Fondo cósmico de microondas y nucleosíntesis primordial

1. Motivación: el cuerpo negro más perfecto

En 1965 Penzias y Wilson midieron un exceso de temperatura de antena de unos 3.5 K a 4080 MHz, isótropo y sin variación estacional. Hoy sabemos que es la radiación térmica del universo primitivo, con un espectro de Planck de temperatura

(Fixsen 2009, combinando FIRAS/COBE recalibrado con WMAP y la literatura). Ningún cuerpo negro de laboratorio se ajusta tan bien a la ley de Planck. Ese espectro, su temperatura y las minúsculas anisotropías de $\Delta T/T \sim 10^{-5}$ codifican la composición del universo. Y tres minutos después del Big Bang, la misma física de equilibrio térmico fijó las abundancias de los elementos ligeros. Esta lección une ambas cosas con el mismo parámetro: el cociente entre bariones y fotones, $\eta$.

2. Termodinámica de los fotones cósmicos

Densidades

Para un gas de fotones en equilibrio a temperatura $T$ (dos polarizaciones, estadística de Bose–Einstein con potencial químico nulo), la densidad numérica y de energía son

con $\zeta(3) = 1.2020569\ldots$ y $a_{\rm rad} = 7.566\times10^{-16}$ J m⁻³ K⁻⁴. Para $T_0$ (cálculo con recombinacion.ts):

donde $\rho_c = 3H_0^2/8\pi G$ es la densidad crítica y $h = H_0/(100\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}})$. Añadiendo los tres neutrinos (relativistas al desacoplarse, con temperatura $T_\nu = (4/11)^{1/3}T_\gamma$ tras la aniquilación $e^\pm$), $\Omega_r h^2 = \Omega_\gamma h^2\,[1 + \tfrac78(\tfrac{4}{11})^{4/3}N_{\rm eff}] = 4.18\times10^{-5}$ con $N_{\rm eff} = 3.044$, es decir $\Omega_r = 9.1\times10^{-5}$ para $h = 0.6766$: el valor que usa la librería.

T ∝ 1/a

En un volumen comóvil $V \propto a^3$ el número de fotones se conserva (tras la aniquilación $e^\pm$ no hay más fuentes) y cada uno se enrojece como $\nu \propto 1/a$. Un espectro de Planck con $T$ se transforma en otro de Planck con $T' = T\,a/a'$ (problema 1), de modo que

La igualdad materia–radiación, $\Omega_m(1+z)^3 = \Omega_r(1+z)^4$, ocurre en $1 + z_{\rm eq} = \Omega_m/\Omega_r$: con $\Omega_m h^2 = 0.143$, $z_{\rm eq} = 3418$ (Planck 2018: $3402 \pm 26$; la diferencia del 0.5 % viene del tratamiento de las masas de los neutrinos).

Bariones por fotón

Si cada barión tiene masa $\approx m_p$, $n_b = \Omega_b\rho_c/m_p$ y

para $\Omega_b h^2 = 0.02237 \pm 0.00015$ (Planck 2018 TT,TE,EE+lowE+lensing; PDG 2025, ecs. 24.7–24.8). Hay unos 1600 millones de fotones por cada barión. Este número gobierna tanto la recombinación como la nucleosíntesis.

3. Recombinación: la ecuación de Saha

Consideremos solo hidrógeno (el helio, con mayor energía de ionización, ya es neutro en esta época) con $n_H = n_p + n_{H^0}$ la densidad total de núcleos de hidrógeno, $n_e = n_p$ y la fracción de ionización $x_e \equiv n_e/n_H$. En equilibrio químico de $p + e^- \leftrightarrow H^0 + \gamma$ los potenciales químicos cumplen $\mu_p + \mu_e = \mu_H$ ($\mu_\gamma = 0$). Para partículas no relativistas, $n_i = g_i(m_i k_B T/2\pi\hbar^2)^{3/2}\exp[(\mu_i - m_ic^2)/k_BT]$; formando el cociente $n_p n_e/n_H$ los potenciales se cancelan y, con $g_p g_e/g_H = 1$ y $m_p - m_H \approx -Q/c^2$ ($Q = 13.598$ eV),

