Boltzmann sin colisiones, ecuaciones de Jeans y teorema del virial

1. Motivación: pesar lo que no se ve

En 1933 Fritz Zwicky observó que las ocho galaxias del cúmulo de Coma cuyas velocidades habían medido Hubble y Humason diferían entre sí en más de 2000 km/s. Aplicando el teorema del virial —una relación entre la energía cinética y la potencial de un sistema en equilibrio— calculó cuánta masa haría falta para retener galaxias tan rápidas: cientos de veces más de la que sugería su luz. «Si esto se confirmara», escribió, «obtendríamos el sorprendente resultado de que la materia oscura está presente en mucha mayor cantidad que la materia luminosa».

Esta lección construye las herramientas que convierten velocidades en masas: la ecuación de Boltzmann sin colisiones, sus momentos (las ecuaciones de Jeans, con las que Eilers et al. obtuvieron la curva de rotación de la lección 2) y el teorema del virial. Primero justificamos la hipótesis clave: que las estrellas y las galaxias no chocan.

2. ¿Por qué «sin colisiones»? El tiempo de relajación

2.1 Un encuentro

Una estrella de masa $m$ pasa a distancia $b$ (parámetro de impacto) de otra, con velocidad relativa $v$. Si la desviación es pequeña, la fuerza perpendicular $F_\perp = Gm^2 b/(b^2+x^2)^{3/2}$, con $x = vt$, integrada en el tiempo da el cambio de velocidad perpendicular

2.2 Acumulación de encuentros

Al cruzar una vez un sistema de $N$ estrellas y radio $R$, la estrella sufre $\delta n = (N/\pi R^2)\,2\pi b\,db$ encuentros con parámetro entre $b$ y $b+db$. Las desviaciones tienen dirección aleatoria, así que se suman los cuadrados:

con $b_{\max}\approx R$ y $b_{\min}\approx Gm/v^2$ (donde la desviación deja de ser pequeña). $\ln\Lambda$ es el logaritmo de Coulomb. Como la velocidad típica cumple $v^2\approx GNm/R$ (virial), $b_{\max}/b_{\min}\approx N$ y $\ln\Lambda\approx\ln N$; entonces

2.3 Tiempo de relajación

El número de cruces necesarios para que $\Delta v_\perp^2\sim v^2$ es $n_{\rm relax} = N/(8\ln N)$, y con $t_{\rm cross} = R/v$:

(Binney & Tremaine §1.2.1, ec. 1.38). La función tiempoRelajacion(N, R, v) de src/lib/math/galaxias.ts la evalúa. Comparemos con la edad del universo, $13.8\times10^9$ años:

En una galaxia, $t_{\rm relax}$ supera la edad del universo en seis órdenes de magnitud: las estrellas se mueven en el potencial medio $\Phi(\mathbf x,t)$ y los encuentros son irrelevantes. Es la hipótesis sin colisiones. En un cúmulo globular, en cambio, los encuentros sí redistribuyen energía (segregación de masas, colapso del núcleo): se necesita la ecuación de Fokker–Planck.

3. La ecuación de Boltzmann sin colisiones

3.1 Función de distribución y teorema de Liouville

Describimos el sistema por su función de distribución $f(\mathbf x,\mathbf v,t)$: el número (o la masa) de estrellas en el elemento $d^3x\,d^3v$ del espacio de fases. Cada estrella sigue las ecuaciones de Hamilton $\dot{\mathbf x} = \mathbf v$, $\dot{\mathbf v} = -\nabla\Phi$. El flujo hamiltoniano conserva el volumen del espacio de fases (teorema de Liouville): la divergencia del campo de velocidades en seis dimensiones es $\partial_{\mathbf x}\cdot\mathbf v + \partial_{\mathbf v}\cdot(-\nabla\Phi) = 0$, porque $\mathbf v$ no depende de $\mathbf x$ y $\nabla\Phi$ no depende de $\mathbf v$. Sin colisiones, ninguna estrella entra ni sale de un elemento de fase que se mueve con el flujo, de modo que $f$ es constante a lo largo de las trayectorias:

Esta es la ecuación de Boltzmann sin colisiones (EBC; Binney & Tremaine §4.1), o ecuación de Vlasov. Junto con Poisson, $\nabla^2\Phi = 4\pi G\int f\,d^3v$, forma un sistema cerrado y no lineal.

