Desviación de la luz y lentes gravitacionales

1. Motivación: la luz pesa, y el espacio se curva

En 1911 Einstein, usando solo el principio de equivalencia, predijo que un rayo de luz rasante al Sol se desviaría $0.83''$ (el valor «newtoniano»: el que se obtiene tratando la luz como un proyectil, o considerando solo la dilatación temporal). En 1915, con las ecuaciones de campo completas, el valor se duplicó a $1.75''$: la mitad proviene de la curvatura del espacio, ausente en el cálculo de 1911. El eclipse del 29 de mayo de 1919 permitió distinguir entre ambas predicciones y convirtió a Einstein en una figura mundial. Hoy el mismo efecto, medido con interferometría de radio, prueba la relatividad general a una parte en $10^4$, y amplificado por galaxias y cúmulos —las lentes gravitacionales— es una de las principales herramientas de la cosmología observacional.

2. Derivación de la desviación

2.1 La ecuación de Binet para fotones

De la lección 1, un fotón en el plano ecuatorial de la métrica de Schwarzschild obedece, con $u = 1/r$ y $M = GM/c^2$ en unidades geométricas,

con la integral primera $(du/d\varphi)^2 = 1/b^2 - u^2(1-2Mu)$, donde $b = L/E$ es el parámetro de impacto.

2.2 Orden cero: la recta

Sin el término $3Mu^2$ la solución es $u_0 = \sin\varphi/b$, es decir $r\sin\varphi = b$: una recta que pasa a distancia $b$ del origen, recorrida de $\varphi = 0$ a $\varphi = \pi$.

2.3 Primer orden

Con $u = u_0 + u_1$ y $u_1 = O(M/b)\,u_0$:

La solución particular (constante más $\cos2\varphi$ con coeficiente $-\frac{B}{3}$, como en la lección anterior) es

donde hemos usado $\cos2\varphi = 2\cos^2\varphi - 1$. No hay término resonante: la desviación no es secular, es un efecto finito acumulado en un solo paso.

2.4 El ángulo de desviación

El rayo llega del infinito ($u = 0$) en un ángulo $\varphi_{\rm in}$ ligeramente negativo y escapa en $\varphi_{\rm out} = \pi - \varphi_{\rm in}$ por simetría; la desviación total es $\delta = \varphi_{\rm out} - \varphi_{\rm in} - \pi = -2\varphi_{\rm in}$. Imponiendo $u(\varphi_{\rm in}) = 0$ con $\varphi_{\rm in} = -\delta/2$ pequeño ($\sin\varphi_{\rm in}\approx-\delta/2$, $\cos^2\varphi_{\rm in}\approx1$):

Para el Sol, $GM_\odot/c^2 = 1476.6$ m y $b = R_\odot = 6.957\times10^8$ m (rayo rasante):

La desviación decrece como $1/b$: a $2R_\odot$ es $0.88''$, a $10R_\odot$, $0.18''$.

2.5 Por qué el doble del valor newtoniano

En el formalismo PPN la métrica de campo débil es $g_{00} = -(1-2U)$, $g_{ij} = (1+2\gamma U)\delta_{ij}$ con $U = GM/c^2r$, y la desviación resulta

El «1» proviene de $g_{00}$ (el potencial newtoniano, que ya actuaba en el cálculo de 1911) y el «$\gamma$» de la curvatura espacial $g_{ij}$. La teoría de Newton (y el cálculo de 1911) equivalen a $\gamma = 0$: $0.87''$; la relatividad general tiene $\gamma = 1$: $1.75''$. Medir $\delta$ es medir $\gamma$ (Will 2014, §4.1).

