):
    d = jd_ut1 - 2451545.0; T = d/36525
    return np.radians((280.46061837 + 360.98564736629*d + 0.000387933*T**2 - T**3/38710000) % 360)
def hms(x):
    h = x*12/np.pi; return f"{int(h)}h {int(h%1*60)}m {(h*60)%1*60:.4f}s"
TAI_UTC, DUT1 = 37.0, -0.04286
j = jd(2026, 10, 22); j_tt = j + (32.184 + TAI_UTC)/86400; j_ut1 = j + DUT1/86400
print(hms(gmst06(j_ut1, j_tt)), hms(gmst_meeus(j_ut1)))
print(hms(gmst_meeus(jd(1987, 4, 10))))   # 13h 10m 46.3668s

Lecturas

• Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, 3.ª ed. (2013), cap. 3: la referencia completa sobre escalas de tiempo, con la historia de ET, TDT y TDB; cap. 6 para ERA, GMST y la relación con la precesión.
• IERS Conventions (2010), cap. 5 (ec. 5.15, ERA) y cap. 10 (escalas de tiempo relativistas); boletines A y C en iers.org.
• Capitaine, Wallace & Chapront (2005), A&A 432, 355: deducción de la expresión GMST(ERA, t) compatible con IAU 2006.
• Meeus (1998), caps. 7, 10 y 12: los algoritmos tal como se programan, con ejemplos numéricos que sirven de test.
• Stephenson, F. R., Morrison, L. V. & Hohenkerk, C. Y. (2016). Measurement of the Earth’s rotation: 720 BC to AD 2015. Proc. R. Soc. A 472, 20160404: la determinación histórica de ΔT con eclipses.
• SOFA, Time Scale and Calendar Tools: diagrama de las escalas y rutinas de conversión que son el estándar de facto.