3.2 Teorema de Jeans

Si $I(\mathbf x,\mathbf v)$ es una integral del movimiento ($dI/dt = 0$ en cada órbita), cualquier $f = f(I_1,I_2,\dots)$ satisface la EBC estacionaria. En un potencial esférico estático, $f = f(E, \mathbf L)$ con $E = \tfrac12v^2+\Phi$; si además es isótropa, $f = f(E)$. Para la esfera isoterma de la lección 1, $f\propto\exp(-E/\sigma^2)$, de donde $\rho\propto\exp(-\Phi/\sigma^2)$.

4. Momentos: las ecuaciones de Jeans

Rara vez conocemos $f$; sí conocemos sus momentos: la densidad numérica $\nu = \int f\,d^3v$, la velocidad media $\bar v_i = \nu^{-1}\int fv_i\,d^3v$ y el tensor de dispersión $\sigma_{ij}^2 = \overline{v_iv_j}-\bar v_i\bar v_j$. Integrando la EBC sobre las velocidades (el término en $\partial f/\partial\mathbf v$ se integra por partes y se anula porque $f\to0$ cuando $|\mathbf v|\to\infty$):

Multiplicando la EBC por $v_j$ e integrando (de nuevo por partes en el último término, que da $\nu\,\partial\Phi/\partial x_j$):

Restando $\bar v_j$ por la ecuación de continuidad y escribiendo $\overline{v_iv_j} = \bar v_i\bar v_j + \sigma_{ij}^2$:

Son las ecuaciones de Jeans (1915): la ecuación de Euler de un fluido cuya «presión» es el tensor $\nu\sigma_{ij}^2$, anisótropo en general. No están cerradas (aparece el momento siguiente); hay que suponer algo sobre la anisotropía.

4.1 Forma esférica y estacionaria

En coordenadas esféricas, sin rotación neta y con $\sigma_\theta = \sigma_\phi$, definiendo el parámetro de anisotropía $\beta\equiv 1-\sigma_\theta^2/\sigma_r^2$:

Despejando, la masa dinámica es

Así se pesan las galaxias elípticas y los cúmulos a partir de perfiles de densidad y de dispersión; la degeneración masa–anisotropía ($\beta$ desconocida) es la limitación principal.

4.2 Forma axisimétrica: la deriva asimétrica

Para un disco, la componente radial de Jeans en coordenadas cilíndricas $(R,\phi,z)$, estacionaria, es

Con $v_c^2 = R\,\partial\Phi/\partial R$ y $\overline{v_\phi^2} = \bar v_\phi^2+\sigma_\phi^2$ se obtiene

La diferencia $v_c - \bar v_\phi$ es la deriva asimétrica: las estrellas, por tener dispersión, rotan más despacio que la velocidad circular. Eilers et al. (2019) aplican exactamente esta ecuación a las gigantes rojas (con $\nu\propto e^{-R/R_d}$ y un perfil de $\sigma_R$) para pasar de $\bar v_\phi$ medido a $v_c(R)$; la corrección es de unos pocos km/s a 10 km/s, y su incertidumbre domina el error sistemático del 2–5 %.

5. El teorema del virial

5.1 Tensor virial

Multiplicamos la ecuación de Jeans en forma de momento (la segunda de §4) por $x_k$, integramos sobre todo el espacio e integramos por partes:

donde $K_{jk} = \tfrac12\int\nu\overline{v_jv_k}\,d^3x$ es el tensor de energía cinética (ordenada + aleatoria) y $W_{jk} = -\int\nu x_k\,\partial_j\Phi\,d^3x$ el tensor de energía potencial (Chandrasekhar). El miembro izquierdo es $\tfrac12\,d^2I_{jk}/dt^2$ con $I_{jk} = \int\nu x_jx_k\,d^3x$ el tensor de inercia. Tomando la traza:

5.2 Forma escalar y promedio temporal

Para un sistema estacionario (o promediando en un tiempo largo frente a $t_{\rm cross}$, de modo que $\langle\ddot I\rangle\to0$):

el teorema del virial escalar. Con $K = \tfrac12M\langle v^2\rangle$ y $W = -\alpha\,GM^2/R$, donde $\alpha$ es un número de orden unidad que depende del perfil ($\alpha = 3/5$ para la esfera homogénea, $3\pi/32$ para Plummer con $R = b$, $1/6$ para Hernquist con $R = a$):

Solo medimos la componente de velocidad en la visual; si la distribución es isótropa, $\langle v^2\rangle = 3\sigma_{\rm los}^2$. Con $\alpha\approx1$ se obtiene el estimador $M\approx3\sigma_{\rm los}^2R/G$ (masaVirial en galaxias.ts); el coeficiente exacto depende del perfil y de cómo se defina $R$, lo que introduce factores de ~2.

La energía total es $E = K + W = -K = W/2$: un sistema autogravitante tiene calor específico negativo: si pierde energía, $K$ aumenta y se «calienta». Esta es la raíz de la inestabilidad gravotérmica de los cúmulos globulares.