(Ryden 2017, ec. 8.26; Weinberg 2008, §2.3). Como $n_H = (1 - Y_p)\,\eta\,n_\gamma(T) \propto T^3$, el lado derecho solo depende de $T$ y de $\eta$, y la solución positiva de la cuadrática es $x_e = 2S/(S + \sqrt{S^2 + 4S})$.

¿Por qué recombina a $k_BT \ll Q$? Sustituyendo $n_H = (1-Y_p)\eta n_\gamma$ y escribiendo $n_\gamma$ en función de $T$,

El factor $\eta^{-1} \sim 10^9$ y $(m_ec^2/k_BT)^{3/2} \sim 10^{8}$ solo se compensan cuando $e^{-Q/k_BT} \sim 10^{-17}$, es decir $k_BT \approx Q/40$: hay tantos fotones por barión que la cola de Wien basta para ionizar hasta temperaturas 40 veces inferiores a $Q/k_B$ (problema 3). Resultados de fraccionIonizacionSaha con $\eta_{10} = 6.12$, $Y_p = 0.245$:

El test del módulo reproduce $z = 1370$, $T = 3740$ K para $x_e = 1/2$ (Ryden 2017, §8.3). La recombinación es rápida: de 90 % a 10 % de ionización en $\Delta z \approx 220$, unos 70 000 años.

Límites de Saha. El equilibrio falla cuando la tasa de recombinación cae por debajo de $H$: cada recombinación directa al nivel fundamental emite un fotón que reioniza otro átomo, de modo que la recombinación efectiva pasa por el nivel $n = 2$ y se cuellobotella en el escape de fotones Ly α y en la desintegración a dos fotones $2s \to 1s$ (Peebles 1968). El resultado es una recombinación más lenta que Saha y una fracción residual $x_e \sim 10^{-3}$ que se «congela» (Dodelson & Schmidt 2020, §4.6). Los códigos modernos (RECFAST, HyRec, CosmoRec) resuelven la cinética con cientos de niveles.

4. Desacoplamiento y superficie de última dispersión

Los fotones se desacoplan cuando la tasa de dispersión Thomson $\Gamma = n_e\sigma_T c$ cae por debajo de $H$. En $z = 1090$: $n_H = (1-Y_p)\,\eta\,n_{\gamma,0}(1+z)^3 = 2.5\times10^8$ m⁻³, $\sigma_T = 6.65\times10^{-29}$ m², y $H = H_0E(z) = 2.19\times10^{-18}\times 2.31\times10^4 = 5.1\times10^{-14}$ s⁻¹, luego

el desacoplamiento ($\Gamma = H$) ocurre cuando $x_e \approx 10^{-3}$, en plena cola de la recombinación. La superficie de última dispersión se define por profundidad óptica unidad, $\tau(z_\ast) = \int n_e\sigma_T c\,dt = 1$; Planck 2018 da

con una anchura $\Delta z \approx 80$–100. Los bariones, por su parte, se liberan del arrastre de los fotones algo después, en $z_{\rm drag} = 1059.94 \pm 0.30$, que es la época que fija la escala de las oscilaciones acústicas de bariones (BAO) con $r_{\rm drag} = 147.09 \pm 0.26$ Mpc.

5. Anisotropías y espectro de potencias

Dipolo y multipolos

La anisotropía dominante es el dipolo por nuestro movimiento respecto al CMB, de amplitud $\approx 3.36$ mK (370 km s⁻¹). Descontado, el mapa $\Delta T(\hat n)/T$ se desarrolla en armónicos esféricos,

y se representa $\mathcal D_\ell = \ell(\ell+1)C_\ell T_0^2/2\pi$ (en μK²). El multipolo $\ell$ corresponde a una escala angular $\theta \approx 180^\circ/\ell$.

