El método de la velocidad radial

1. Motivación: 59 metros por segundo

El 6 de octubre de 1995 Michel Mayor y Didier Queloz anunciaron (IAU Circular 6251; Nature 378, 355) que la velocidad radial de la estrella 51 Pegasi, de tipo solar, oscila con periodo $P = 4.2293 \pm 0.0011$ d y semiamplitud $K = 59 \pm 3$ m s⁻¹, tras 18 meses de medidas con el espectrógrafo ELODIE del Observatoire de Haute-Provence. De esos dos números dedujeron un compañero de masa mínima $0.47 \pm 0.02$ masas de Júpiter a 0.05 UA de la estrella: el primer exoplaneta alrededor de una estrella de la secuencia principal, y uno que nadie esperaba (un «Júpiter caliente»). Esta lección deriva la relación entre $(P, K, e)$ y la masa del planeta, aplica el resultado a 51 Peg b y discute qué limita hoy la técnica, que ha pasado de 13 m s⁻¹ (ELODIE) a 10 cm s⁻¹ (ESPRESSO).

2. La órbita de la estrella

En el problema de dos cuerpos, estrella ($M_\star$) y planeta ($m_p$) describen elipses homotéticas alrededor del centro de masas, con el mismo periodo $P$, la misma excentricidad $e$ y semiejes

donde $a = a_\star + a_p$ es el semieje de la órbita relativa. Lo que medimos es la componente de la velocidad de la estrella a lo largo de la visual.

Geometría

Sea $\hat z$ la dirección de la visual (hacia el observador el signo negativo, por convenio velocidad positiva = alejamiento). Elegimos el plano orbital de la estrella con el nodo ascendente en el eje $x$ del plano del cielo; la inclinación $i$ es el ángulo entre el plano orbital y el plano del cielo, y $\omega$ el argumento del periastro (ángulo desde el nodo ascendente hasta el periastro, medido en el plano orbital). La coordenada de la estrella a lo largo de la visual es

con $r$ la distancia al centro de masas y $\nu$ la anomalía verdadera. Derivando,

Las derivadas keplerianas

De la ecuación de la órbita $r = a_\star(1 - e^2)/(1 + e\cos\nu)$ y de la conservación del momento angular específico $h = r^2\dot\nu = \sqrt{\mu_\star a_\star(1 - e^2)}$ (con $\mu_\star$ el parámetro gravitatorio efectivo de la órbita de la estrella, que se cancelará) se obtiene

Sustituyendo y usando $\sin\nu\sin(\nu + \omega) + \cos\nu\cos(\nu+\omega) = \cos\omega$:

Finalmente $h = 2\pi a_\star^2\sqrt{1-e^2}/P$ (el área de la elipse, $\pi a_\star^2\sqrt{1-e^2}$, se barre en un periodo a ritmo $h/2$), de modo que

donde $\gamma$ es la velocidad sistémica (del centro de masas). La curva es una sinusoide solo si $e = 0$; con $e > 0$ se deforma (subida rápida y bajada lenta o viceversa según $\omega$), pero su amplitud pico a pico es siempre $2K$ (problema 1). La dependencia temporal entra por $\nu(t)$: anomalía media $M = 2\pi(t - t_p)/P$, ecuación de Kepler $M = E - e\sin E$ y $\tan(\nu/2) = \sqrt{(1+e)/(1-e)}\tan(E/2)$. Implementación: velocidadRadial en src/lib/math/velocidadRadial.ts, que usa solveKepler de la librería.

3. La semiamplitud en función de las masas

Sustituimos $a_\star = a\,m_p/(M_\star + m_p)$ y la tercera ley $a = [G(M_\star + m_p)P^2/4\pi^2]^{1/3}$ en $K$:

En unidades prácticas (constante calculada con $G$, $M_\odot$ y $M_J = GM_J/G$ de la IAU 2015):

Tres consecuencias: $K$ no depende de la distancia a la estrella (es una medida espectroscópica), crece con la masa del planeta y decrece con el periodo como $P^{-1/3}$ (los planetas cercanos son los fáciles), y entra solo $m_p\sin i$.

Función de masa y masa mínima

Elevando $K$ al cubo y despejando las masas:

El lado izquierdo, la función de masa, contiene solo observables. Si $M_\star$ se conoce (espectroscopía, isocronas, asterosismología) y $m_p \ll M_\star$,

y la ecuación cúbica exacta se resuelve por punto fijo ($m \leftarrow [f\,(M_\star + m)^2]^{1/3}$; masaMinima). Lo que obtenemos es una cota inferior de la masa: $m_p = (m_p\sin i)/\sin i \ge m_p\sin i$.