6. Zwicky y el cúmulo de Coma

6.1 El argumento de 1933

Zwicky (1933, Helv. Phys. Acta 6, 110) usó los corrimientos al rojo de Hubble y Humason (1931) de ocho galaxias de Coma, con dispersión en la visual $\sim1000$ km/s. Estimó la masa luminosa como 800 galaxias de $10^9\,M_\odot$ (la masa típica según Hubble) y el tamaño en $10^6$ años luz. Con el virial, la dispersión esperada para esa masa es

es decir, los $80$ km/s que él obtuvo, frente a los $1000$ km/s observados. Como $M\propto\sigma^2$, la masa necesaria es $(1000/80)^2\approx160$ veces mayor que la luminosa (Zwicky cita un factor 400 con sus hipótesis sobre la luminosidad). De ahí su conclusión sobre la «dunkle Materie».

6.2 La versión de 1937 y la corrección de Hubble

En ApJ 86, 217 (1937), Zwicky refinó el cálculo: 1000 galaxias en un radio de $2\times10^6$ años luz, dispersión de 700 km/s (excluyendo una galaxia a 5100 km/s como posible intrusa), lo que da un límite inferior de $4.5\times10^{13}\,M_\odot$ para la masa del cúmulo, $4.5\times10^{10}\,M_\odot$ por galaxia, y, con una luminosidad media de $8.5\times10^7\,L_\odot$, un cociente masa–luminosidad $M/L\approx500$.

Todo ello con la constante de Hubble de entonces, $H_0 = 558$ km/s/Mpc. Las distancias escalan como $1/H_0$, las masas viriales como $R\propto1/H_0$ y las luminosidades como $D^2\propto1/H_0^2$, de modo que $M/L\propto H_0$: con $H_0 = 67$–$70$ km/s/Mpc el cociente de Zwicky se reduce en un factor $\approx8$, hasta $M/L\sim60$. Sigue siendo mucho mayor que el de las poblaciones estelares ($M/L\sim3$–$10$ en unidades solares): la conclusión sobrevive a la corrección (Bertone & Hooper 2018, §III.A).

6.3 Coma hoy

Colless y Dunn (1996), con 465 velocidades, midieron para el cúmulo principal (centrado en NGC 4874) $\bar v = 6853$ km/s ($z = 0.0229$) y $\sigma = 1082$ km/s, con una masa virial de $0.9\times10^{15}\,h^{-1}\,M_\odot$ ($1.3\times10^{15}\,M_\odot$ con $h = 0.7$), consistente con las estimaciones por rayos X. La masa en estrellas es del orden del 2–3 % y el gas caliente intracumular, visible en rayos X, aporta otro 10–15 %: más del 80 % de la masa de Coma es materia oscura. Nuestro estimador con $\sigma = 1082$ km/s y $R = 1.5$ Mpc da $3\sigma^2R/G = 1.2\times10^{15}\,M_\odot$.

El tiempo de cruce de Coma es $R/\sigma = 1.5$ Gyr, una décima de la edad del universo: el cúmulo ha tenido tiempo de virializarse en su núcleo, pero la subestructura (el grupo de NGC 4839 que Colless y Dunn detectan a 40′ del centro) advierte de que $\ddot I\neq0$ exactamente.

7. Análisis de error en masas viriales

• Anisotropía. Si $\beta\neq0$, $\langle v^2\rangle\neq3\sigma_{\rm los}^2$; con órbitas radiales ($\beta\to1$) se sobreestima la masa.
• Intrusos y subestructura. Una galaxia de fondo a 5100 km/s inflaría $\sigma$; Zwicky ya la excluyó. Los estimadores robustos (biweight) reducen el sesgo.
• El coeficiente $\alpha$. Entre perfiles razonables varía en un factor 2; el radio adecuado (armónico, de media masa, virial) también. Por eso las masas viriales llevan incertidumbres de ~30 %.
• Número de galaxias. El error estadístico de $\sigma$ con $N$ velocidades es $\sigma/\sqrt{2N}$: con $N = 8$ (Zwicky 1933), 25 %; con $N = 465$ (Colless & Dunn), 3 %.

8. Simulador

En el simulador n-cuerpos (lección de métodos numéricos) puedes comprobar el teorema del virial: con una configuración de muchos cuerpos, registra $2K+W$ a lo largo del tiempo y verifica que oscila alrededor de cero una vez el sistema se ha relajado violentamente (unos pocos $t_{\rm cross}$), aunque $K$ y $W$ por separado fluctúen. Con $N$ pequeño, observa cómo los encuentros cercanos transfieren energía: es la relajación de dos cuerpos de §2, aquí con $N\sim10$ y por tanto $t_{\rm relax}\sim t_{\rm cross}$.