Varianza cósmica

Solo disponemos de un cielo: $C_\ell$ se estima con $2\ell + 1$ números $a_{\ell m}$ independientes (gaussianos), así que

63 % para el cuadrupolo y 7 % en $\ell = 200$. Es un límite estadístico irreducible, no instrumental.

Grandes escalas: Sachs–Wolfe

En escalas mayores que el horizonte en $z_\ast$ ($\ell \lesssim 50$) el plasma no ha tenido tiempo de evolucionar y la anisotropía refleja directamente el potencial gravitatorio primordial: $\Delta T/T = \Phi/3c^2$ (efecto Sachs–Wolfe; el $1/3$ resulta de combinar el corrimiento gravitatorio $\Phi/c^2$ con el retraso temporal $-\tfrac23\Phi/c^2$ en un universo dominado por materia). Un espectro primordial invariante de escala ($n_s = 1$) da $\mathcal D_\ell$ plana: la «meseta».

Picos acústicos

Antes del desacoplamiento, fotones y bariones forman un fluido único con velocidad del sonido

en $z_\ast$, $R = 0.62$ y $c_s = 0.45c$. Las sobredensidades iniciales oscilan por la competencia entre gravedad y presión de radiación; un modo de número de onda $k$ queda, en $z_\ast$, en la fase $k r_s$, con el horizonte sonoro

Los modos con $k r_s = n\pi$ están en máxima compresión ($n$ impar) o rarefacción ($n$ par) y producen los picos. Su escala angular es $\theta_\ast = r_s/D_M(z_\ast) = 1.0411\times10^{-2}$ rad ($0.5965^\circ$), medida al 0.03 %, y $\ell_A \equiv \pi/\theta_\ast = 301.7$; los picos aparecen en $\ell_n \approx \ell_A(n - \phi_n)$ con desfases $\phi_n \approx 0.27$ (Hu & Dodelson 2002), de ahí el primer pico en $\ell \approx 220$. La física de cada rasgo:

• Posición del primer pico → $\theta_\ast$ → geometría (curvatura) y $H_0$ dado $r_s$.
• Altura relativa de picos impares/pares → $R$, es decir $\Omega_b h^2$: los bariones cargan el oscilador y refuerzan las compresiones.
• Tercer pico y envolvente → $\Omega_m h^2$ a través de $z_{\rm eq}$ (impulso por decaimiento de potenciales en la era de radiación).
• Amortiguamiento de Silk ($\ell \gtrsim 1000$): difusión de fotones durante la recombinación borra las fluctuaciones de escala menor que la longitud de difusión.

Espectro del CMB con el simulador

Fija $T = 2.725$ K: el máximo de $B_\lambda$ cae en $\lambda_{\max} = b/T = 1.063$ mm y el de $B_\nu$ en $\nu_{\max} = 2.821\,k_BT/h = 160.2$ GHz (el canal 143–217 GHz de Planck). Sube a 3000 K (última dispersión) y compara con el espectro de una enana roja: el CMB era luz visible rojiza.

6. Nucleosíntesis primordial (BBN)

Congelación del cociente n/p

A $k_BT \gg 1$ MeV las reacciones débiles $n + \nu_e \leftrightarrow p + e^-$, $n + e^+ \leftrightarrow p + \bar\nu_e$ mantienen el equilibrio $n/p = e^{-Q_n/k_BT}$ con $Q_n = (m_n - m_p)c^2 = 1.293$ MeV. Su tasa $\Gamma_{\rm w} \propto G_F^2 T^5$ cae más deprisa que $H \propto \sqrt{g_\ast}\,T^2/m_{\rm Pl}$, y se igualan en

($g_\ast = 10.75$: fotones, $e^\pm$ y 3 neutrinos), con $n/p \simeq 1/6$ (PDG 2025, §24.1). A partir de ahí los neutrones libres se desintegran con $\tau_n = 878.4 \pm 0.5$ s.

