Las ecuaciones de Friedmann

Motivación: una sola función para toda la historia cósmica

Toda la cosmología de fondo cabe en una función de una variable, el factor de escala $a(t)$. De ella salen la edad del universo (13.787 ± 0.020 Gyr según Planck 2018), el destino (expansión eterna o recolapso), el corrimiento al rojo de cada galaxia y las distancias con que se miden las supernovas y el fondo cósmico. Esta lección deduce la ecuación que gobierna $a(t)$ a partir de la relatividad general, la resuelve en los casos en que hay solución cerrada y la integra numéricamente en el caso general, con los parámetros de Planck 2018 como ejemplo de trabajo.

1. La métrica FLRW

El principio cosmológico postula que, a escalas mayores que unos 100 Mpc, el universo es homogéneo e isótropo. Las únicas geometrías espaciales compatibles son las de curvatura constante, y la métrica más general (Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker) es

donde $t$ es el tiempo cósmico (el que mide un observador en reposo respecto al fluido cósmico), $r$ la distancia comóvil radial, $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2$, $k$ el signo de la curvatura espacial, $R_0$ el radio de curvatura actual y $a(t)$ el factor de escala, normalizado a $a(t_0) = 1$ hoy ($t_0$).

La distancia propia entre dos galaxias comóviles es $d_p(t) = a(t)\,r$, de modo que $\dot d_p = (\dot a/a)\,d_p$: es la ley de Hubble $v = H d_p$ con $H(t) \equiv \dot a/a$ y $H_0 = H(t_0)$. Un fotón ($ds = 0$) emitido en $t_e$ y recibido en $t_0$ cumple $\int_{t_e}^{t_0} c\,dt/a = r$; comparando dos crestas sucesivas se obtiene

2. Motivación newtoniana

Considera una esfera de radio $R(t) = a(t)\,r_s$ que se expande con el fluido, de densidad uniforme $\rho(t)$ y masa $M = \tfrac43\pi R^3\rho$ constante. Por el teorema de la capa de Newton, una partícula de prueba en su superficie solo siente la masa interior. Su energía mecánica por unidad de masa se conserva:

Es exactamente la forma de la primera ecuación de Friedmann, con la energía $U$ en el papel de la curvatura: $U < 0$ (ligado) corresponde a un universo cerrado que recolapsa, $U > 0$ a uno abierto. El argumento tiene límites serios: presupone un centro, ignora la presión como fuente de gravedad y no explica qué es la “curvatura”. La relatividad general corrige las tres cosas.

3. Las ecuaciones de Friedmann en relatividad general

Con la métrica FLRW y un fluido perfecto de densidad de energía $\varepsilon = \rho c^2$ y presión $P$, $T^{\mu}{}_{\nu} = \mathrm{diag}(-\varepsilon, P, P, P)$, las ecuaciones de Einstein $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = (8\pi G/c^4) T_{\mu\nu}$ se reducen a dos ecuaciones independientes. La componente $00$ da la primera ecuación de Friedmann:

La traza de las componentes espaciales, combinada con la anterior, da la ecuación de aceleración:

La presión gravita: un fluido con $P > -\varepsilon/3$ frena la expansión; uno con $P < -\varepsilon/3$ la acelera.

Ecuación de fluido

La conservación $\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0$ (o, equivalentemente, la primera ley de la termodinámica $dE + P\,dV = 0$ aplicada a un volumen comóvil $V \propto a^3$) da

Derivando la primera ecuación respecto a $t$ y sustituyendo la ecuación de fluido se recupera la ecuación de aceleración: de las tres ecuaciones solo dos son independientes.

Ecuaciones de estado

Para $P = w\,\varepsilon$ con $w$ constante, la ecuación de fluido se integra inmediatamente:

4. Parámetros de densidad

La densidad crítica es la que hace $k = 0$ con $\Lambda = 0$: $\varepsilon_c = 3c^2H^2/(8\pi G)$. Definimos, hoy,

Con ellos la primera ecuación de Friedmann adopta la forma que integra el simulador:

y la de aceleración,

Los valores de Planck 2018 (TT,TE,EE+lowE+lensing) son $H_0 = 67.66$ km s⁻¹ Mpc⁻¹, $\Omega_m = 0.3111$, $\Omega_\Lambda = 0.6889$ (Planck Collaboration 2020, tabla 2); $\Omega_r \approx 9 \times 10^{-5}$ incluye fotones y neutrinos.