3. El eclipse de 1919

3.1 Las expediciones

Frank Dyson (Astrónomo Real) organizó dos expediciones para fotografiar las estrellas de las Híades cerca del Sol eclipsado el 29 de mayo de 1919: Arthur Eddington y Edwin Cottingham fueron a la isla de Príncipe (golfo de Guinea) con el objetivo astrográfico de Oxford; Andrew Crommelin y Charles Davidson, a Sobral (Ceará, Brasil) con el astrográfico de Greenwich de 13 pulgadas y un telescopio de 4 pulgadas. Las posiciones de las estrellas en las placas del eclipse se compararon con placas de referencia del mismo campo tomadas de noche, meses después, y el desplazamiento radial se ajustó a la ley $\delta\propto1/b$.

3.2 Los resultados publicados

Dyson, Eddington y Davidson (1920) reportaron, para la desviación en el limbo solar:

(El «error probable» de la época es $0.6745\sigma$; $\pm0.12$ equivale a $\sigma = 0.18''$.) Los autores concluyeron que los resultados «apuntan con fuerza a la mayor de las desviaciones, la de la teoría de la relatividad generalizada de Einstein».

3.3 Las cautelas historiográficas

El punto polémico es el tercer renglón: el astrográfico de Sobral, con más placas que ningún otro, dio un valor cercano al newtoniano y fue descartado. La justificación de Dyson fue técnica: el instrumento perdió el foco durante el eclipse (probablemente por la dilatación del espejo celostato al sol), las imágenes salieron difusas y la escala de placa no era fiable. Desde Earman y Glymour (1980) se ha repetido que Eddington, convencido de antemano, seleccionó los datos que confirmaban a Einstein.

Daniel Kennefick (2009, 2019) revisó el caso con los cuadernos y la correspondencia: (i) la decisión de descartar el astrográfico la tomó Dyson en Greenwich, no Eddington, y Dyson era escéptico de la relatividad; (ii) un cálculo alternativo del astrográfico, mencionado en el artículo de 1920, daba $1.52\pm0.46''$; (iii) en 1979 el Royal Greenwich Observatory volvió a medir las placas de Sobral con una máquina moderna y obtuvo $1.90\pm0.11''$ para el 4 pulgadas y $1.55\pm0.34''$ para el astrográfico (Harvey 1979). La lectura actual es que el descarte estaba justificado y que el resultado de 1919 era correcto, aunque con una precisión (~30 %) muy inferior a la que la retórica de la época sugería. El eclipse no «demostró» la relatividad general en el sentido moderno: la hizo creíble y la distinguió de la alternativa newtoniana.

3.4 Del eclipse al VLBI

Las campañas de eclipse posteriores (1922–1973) nunca bajaron del 10 % de precisión. El salto llegó con la interferometría de muy larga base (VLBI) en radio: las posiciones de cuásares se miden con precisión de decenas de microsegundos de arco, y como la desviación decae solo como $1/b$ (para una fuente a $90°$ del Sol aún vale $\approx4$ mas, Will 2014), todo el cielo está afectado. Lambert y Le Poncin-Lafitte (2011), con más de siete millones de retardos de grupo de 1979 a 2010, obtuvieron

y Will (2014) cita, de análisis de 2004 y 2009, $\gamma-1 = (-1.7\pm4.5)\times10^{-4}$ y $(-1.6\pm1.5)\times10^{-4}$. La cota más estricta sobre $\gamma$ no viene de la deflexión sino del efecto hermano, el retardo de Shapiro de las señales de radio a la sonda Cassini en conjunción solar (Bertotti, Iess y Tortora 2003):

La relatividad general ($\gamma = 1$) supera la prueba a dos partes en $10^5$: la desviación de la luz es hoy una medida de precisión, no una cuestión abierta.

En el modo luz del simulador, la función deflexionLuz integra la ecuación de Binet sin aproximaciones. Para $b = 1000M$ la desviación coincide con $4M/b$ a mejor de $10^{-2}$; para $b = 100M$ el segundo orden ($\frac{15\pi}{4}M^2/b^2$) aporta un 3 % y para $b = 10M$, un 30 %; y para $b\to b_c = 3\sqrt3M$ la desviación diverge: el fotón da vueltas alrededor de la esfera de fotones.

