Diseña una misión a Marte

Fases del proyecto

A partir de El problema de dos cuerpos, demuestra la ecuación vis-viva $v^2 = \mu\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)$ y las expresiones de la energía y el momento angular específicos.
Implementa funciones vCircular(mu, r), vVisViva(mu, r, a) y periodo(mu, a) con pruebas unitarias: la Tierra a 1 UA debe dar 29,785 km/s y 365,25 d (con $\mu_\odot$ de JPL).
Convierte estado ↔ elementos orbitales (lección 2) y comprueba la ida y vuelta con tolerancia $10^{-10}$ .

Deriva $\Delta v_1 = \sqrt{\mu/r_1}\left(\sqrt{2r_2/(r_1+r_2)} - 1\right)$ , $\Delta v_2 = \sqrt{\mu/r_2}\left(1 - \sqrt{2r_1/(r_1+r_2)}\right)$ y $t_t = \pi\sqrt{a_t^3/\mu}$ con $a_t = (r_1 + r_2)/2$ .
Calcula los valores Tierra–Marte y verifícalos contra la tabla de la lección 6: $\Delta v_1 = 2{,}945$ , $\Delta v_2 = 2{,}649$ km/s, $t_t = 258{,}9$ d. Las pruebas deben pasar con tolerancia de 1 m/s y 0,1 d.
Demuestra que Hohmann es la transferencia de dos impulsos de mínimo $\Delta v$ entre órbitas circulares coplanarias cuando $r_2/r_1 < 11{,}94$ , y calcula la bielíptica para comparar.
Grafica la trayectoria heliocéntrica (Tierra, Marte y elipse de transferencia) con el simulador Órbita kepleriana y con tu código.

Ángulo de fase a la salida: $\gamma = 180° - n_2 t_t$ , con $n_2 = 360°/686{,}98$ d. Verifica $\gamma = 44{,}3°$ .
Periodo sinódico: $1/S = 1/T_\oplus - 1/T_{\text{Marte}}$ , $S = 779{,}9$ d. Tiempo de espera para el regreso: 454 d; misión completa 972 d.
Con las efemérides aproximadas de JPL (o Horizons), calcula las longitudes heliocéntricas de la Tierra y Marte día a día desde hoy y encuentra la próxima fecha en que la diferencia de longitudes vale $\gamma$ : esa es tu ventana (con el modelo circular coplanar). Indica la incertidumbre: la fase cambia $0{,}46°$ /día, así que $\pm 5°$ de tolerancia son unas dos semanas.
Compara tu fecha con las ventanas históricas (cada 26 meses: 2020, 2022, 2024, 2026…) y discute la diferencia.

Escape desde LEO de 300 km: $v_\infty = \Delta v_1$ , $v_p = \sqrt{v_\infty^2 + 2\mu_\oplus/r_p}$ , $\Delta v_{\text{esc}} = v_p - v_c$ . Verifica 3,590 km/s.
Captura en órbita circular a 300 km de Marte con $v_\infty = \Delta v_2$ : verifica 2,091 km/s. Presupuesto total LEO → LMO: 5,68 km/s.
Efecto Oberth: demuestra que $\Delta v = \sqrt{v^2 + 2\Delta\varepsilon} - v$ decrece con $v$ y cuantifícalo para encender en perigeo frente a apogeo de una GTO.
Esferas de influencia: $r_{\text{SOI}} = a\,(m/M)^{2/5}$ ; calcula las de la Tierra (≈ 0,93 millones de km) y Marte (≈ 0,58 millones de km) y discute el error de ignorar la gravedad solar dentro de ellas.