5. Soluciones analíticas

Escribiendo $\tau = H_0 t$, la primera ecuación es $(da/d\tau)^2 = a^2E(a)^2$. Con una sola componente dominante se integra por separación de variables:

• Radiación ($\Omega_r = 1$): $a\,da = d\tau \Rightarrow a(t) = (2H_0 t)^{1/2}$, edad $t_0 = 1/(2H_0)$.
• Materia, Einstein–de Sitter ($\Omega_m = 1$): $a^{1/2}da = d\tau \Rightarrow a(t) = (\tfrac32 H_0 t)^{2/3}$, $t_0 = \tfrac{2}{3H_0}$.
• Λ, de Sitter ($\Omega_\Lambda = 1$): $da/a = d\tau \Rightarrow a(t) = e^{H_0(t-t_0)}$; no hay Big Bang.
• Vacío, Milne ($\Omega_k = 1$): $da = d\tau \Rightarrow a(t) = H_0 t$, $t_0 = 1/H_0$. Es el espacio de Minkowski en coordenadas hiperbólicas.
• Materia + curvatura positiva ($\Omega_m > 1$, $\Omega_\Lambda = 0$): solución paramétrica (cicloide) $$a(\eta) = \frac{\Omega_m}{2(\Omega_m-1)}(1-\cos\eta), \qquad t(\eta) = \frac{\Omega_m}{2H_0(\Omega_m-1)^{3/2}}(\eta - \sin\eta),$$ con máximo $a_{\max} = \Omega_m/(\Omega_m-1)$ en $\eta = \pi$ y Big Crunch en $\eta = 2\pi$.
• Materia + Λ, plano: $a(t) = (\Omega_m/\Omega_\Lambda)^{1/3}\sinh^{2/3}\!\left(\tfrac32\sqrt{\Omega_\Lambda}\,H_0 t\right)$.

6. Edad, destino y desaceleración

Como $dt = da/(aH)$, la edad es

El integrando puede tener singularidades integrables ($\propto a^{1/2}$ cerca de $a = 0$, $\propto(a_\ast - a)^{-1/2}$ cerca de un punto de retorno $a_\ast$). La librería las elimina con el cambio $a = A\sin^2\theta$ antes de aplicar Simpson. Para Planck 2018 resulta $t_0 = 13.79$ Gyr, en acuerdo con el valor publicado $13.787 \pm 0.020$ Gyr.

El universo recolapsa si $P(a) \equiv a^2E^2$ se anula para algún $a > 1$ (allí $\dot a = 0$ y $\ddot a < 0$), y no tuvo Big Bang (rebote) si se anula para algún $0 < a < 1$. Las fronteras en el plano $(\Omega_m, \Omega_\Lambda)$ tienen forma cerrada (Carroll, Press & Turner 1992):

(con $\cos$ y $\arccos$ en la segunda para $\Omega_m > \tfrac12$). El parámetro de desaceleración

vale $q_0 \approx -0.53$ para Planck 2018: la expansión se acelera hoy (recta $\Omega_\Lambda = \Omega_m/2$ en el plano).

Integración numérica

Para dibujar $a(t)$ en cualquier modelo, src/lib/math/friedmann.ts integra con RK4 la forma de segundo orden $d^2a/d\tau^2 = -\Omega_r a^{-3} - \tfrac12\Omega_m a^{-2} + \Omega_\Lambda a$ desde $a = 1$, $da/d\tau = 1$. La forma de primer orden $\dot a = \pm\sqrt{P(a)}$ no sirve en un punto de retorno (el signo cambia y $\sqrt{P}$ no es lipschitziana), mientras que la de segundo orden es regular allí. El paso se adapta como $h = \eta/s$, con $s = \max(|\dot a|/a, \sqrt{|\ddot a/a|})$, y la ligadura $\dot a^2 = P(a)$ sirve de control: su error relativo es $< 10^{-6}$ en todos los modelos predefinidos.

7. Distancias

Con $D_H = c/H_0$, la distancia comóvil a un objeto con corrimiento $z$ es $D_C = D_H\int_0^z dz'/E(z')$, y la distancia comóvil transversal

determina la distancia de diámetro angular $D_A = D_M/(1+z)$ (tamaño $\ell = D_A\,\theta$) y la de luminosidad $D_L = (1+z)D_M$ (flujo $F = L/4\pi D_L^2$). Se cumple la relación de reciprocidad de Etherington $D_L = (1+z)^2 D_A$. El tiempo de retrospección es $t_L(z) = H_0^{-1}\int_0^z dz'/[(1+z')E(z')]$.