4. Lentes gravitacionales

4.1 La ecuación de la lente

Sea una masa $M$ (la lente) a distancia $D_L$ del observador, una fuente a $D_S$, y $D_{LS}$ la distancia de la lente a la fuente (distancias de diámetro angular; en cosmología $D_{LS}\neq D_S-D_L$). La fuente está en la dirección $\beta$ respecto a la lente; vemos su imagen en la dirección $\theta$. El rayo pasa por la lente con parámetro de impacto $b = D_L\theta$ y se desvía $\hat\alpha = 4GM/(c^2D_L\theta)$. De la geometría (ángulos pequeños), $\beta D_S = \theta D_S - \hat\alpha D_{LS}$, es decir

$\theta_E$ es el radio de Einstein. Para una lente con distribución extensa pero axisimétrica, $M$ se sustituye por la masa proyectada dentro del radio $D_L\theta$.

4.2 Imágenes de una lente puntual

Multiplicando por $\theta$: $\theta^2 - \beta\theta - \theta_E^2 = 0$, con dos soluciones

una a cada lado de la lente. Si $\beta = 0$ (alineación perfecta) las dos imágenes se funden en un anillo de Einstein de radio $\theta_E$. La amplificación es el cociente de áreas (jacobiano de $\beta\to\theta$):

y la total $\mu = (u^2+2)/(u\sqrt{u^2+4})$ diverge cuando $u\to0$ (problema 3). El brillo superficial se conserva (teorema de Liouville para fotones): la amplificación es un aumento de área aparente.

4.3 Escalas: microlentes, galaxias y cúmulos

(Las distancias de la tabla son de diámetro angular y se ha tomado $D_{LS} = D_S - D_L$ a modo ilustrativo.) Las microlentes estelares no se resuelven ($\theta_E\sim$ mas) pero la amplificación variable, cuando la lente cruza la línea de visión, produce curvas de luz simétricas y acromáticas: así se buscaron objetos compactos en el halo (MACHO, EROS, OGLE) y así se descubren exoplanetas. Las lentes fuertes galácticas producen imágenes múltiples separadas del orden de $1''$: la primera, el cuásar doble 0957+561 (Walsh, Carswell y Weymann 1979, $z_S = 1.41$, separación $\approx6''$ por tratarse de una galaxia masiva en un cúmulo). Los cúmulos forman arcos gigantes de decenas de segundos de arco.

4.4 Lentes débiles: convergencia y cizalla

Para una distribución de masa general, $\beta = \theta - \nabla\psi$, con $\psi$ el potencial de lente (integral de $\Phi$ a lo largo de la visual, reescalada). La distorsión de una imagen pequeña es el jacobiano

donde $\kappa$ es la convergencia (densidad superficial proyectada $\Sigma$ en unidades de la crítica) y $(\gamma_1,\gamma_2)$ la cizalla (shear), que estira las imágenes tangencialmente. $\kappa\ge1$ produce imágenes múltiples (lente fuerte); $\kappa\ll1$ solo deforma ligeramente las galaxias de fondo (lente débil), alargándolas en promedio un $\sim1$ % tangencialmente alrededor de la masa. Midiendo la elipticidad media de miles de galaxias de fondo se reconstruye $\kappa$ y, con ello, la masa total de cúmulos (como el cúmulo Bala) y la distribución de materia oscura a gran escala, sin hipótesis sobre su estado dinámico.