Excentricidad de Marte: repite Hohmann con $r_2$ entre 1,381 y 1,666 UA (perihelio y afelio). Rango de $\Delta v$ y $t_t$ .
Inclinación: $\Delta v_{\text{plano}} = 2v\sin(i/2)$ para $i = 1{,}85°$ hecho en el peor punto (≈ 0,8 km/s) y en el nodo de la transferencia; discute la estrategia de reparto.
Retraso de salida: la fase cambia $0{,}46°$ /día; estima el coste en $\Delta v$ para 10 y 30 días de retraso resolviendo la transferencia con el ángulo de fase real (dos impulsos no tangenciales) o, si avanzas más, con el problema de Lambert.
Resume en una tabla: hipótesis, valor ideal, rango realista, fuente del error.

Informe con: derivaciones, tabla de resultados con comparación a la lección, ventana de lanzamiento con fecha y tolerancia, figuras, sensibilidad, conclusiones y limitaciones.
Código reproducible con pruebas (npm test o pytest) que fallan si un valor se aleja de la referencia.
Defensa oral de 10 minutos: el jurado cambia una hipótesis (otra órbita de aparcamiento, otro planeta) y el estudiante recalcula en vivo.

Vis-viva: $v^2 = \mu(2/r - 1/a)$ . Energía específica: $\varepsilon = -\mu/(2a)$ .
Hohmann: $a_t = (r_1 + r_2)/2$ ; $\Delta v_1 = v_{t1} - v_{c1}$ , $\Delta v_2 = v_{c2} - v_{t2}$ ; $t_t = \pi\sqrt{a_t^3/\mu}$ .
Hipérbola de escape: $\varepsilon = v_\infty^2/2$ ; $v_p = \sqrt{v_\infty^2 + 2\mu/r_p}$ ; $C_3 = v_\infty^2$ .
Ángulo de fase y sinódico: $\gamma = \pi - n_2 t_t$ ; $S = T_1T_2/(T_2 - T_1)$ .
Propagación de errores: para $f(x_1,\dots,x_n)$ , $\sigma_f^2 = \sum (\partial f/\partial x_i)^2\sigma_i^2$ ; aplícala a $\Delta v_1(r_2)$ .

Criterio	Insuficiente	Suficiente	Notable	Sobresaliente
Derivaciones	Fórmulas sin deducción	Hohmann y vis-viva deducidas correctamente	Incluye la demostración de optimalidad y la bielíptica	Añade Oberth y la discusión de cónicas empalmadas con su error
Cálculo y verificación	Valores sin contraste	Valores coinciden con la referencia dentro de tolerancia	Pruebas automáticas reproducibles	Pruebas y validación con efemérides reales (Horizons)
Ventana de lanzamiento	No la determina	Fecha con el modelo circular coplanar	Fecha con tolerancia y comparación histórica	Resuelve Lambert o dos impulsos no tangenciales para fechas cercanas
Análisis de error e informe	Sin análisis	Tabla de hipótesis y rangos	Sensibilidad cuantificada ( $e$ , $i$ , retraso)	Informe de calidad publicable y defensa con recálculo en vivo

Asistencia gravitatoria: misión a Júpiter vía Marte o Venus; calcula el giro $\delta$ y el $\Delta v$ regalado (sección 6 de la lección).
Puntos de Lagrange: aparcamiento en L1 o L2 Sol–Tierra antes de partir (simulador y lección 3).
Diagrama porkchop: resolver el problema de Lambert sobre una malla de fechas de salida y llegada y graficar $C_3$ .
Propulsión: convertir $\Delta v$ en masa de propelente con la ecuación de Tsiolkovsky para un $I_{sp}$ dado.

El proyecto es computacional: compatible con lectores de pantalla y teclado; las figuras llevan descripción textual y tablas equivalentes.
Puede hacerse en parejas con reparto: derivaciones/pruebas y efemérides/figuras, intercambiando revisiones.
Se aceptan informes en LaTeX, Markdown o documento de texto; el código en el lenguaje que el estudiante domine.

Proyecto de escritorio, sin riesgos físicos.
Si se complementa con observación de Marte (oposiciones cada 26 meses), de noche y con instrumentos nunca apuntados al Sol; jamás mirar el Sol sin filtro certificado ISO 12312-2.