El cuello de botella del deuterio

La cadena nuclear empieza por $p(n,\gamma)D$, pero el deuterio tiene energía de ligadura $B_D = 2.22$ MeV y los $\eta^{-1} \sim 10^9$ fotones por barión lo fotodisocian hasta que $e^{-B_D/k_BT} \sim \eta$, es decir $k_BT \approx B_D/\ln(\eta^{-1}) \approx 0.07$–0.08 MeV, unos $t \approx 200$–270 s (con $g_\ast = 3.36$ tras la aniquilación $e^\pm$). En ese lapso $n/p$ cae de $1/6$ a $\approx (1/6)e^{-250/878} = 0.125$; con el valor más preciso de la congelación resulta $n/p \simeq 1/7$ (PDG). Entonces, casi todos los neutrones acaban en $^4$He:

Las trazas de D, $^3$He y $^7$Li que sobreviven dependen fuertemente de $\eta$: cuanto más denso el plasma, más completa la combustión y menos deuterio queda ($\mathrm{D/H} \propto \eta^{-1.6}$ aproximadamente), por eso el deuterio es el bariómetro de la BBN.

Datos (PDG 2025, §24)

Dos épocas separadas por un factor $10^8$ en temperatura y $\sim 400\,000$ años dan el mismo $\eta$ con un 1 % de precisión. Es el argumento más sólido de que la densidad de bariones es $\Omega_b \approx 0.049$, muy inferior a $\Omega_m \approx 0.31$: la mayor parte de la materia no es bariónica. La única discrepancia es el problema del litio: el $^7$Li observado en estrellas viejas es unas tres veces menor que el predicho, probablemente por destrucción estelar.

Sensibilidad a la física nueva: $\Delta Y_p \simeq 0.013\,\Delta N_\nu$ (más especies relativistas → $H$ mayor → congelación más temprana → más neutrones).

7. Análisis de error

• Recombinación. Saha da $z(x_e = 0.5) = 1369$; la cinética de Peebles retrasa la recombinación y Planck sitúa $\tau = 1$ en $z_\ast = 1089.92 \pm 0.25$. El error de Saha no es numérico (la bisección converge a $10^{-9}$) sino de modelo: suponer equilibrio.
• η desde D/H. Con $\mathrm{D/H} \propto \eta^{-1.6}$, $\delta\eta/\eta = \delta(\mathrm{D/H})/(1.6\,\mathrm{D/H}) = 1.16\,\%/1.6 = 0.7\,\%$, es decir $\pm 0.04$ en $\eta_{10}$ solo por la medida; el $\pm 0.118$ de PDG está dominado por las secciones eficaces nucleares ($d(p,\gamma)^3$He, $d(d,n)^3$He, $d(d,p)t$).
• Varianza cósmica. El espectro de Planck en $\ell \lesssim 30$ está limitado por $\sqrt{2/(2\ell+1)}$, no por el instrumento; de ahí que la «anomalía» del cuadrupolo bajo tenga poca significación.

Problemas

1. (Demostración) Un cuerpo negro sigue siéndolo. Demuestra que si en $t_1$ la radiación tiene espectro de Planck con temperatura $T_1$, la expansión libre hasta $t_2$ produce un espectro de Planck con $T_2 = T_1 a_1/a_2$.

2. Fotones y bariones. Calcula $n_\gamma$, $\varepsilon_\gamma$ y $\Omega_\gamma$ para $T_0 = 2.72548$ K y $H_0 = 67.36$ km s⁻¹ Mpc⁻¹, y el número de fotones por barión para $\Omega_b h^2 = 0.02237$. Propaga la incertidumbre de $T_0$ a $n_\gamma$.