9. Problemas

1. Desviación en un encuentro (demostración). Completa la integral de §2.1 y demuestra que $\delta v_\perp = 2Gm/(bv)$ en la aproximación impulsiva.

2. Tiempos de relajación. Reproduce la tabla de §2.3 con tiempoRelajacion y añade el núcleo de una galaxia elíptica ($N = 10^9$, $R = 100$ pc, $v = 300$ km/s). ¿Es colisional?

3. Momento de orden uno (demostración). Partiendo de la EBC, deriva con detalle la segunda ecuación de §4, indicando dónde se usa la integración por partes y por qué el término de superficie se anula.

4. Virial y calor específico negativo. Demuestra que para un sistema virializado $E = -K$ y explica por qué, si un cúmulo globular pierde energía por evaporación de estrellas, su núcleo se contrae y se calienta.

5. Coma con cifras de Zwicky. Reproduce el cálculo de §6.1: a partir de $M = 800\times10^9\,M_\odot$ y $R = 10^6$ años luz obtén $\sigma_{\rm esperada}$; luego, con $\sigma_{\rm obs} = 1000$ km/s, la masa virial. Repite con $H_0 = 70$ km/s/Mpc en lugar de 558 y discute qué cambia.

6. Computacional: virial en N cuerpos. Con un integrador leapfrog (lección de métodos numéricos), genera $N = 200$ partículas con posiciones de Plummer y velocidades isótropas con $\langle v^2\rangle = -W/M$ (equilibrio virial). Integra 10 $t_{\rm cross}$ y representa $2K+W$ y el cociente virial $-2K/W$. Repite con velocidades iniciales el doble: ¿qué ocurre con $\ddot I$?

import numpy as np
G=1; N=200; M=1; b=1
# posiciones de Plummer por inversión de M(r)/M = u
u=np.random.rand(N); r=b/np.sqrt(u**(-2/3)-1)
th=np.arccos(2*np.random.rand(N)-1); ph=2*np.pi*np.random.rand(N)
x=np.c_[r*np.sin(th)*np.cos(ph), r*np.sin(th)*np.sin(ph), r*np.cos(th)]
W=-3*np.pi*G*M*M/(32*b); s=np.sqrt(-W/(3*M))   # dispersión 1D virial
v=np.random.normal(0,s,(N,3)); m=np.full(N,M/N)
def energia(x,v):
    K=0.5*(m[:,None]*v**2).sum()
    d=x[:,None,:]-x[None,:,:]; rr=np.sqrt((d**2).sum(-1)+1e-4)
    W=-0.5*G*(m[:,None]*m[None,:]/rr)[~np.eye(N,dtype=bool)].sum()
    return K,W

7. Deriva asimétrica. En el radio solar, las gigantes de Eilers et al. tienen $\sigma_R\approx 35$ km/s, $\partial\ln\nu/\partial\ln R = -R/R_d = -3.2$ y $\partial\ln\sigma_R^2/\partial\ln R\approx-R/R_\sigma\cdot2\approx-1.4$, con $\sigma_\phi^2\approx\sigma_R^2/2$. Estima $v_c-\bar v_\phi$ si $v_c = 229$ km/s (ignora el término cruzado $\overline{v_Rv_z}$).

10. Autoevaluación

11. Lecturas

• Binney & Tremaine (2008), Galactic Dynamics, §1.2 (relajación, ec. 1.38), §4.1 (EBC), §4.2 (teorema de Jeans), §4.8 (ecuaciones de Jeans, deriva asimétrica, tensor virial), cap. 7 (teoría cinética: relajación de dos cuerpos en detalle).
• Sparke & Gallagher (2007), cap. 3 (§3.2 relajación de dos cuerpos; §3.4 ecuación de Boltzmann sin colisiones y ecuaciones de Jeans) y §7.2 (cúmulos ricos, masas viriales).
• Jeans (1915), MNRAS 76, 70. Zwicky (1933), Helv. Phys. Acta 6, 110 (traducción en Gen. Relativ. Gravit. 41, 207, 2009); Zwicky (1937), ApJ 86, 217, doi:10.1086/143864.
• Colless & Dunn (1996), ApJ 458, 435, arXiv:astro-ph/9508070.
• Bertone & Hooper (2018), Rev. Mod. Phys. 90, 045002, §III.A, para la historia con cifras.
• Chandrasekhar (1942), Principles of Stellar Dynamics, cap. 2, para la teoría de encuentros.