Tu propio integrador de N cuerpos

Fases del proyecto

Escribe el hamiltoniano $H = \sum_i \dfrac{p_i^2}{2m_i} - \sum_{i<j}\dfrac{G m_i m_j}{|\mathbf r_i - \mathbf r_j|}$ y deduce las ecuaciones de movimiento. Implementa aceleraciones(masas, posiciones) en $O(N^2)$ y verifica la tercera ley de Newton: $\sum_i m_i \mathbf a_i = 0$ a precisión de máquina.
Implementa energia, momentoLineal, momentoAngular y pruebas de que son nulas o constantes en configuraciones sencillas (dos masas iguales en reposo; centro de masas en el origen).
Elige unidades: $G = 1$ para los problemas de referencia; para el Sistema Solar, UA, años y masas solares ( $G = 4\pi^2$ ).

Implementa RK4 genérico para $\dot{\mathbf y} = \mathbf f(t, \mathbf y)$ con el estado $\mathbf y = (\mathbf r_1,\dots,\mathbf r_N,\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_N)$ (lección 2).
Prueba de convergencia con el problema de dos cuerpos circular ( $\mu = 1$ , $r = 1$ , $v = 1$ , $T = 2\pi$ ): error de posición tras un periodo para $h = T/50, T/100, T/200, T/400$ . La pendiente log–log debe ser ≈ 4.
Deriva de energía: integra 1 000 periodos con $h = T/100$ y grafica $\Delta E/E_0$ contra $t$ : crece de forma secular (lineal). Mide la pendiente.
Opcional: RK45 con paso adaptativo y tolerancia; compara el número de evaluaciones de $\mathbf f$ para el mismo error.

Implementa el leapfrog KDK: $\mathbf v_{1/2} = \mathbf v_0 + \tfrac h2\mathbf a_0$ ; $\mathbf r_1 = \mathbf r_0 + h\mathbf v_{1/2}$ ; $\mathbf v_1 = \mathbf v_{1/2} + \tfrac h2\mathbf a_1$ . Comprueba que es de segundo orden (pendiente ≈ 2) y reversible en el tiempo: integrar $n$ pasos con $h$ y $n$ con $-h$ devuelve el estado inicial a precisión de redondeo.
Deriva de energía a 1 000 periodos: $\Delta E/E_0$ oscila sin deriva secular. Explica el resultado con el hamiltoniano modificado $\tilde H = H + h^2 H_2 + \dots$ (lección 1).
Momento angular: demuestra que el leapfrog lo conserva exactamente para fuerzas centrales (a redondeo) y compruébalo; RK4 no.
Composición de Yoshida de cuarto orden a partir de tres leapfrogs; verifica el orden 4 y que sigue sin deriva de energía.

Figura en ocho: con las condiciones de Simó, integra un periodo $T = 6{,}3259$ con $h = T/6000$ y verifica que el estado vuelve al inicial con error $< 10^{-4}$ y que $E \approx -1{,}28714$ , $\mathbf L = 0$ . Grafica la trayectoria y compárala con el simulador N cuerpos.
Problema pitagórico de Burrau: integra hasta $t = 70$ con leapfrog de paso fijo y con RK4; observa los picos de $|\Delta E/E_0|$ en los encuentros cercanos y la expulsión de la masa 3 hacia $t \approx 59{,}4$ . Prueba $h = 10^{-3}, 10^{-4}, 10^{-5}$ : ¿cambia el instante de escape? ¿Es eso un fallo del integrador o una propiedad del sistema?
Añade un suavizado $\epsilon$ ( $|\mathbf r|^2 \to |\mathbf r|^2 + \epsilon^2$ ) y discute cuánto altera la física; alternativamente, implementa paso de tiempo variable por bloques.

Implementa el método de Benettin: integra dos trayectorias separadas $\delta_0 = 10^{-8}$ , renormaliza cada $\tau$ y acumula $\ln(\delta/\delta_0)$ . Estima $\lambda$ para Burrau en $[0, 20]$ (la lección reporta $\lambda \approx 1$ con $h = 10^{-4}$ ) y para la órbita circular de dos cuerpos (debería tender a 0 como $\ln t / t$ ).
Grafica $\ln\delta(t)$ para la figura en ocho con una perturbación de $10^{-6}$ : crecimiento lento (estabilidad lineal de Simó) frente al crecimiento exponencial de Burrau.
Discute por qué el exponente a tiempo finito depende de $h$ , de $\delta_0$ y de $\tau$ , y cómo reportarlo honestamente.