51 Pegasi b

Con $P = 4.2293$ d $= 3.654\times10^5$ s, $K = 59$ m s⁻¹, $e = 0$ y $M_\star = 1\,M_\odot$:

(la corrección por $M_\star + m_p$ es del 0.03 %), y $a = [GM_\odot P^2/4\pi^2]^{1/3} = 0.0512$ UA, un décimo de la órbita de Mercurio. El test velocidadRadial.test.ts reproduce $0.47 \pm 0.02\,M_J$. Con la masa estelar moderna, algo mayor que la solar, $m_p\sin i$ sube proporcionalmente a $M_\star^{2/3}$ (problema 3).

4. La inclinación

Para orientaciones orbitales isótropas, el polo orbital es uniforme en la esfera y $\cos i$ es uniforme en $[0, 1]$ (lección anterior). Entonces la densidad de $\sin i$ es $p(s) = s/\sqrt{1 - s^2}$, y

Es decir, en un 13 % de los casos la masa real supera el doble de la mínima, y solo en un 1.5 % la supera en un factor 10 ($\sin i < 0.1$: $P = 1 - \cos 5.74^\circ = 0.005$). Si además el planeta transita, $i \approx 90^\circ$ y la masa es exacta; combinando $m_p$ con $R_p$ del tránsito se obtiene la densidad del planeta, el dato que distingue un gigante gaseoso de una supertierra rocosa. Comprueba en el simulador que un tránsito solo ocurre si $b = (a/R_\star)\cos i < 1 + k$: para 51 Peg b, con $a = 0.0512$ UA y una estrella de radio solar, $a/R_\star = 11$ y haría falta $i > 84.8^\circ$; no se han observado tránsitos, así que $i$ (y la masa real) siguen sin medirse directamente.

5. Cómo se mide: de 13 m s⁻¹ a 10 cm s⁻¹

El desplazamiento Doppler no relativista es $\Delta\lambda/\lambda = v_r/c$: 1 m s⁻¹ equivale a $3.3\times10^{-9}$, es decir $1.8\times10^{-5}$ Å en 5500 Å, una milésima de píxel en un espectrógrafo de resolución $R = 115\,000$. Se consigue promediando miles de líneas (correlación cruzada con una máscara) y comparando con una referencia simultánea (lámpara de ThAr, Fabry–Pérot o peine de frecuencias láser).

Presupuesto de ruido.

• Fotones. $\sigma_v \propto 1/(\mathrm{S/N}\sqrt{N_{\rm l\acute ineas}})$; depende del tipo espectral (las enanas K con muchas líneas son óptimas) y de $v\sin i$ (la rotación ensancha las líneas).
• Instrumento. HARPS (ESO 3.6 m, La Silla, 2003): objetivo de 1 m s⁻¹, $R = 115\,000$, en vacío y con control térmico; en comisionado, 420 espectros de α Cen B en 7 h dieron una dispersión de 51 cm s⁻¹ dominada por las oscilaciones estelares de 4 min, con un suelo de ruido de 0.26 m s⁻¹ y ruido fotónico de 0.17 m s⁻¹; la deriva instrumental se sigue a 0.1 m s⁻¹ rms (Mayor et al. 2003). ESPRESSO (VLT, 2018): $R \approx 140\,000$, precisión demostrada mejor que 25 cm s⁻¹ en una noche y 50 cm s⁻¹ en varios meses, limitada por fotones y por la estrella y compatible con un límite instrumental de 10 cm s⁻¹ (Pepe et al. 2021).
• La estrella. Oscilaciones p (minutos, 10–50 cm s⁻¹ en estrellas tipo solar), granulación (horas, ~1 m s⁻¹), manchas y plages (días–semanas, de 1 a decenas de m s⁻¹, moduladas con la rotación) y ciclos de actividad (años). Este jitter es hoy el límite real: la señal de una Tierra en la zona habitable del Sol, 9 cm s⁻¹, está por debajo de ESPRESSO y enterrada en el ruido estelar.

Precisión de K. Para una sinusoide bien muestreada con $N$ puntos de error $\sigma$, el ajuste por mínimos cuadrados da $\sigma_K = \sigma\sqrt{2/N}$ y $\sigma_\gamma = \sigma/\sqrt N$ (problema 6). Con $\sigma = 13$ m s⁻¹ y $N = 40$, $\sigma_K = 2.9$ m s⁻¹: el $\pm 3$ m s⁻¹ de Mayor & Queloz.