Análisis de error

• Cuadratura de la edad. El cambio $a = A\sin^2\theta$ convierte las singularidades integrables ($a^{-1/2}$ en el origen, $(a_\ast - a)^{-1/2}$ en un punto de retorno) en integrandos acotados, y Simpson recupera su orden $h^4$: con $n = 4000$ el error de $t_0$ frente a la fórmula cerrada de ΛCDM plano es inferior a $10^{-9}$ relativo (friedmann.test.ts). Sin el cambio de variable, el integrando $\propto a^{-1/2}$ reduce Simpson a orden $h^{3/2}$.
• Integración de $a(t)$. RK4 con paso $h = \eta/s$ es de orden 4 en $\eta$ (problema 6); la ligadura $\dot a^2 = P(a)$ actúa como invariante de control, con error relativo $< 10^{-6}$ en todos los modelos predefinidos.
• Parámetros. $t_0 \propto 1/H_0$ a primer orden: el 0.6 % de incertidumbre de $H_0$ (Planck 2018, $67.66 \pm 0.42$) se traduce en $\pm 0.09$ Gyr, mientras que $\partial t_0/\partial\Omega_m \approx -0.6\,t_H$ en modelos planos da $\pm 0.05$ Gyr para $\delta\Omega_m = 0.0056$; combinados (anticorrelados en Planck) reproducen el $\pm 0.020$ Gyr publicado solo si se incluye la correlación.

Problemas

1. (Demostración) De la ecuación de fluido a la de aceleración. Deriva respecto al tiempo la primera ecuación de Friedmann (con $\Lambda = 0$) y, usando la ecuación de fluido, demuestra la ecuación de aceleración.

2. (Demostración) Edad de ΛCDM plano. Demuestra que para $\Omega_m + \Omega_\Lambda = 1$ ($\Omega_r = 0$) $t_0 = \dfrac{2}{3H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}}\,\mathrm{arsinh}\sqrt{\Omega_\Lambda/\Omega_m}$ y evalúala para $H_0 = 70$, $\Omega_m = 0.3$ y para Planck 2018.

3. Cicloide. Verifica que la solución paramétrica de la sección 5 satisface $(da/dt)^2 = H_0^2(\Omega_m/a + 1 - \Omega_m)$ y deduce la vida total $t_{\rm tot} = \pi\Omega_m/[H_0(\Omega_m - 1)^{3/2}]$. Evalúala para $\Omega_m = 3$ y $H_0 = 67.66$ y compárala con vidaTotal en el simulador.

4. (Demostración) Milne. Demuestra que en el universo de Milne $D_L = D_H\,z(1 + z/2)$.

5. (Demostración) Rebote. Para $\Omega_m = \Omega_r = 0$, demuestra que hay rebote si y solo si $\Omega_\Lambda > 1$, con $a_{\min} = \sqrt{(\Omega_\Lambda - 1)/\Omega_\Lambda}$. Explica por qué la observación de cuásares a $z > 2$ excluye $\Omega_\Lambda > 9/8$ en esa familia.

6. (Computacional) Orden de convergencia. El paso de evolucionar es $h = \eta/s$. Mide el error del instante del Big Bang obtenido por RK4 frente a la integral edadUniverso para $\eta = 0.016, 0.008, 0.004$ en el modelo de Planck y comprueba la convergencia de orden 4. ¿Por qué cerca del Big Bang el paso adaptado no destruye ese orden?

import { PLANCK18 } from '@/lib/math/cosmology';
import { edadUniverso, evolucionar } from '@/lib/math/friedmann';
const t0 = edadUniverso(PLANCK18);
for (const eta of [0.016, 0.008, 0.004]) {
  const ev = evolucionar(PLANCK18, { eta });
  console.log(eta, Math.abs(-ev.bigBang! - t0) / t0);
}

7. Destino y aceleración. Con fronteraRecolapso y fronteraRebote, dibuja en el plano $(\Omega_m, \Omega_\Lambda)$ las regiones de recolapso, rebote y expansión eterna, la recta $q_0 = 0$ y la recta plana $\Omega_m + \Omega_\Lambda = 1$. Sitúa Planck 2018 y los contornos aproximados de Perlmutter et al. (1999), $0.8\Omega_m - 0.6\Omega_\Lambda \approx -0.2 \pm 0.1$. ¿Qué combinación de datos fija la posición a lo largo de la recta de Perlmutter?

Lecturas

• Ryden, B. (2017). Introduction to Cosmology, 2.ª ed., caps. 3–6: métrica, dinámica, modelos de una y varias componentes, medidas.
• Weinberg, S. (2008). Cosmology, cap. 1: derivación relativista completa de las ecuaciones de Friedmann y de las distancias.
• Carroll, Press & Turner (1992), ARA&A 30, 499: el plano $(\Omega_m, \Omega_\Lambda)$ y las fronteras analíticas que usa la librería.
• Hogg (1999), arXiv:astro-ph/9905116: distancias; Planck Collaboration (2020), A&A 641, A6: parámetros.
• Hairer, E., Lubich, C. & Wanner, G. (2006). Geometric Numerical Integration, cap. II: orden y control de paso en RK4.