5. Análisis de error

• 1919. Con $\sigma = 0.18''$ sobre $1.98''$, la precisión fue del 9 % en el mejor instrumento; el valor combinado de 1919 distingue $1.75''$ de $0.87''$ a $\sim5\sigma$ pero no prueba $\gamma = 1$ más allá del 30 %.
• Reducción de placas. La escala de placa (dilatación del telescopio entre la noche de referencia y el día del eclipse) está degenerada con la desviación: hay que ajustar simultáneamente escala, orientación y $\delta$, y por eso son esenciales las estrellas lejanas del Sol.
• VLBI. La incertidumbre de $\gamma$ está dominada por la troposfera y por la estructura de las fuentes; se mitiga con observaciones a dos frecuencias y excluyendo fuentes a menos de unos grados del Sol.
• Lentes. $\theta_E\propto\sqrt{M}$: un error del 10 % en la masa cambia $\theta_E$ un 5 %, pero la incertidumbre dominante suele ser la de las distancias (cosmología y redshift de la lente).

6. Problemas

1. El valor newtoniano (demostración). Trata la luz como un proyectil de velocidad $c$ con parámetro de impacto $b$ en el campo $GM/r^2$ y demuestra, con la aproximación impulsiva de la lección de dinámica galáctica, que $\delta_N = 2GM/(c^2b)$: la mitad del valor relativista.

2. Deflexión a segundo orden (computacional). Con deflexionLuz(b) de schwarzschild.ts, calcula $\delta(b)$ para $b/M \in \{6, 10, 20, 50, 100, 1000\}$ y ajusta $\delta - 4M/b = C\,M^2/b^2$. Compara con el valor analítico $C = 15\pi/4 \approx 11.78$.

import { deflexionLuz } from '@/lib/math/schwarzschild';
for (const b of [6, 10, 20, 50, 100, 1000]) {
  const d = deflexionLuz(b, 1, 1e-4);
  console.log(b, d, (d - 4 / b) * b * b);
}

3. Amplificación de una lente puntual (demostración). A partir de $\theta_\pm$, demuestra las fórmulas de $\mu_\pm$ y de la amplificación total, y calcula $\mu$ para $u = 0.1, 0.5, 1$.

4. Radio de Einstein del Sol y «telescopio solar». Calcula $\theta_E$ para el Sol como lente de una fuente a distancia infinita vista desde la distancia $D_L$, y demuestra que los rayos rasantes convergen a $D_{\rm foco} = R_\odot^2c^2/(4GM_\odot)$. Evalúa $D_{\rm foco}$ en UA.

5. Masa de una lente. Un cuásar a $z = 1.4$ aparece doble con separación $6.1''$; la galaxia lente está a $z = 0.36$. Con $D_L = 1.0$ Gpc, $D_S = 1.7$ Gpc y $D_{LS} = 1.1$ Gpc (distancias de diámetro angular aproximadas), estima la masa proyectada dentro del radio de Einstein suponiendo $\theta_E\approx3''$.

6. Propagación de errores en 1919. Combina los resultados de Sobral ($1.98\pm0.18$) y Príncipe ($1.61\pm0.44$, convirtiendo el error probable a $\sigma$) por media ponderada y calcula a cuántas $\sigma$ queda cada predicción ($0.87''$ y $1.75''$).

7. Autoevaluación

8. Lecturas

• Hartle (2003), §10.5 (deflexión) y §11.2 (lentes); Schutz (2009), §11.1; Carroll (2004), §5.5; Weinberg (1972), §8.5.
• Will (2014), Living Reviews in Relativity 17, 4, §4.1.1 (deflexión) y §4.1.2 (retardo de Shapiro).
• Dyson, Eddington & Davidson (1920), Phil. Trans. R. Soc. A 220, 291 (acceso abierto); Kennefick (2009), Physics Today 62(3), 37; Harvey (1979), The Observatory 99, 195.
• Lambert & Le Poncin-Lafitte (2011), A&A 529, A70; Bertotti, Iess & Tortora (2003), Nature 425, 374.
• Schneider, Ehlers & Falco (1992), Gravitational Lenses, caps. 2 (ecuación de la lente) y 8 (lente puntual); Bartelmann & Schneider (2001), Phys. Rep. 340, 291 (lentes débiles, arXiv:astro-ph/9912508).
• Walsh, Carswell & Weymann (1979), Nature 279, 381.