6. Propagación de errores

De $m_p\sin i \propto K\,P^{1/3}M_\star^{2/3}$, para variables independientes,

Para 51 Peg b: $\delta K/K = 3/59 = 5.1\,\%$, $\delta P/3P = 10^{-4}$ (despreciable), y con $\delta M_\star/M_\star = 10\,\%$ (típico de estimaciones espectroscópicas) $2\delta M/3M = 6.7\,\%$; total 8.4 %, es decir $\pm 0.04\,M_J$. El $\pm 0.02$ publicado solo incluye $\delta K$: la masa estelar suele ser la fuente de error dominante y correlaciona todos los planetas de un sistema. Implementación: errorRelativoMasaMinima.

Problemas

1. (Demostración) Amplitud y media de la curva. Demuestra que (a) el valor pico a pico de $v_r$ es $2K$ para cualquier $e$ y $\omega$; (b) el promedio temporal de $v_r$ sobre un periodo es $\gamma$ (pista: $\langle\cos(\nu + \omega)\rangle_t = -e\cos\omega$).

2. (Demostración) Constante práctica. Demuestra que $(2\pi G/P)^{1/3}M_J/M_\odot^{2/3} = 28.43$ m s⁻¹ para $P = 1$ año juliano, con $GM_\odot = 1.3271244\times10^{20}$ m³ s⁻² y $GM_J = 1.2668653\times10^{17}$ m³ s⁻² (IAU 2015), y que el resultado no requiere conocer $G$.

3. 51 Peg b con la masa estelar moderna. Repite el cálculo de §3 con $M_\star = 1.11\,M_\odot$ y $K = 55.9$ m s⁻¹ (valores posteriores de la literatura; úsalos como ejercicio). Propaga $\delta K = 0.5$ m s⁻¹ y $\delta M_\star = 0.05\,M_\odot$.

4. Señales planetarias. Calcula $K$ para (a) Saturno visto de canto ($P = 29.46$ a, $m = 0.299\,M_J$); (b) una supertierra de $5\,M_\oplus$ en $P = 10$ d alrededor de una enana M de $0.2\,M_\odot$; (c) 51 Peg b si $i = 30^\circ$. ¿Cuáles detecta HARPS (1 m s⁻¹)?

5. (Demostración) Estadística de sin i. Demuestra que para orientaciones isótropas $P(\sin i < s_0) = 1 - \sqrt{1 - s_0^2}$ y $\langle\sin i\rangle = \pi/4$. ¿Qué fracción de los «planetas» de masa mínima $10\,M_J$ son en realidad enanas marrones ($> 13\,M_J$)?

6. (Computacional) Recuperar K. Con velocidadRadial.ts (o tu propio código) genera 40 medidas de una órbita circular ($P = 4.2293$ d, $K = 59$, $\gamma = 0$) en noches aleatorias con ruido $\sigma = 13$ m s⁻¹. Ajusta $v = \gamma + A\cos\phi + B\sin\phi$, $\phi = 2\pi t/P$, por mínimos cuadrados lineales con $P$ conocido, obtén $K = \sqrt{A^2 + B^2}$ y repite 500 realizaciones: compara la dispersión de $K$ con $\sigma\sqrt{2/N}$. Demuestra esa fórmula.

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(1); P, K, s, N = 4.2293, 59.0, 13.0, 40
Ks = []
for _ in range(500):
    t = np.sort(rng.uniform(0, 60, N)); phi = 2*np.pi*t/P
    v = K*np.cos(phi) + s*rng.standard_normal(N)
    X = np.c_[np.ones(N), np.cos(phi), np.sin(phi)]
    g, A, B = np.linalg.lstsq(X, v, rcond=None)[0]
    Ks.append(np.hypot(A, B))
print(np.mean(Ks), np.std(Ks), s*np.sqrt(2/N))

7. Excentricidad. Dibuja $v_r(t)$ para $e = 0.6$ con $\omega = 0^\circ$, $90^\circ$ y $180^\circ$ (mismos $K$, $P$). Explica la forma de cada curva en términos de la velocidad en el periastro y el apoastro, y por qué un muestreo escaso puede confundir una órbita excéntrica con dos planetas en resonancia 2:1.

Lecturas

• Perryman, M. (2018). The Exoplanet Handbook, 2.ª ed., cap. 2: derivación completa, instrumentación y catálogo de resultados.
• Lovis, C. & Fischer, D. (2010), en Exoplanets (ed. Seager), cap. 2: técnica Doppler de precisión y presupuesto de errores.
• Murray, C. D. & Dermott, S. F. (1999). Solar System Dynamics, cap. 2: las relaciones $r(\nu)$, $h$ y la ecuación de Kepler usadas en §2.
• Mayor & Queloz (1995), Nature 378, 355; IAUC 6251: el descubrimiento. Mayor et al. (2003), The Messenger 114, 20; Pepe et al. (2021), A&A 645, A96: HARPS y ESPRESSO.