Informe con: ecuaciones, descripción de los métodos, gráficas de convergencia (pendientes medidas), deriva de energía y momento angular, figura en ocho y Burrau, Lyapunov, y una tabla de costo computacional (evaluaciones de fuerza por unidad de error).
Compara tu implementación con src/lib/math/nbody.ts del portal: ejecuta tus pruebas contra ambas y documenta las diferencias (si encuentras un error en el portal, repórtalo con un caso mínimo).
Presentación de 10 minutos con una demostración en vivo: el jurado elige $h$ y el estudiante muestra la deriva de energía de cada método.

Ecuaciones de Hamilton: $\dot{\mathbf r}_i = \partial H/\partial\mathbf p_i$ , $\dot{\mathbf p}_i = -\partial H/\partial\mathbf r_i$ .
Orden de un método: error global $\sim h^p$ ; se mide con la pendiente de $\log(\text{error})$ contra $\log h$ .
Simplecticidad: el leapfrog preserva la 2-forma $\sum d\mathbf r_i \wedge d\mathbf p_i$ ; por el análisis hacia atrás resuelve exactamente un hamiltoniano modificado $\tilde H$ cercano a $H$ , lo que acota $\Delta E$ durante tiempos exponencialmente largos en $1/h$ .
Momento angular en leapfrog: $\mathbf L_{n+1} - \mathbf L_n = \tfrac h2\,\mathbf r_{n+1}\times\mathbf a_{n+1} + \dots = 0$ para fuerzas centrales porque $\mathbf r \times \mathbf a = 0$ .
Lyapunov: $\lambda = \lim_{t\to\infty} \dfrac1t \ln\dfrac{|\delta(t)|}{|\delta_0|}$ ; en la práctica, promedio de renormalizaciones de Benettin.

Criterio	Insuficiente	Suficiente	Notable	Sobresaliente
Implementación y pruebas	Código sin pruebas o incorrecto	RK4 y leapfrog correctos con pruebas de conservación	Pruebas de orden, reversibilidad y referencias (ocho, Burrau)	Biblioteca documentada, Yoshida o paso adaptativo, comparación con el portal
Análisis numérico	Sin medición de orden	Pendientes de convergencia medidas	Explicación de la deriva con el hamiltoniano modificado	Discute costo computacional y límites de la regularización
Caos	No estima $\lambda$	Benettin implementado; $\lambda$ para Burrau	Compara con dos cuerpos y la figura en ocho; discute la dependencia de parámetros	Analiza el instante de escape de Burrau frente a $h$ y lo interpreta
Informe y presentación	Incompleto	Completo con gráficas y conclusiones	Figuras de calidad, reproducible, código público	Demostración en vivo y crítica fundada del código de referencia

Barnes–Hut: árbol octal para $N \sim 10^4$ y comparación de error frente a $\theta$ (lección 3).
Sistema Solar real: condiciones iniciales de JPL Horizons para Sol + 8 planetas; integra 1 000 años con leapfrog y mide la deriva del perihelio de Mercurio (no relativista) y la energía.
Resonancias: sistema Sol–Júpiter–asteroide y la aparición de los huecos de Kirkwood (lección de resonancias).
Regularización KS: para encuentros cercanos en Burrau.

Proyecto computacional, compatible con lectores de pantalla y entrada por teclado; las figuras llevan descripción textual y tablas equivalentes.
En parejas, uno implementa RK4 y otro leapfrog con la misma interfaz, y luego se intercambian para revisar.
El lenguaje se elige libremente; se proporcionan esqueletos de pruebas en Python y TypeScript.

Proyecto de escritorio, sin riesgos físicos; pausas visuales en sesiones largas de programación.
Como en todo el portal: nunca mirar el Sol directamente ni con instrumentos sin filtro certificado ISO 12312-2.