3. (Demostración) kT ≈ Q/40. Escribe $S(T)$ como $S = A\,\eta^{-1}(k_BT/m_ec^2)^{-3/2}e^{-Q/k_BT}$ con $A$ una constante numérica que debes obtener, y demuestra que $x_e = 1/2$ (es decir, $S = 1/2$) se alcanza a $k_BT \approx Q/42$ para $\eta = 6.1\times10^{-10}$ ignorando el helio.

4. (Demostración) Y_p y N_ν. (a) Demuestra $Y_p = 2(n/p)/(1 + n/p)$ suponiendo que todos los neutrones acaban en $^4$He. (b) Si el cociente de congelación es $n/p = e^{-Q_n/k_BT_{\rm fr}}$ y $T_{\rm fr} \propto g_\ast^{1/6}$, estima el cambio de $Y_p$ al pasar de $N_\nu = 3$ a 4 y compáralo con $\Delta Y_p \simeq 0.013\,\Delta N_\nu$ (PDG).

5. (Computacional) Saha frente a la librería. Resuelve $x_e(z)$ por bisección para $\eta_{10} = 6.12$ y $Y_p = 0.245$, dibuja $x_e$ entre $z = 1800$ y $1000$ y localiza $z(x_e = 0.5)$ y $z(x_e = 0.01)$. Repite con $\eta_{10} = 3$ y $12$: ¿cómo se desplaza la recombinación?

import numpy as np
kB, hbar, c, me, eV = 1.380649e-23, 1.054571817e-34, 2.99792458e8, 9.1093837e-31, 1.602176634e-19
Q, T0, z3 = 13.598 * eV, 2.72548, 1.2020569
def x_e(z, eta10=6.12, Yp=0.245):
    T = T0 * (1 + z)
    ng = 2 * z3 / np.pi**2 * (kB * T / (hbar * c))**3
    nH = (1 - Yp) * eta10 * 1e-10 * ng
    S = (me * kB * T / (2 * np.pi * hbar**2))**1.5 * np.exp(-Q / (kB * T)) / nH
    return 2 * S / (S + np.sqrt(S * S + 4 * S))
z = np.linspace(1800, 1000, 801)
for eta10 in (3, 6.12, 12):
    x = x_e(z, eta10)
    print(eta10, z[np.argmin(abs(x - 0.5))], z[np.argmin(abs(x - 0.01))])

6. Varianza cósmica y horizonte sonoro. (a) ¿Con qué precisión relativa puede medirse $C_\ell$ en $\ell = 2$, 10 y 1000 con un mapa de todo el cielo sin ruido? (b) Estima $r_s$ como $c_s\,\eta_\ast$, donde $\eta_\ast = 281$ Mpc es el horizonte comóvil de partículas en $z_\ast$ (lección 4) y $c_s = 0.45c$, y compáralo con 144.43 Mpc. ¿Por qué sale menor?

7. Desacoplamiento. Repite el cálculo de §4 en $z = 1300$ con $x_e(1300)$ de Saha y en $z = 1000$ con $x_e = 10^{-3}$. ¿En cuál de los dos están acoplados los fotones?

Lecturas

• Ryden, B. (2017). Introduction to Cosmology, 2.ª ed., cap. 8 (CMB: Saha, desacoplamiento, anisotropías) y cap. 9 (BBN: n/p, cuello de botella del deuterio).
• Dodelson, S. & Schmidt, F. (2020). Modern Cosmology, 2.ª ed., §4.6 (recombinación con Peebles) y cap. 9 (anisotropías, picos acústicos).
• Weinberg, S. (2008). Cosmology, cap. 2 (historia térmica: §2.3 recombinación, §2.4 nucleosíntesis) y cap. 7 (anisotropías).
• Hu, W. & Dodelson, S. (2002). ARA&A 40, 171: la referencia estándar sobre la física de los picos acústicos.
• Fields, Molaro & Sarkar, PDG 2025 §24 (BBN); Planck Collaboration 2020, A&A 641, A6 (tabla 2); Fixsen 2009, ApJ 707, 916.