La órbita de la Tierra con el método de Euler

El modelo

Para un planeta de masa despreciable alrededor del Sol, con $\mu = GM_\odot$,

En UA y años, $\mu = 4\pi^2 \approx 39{,}478$ UA³/año². La Tierra parte de $x_0 = 1$, $y_0 = 0$, $v_{x0} = 0$, $v_{y0} = 2\pi \approx 6{,}2832$ UA/año. Su energía por unidad de masa es $E = \tfrac12 v^2 - \mu/r = 2\pi^2 - 4\pi^2 = -2\pi^2 \approx -19{,}739$ UA²/año², y debería mantenerse constante.

Euler (paso $h$): $x_{n+1} = x_n + h\,v_{x,n}$, $v_{x,n+1} = v_{x,n} + h\,a_{x,n}$ (igual en $y$).

Euler–Cromer: primero $v_{x,n+1} = v_{x,n} + h\,a_{x,n}$, y luego $x_{n+1} = x_n + h\,v_{x,n+1}$: se usa la velocidad nueva para mover la posición.

Fases del proyecto

Semana 1 — De la derivada a la ecuación de movimiento

1. Con Velocidad, aceleración y derivadas escribimos $v = dx/dt$ y $a = dv/dt$ y las aproximamos con cocientes de diferencias: $v \approx \Delta x / \Delta t$.
2. Deducimos la aceleración gravitatoria por componentes a partir de $F = GMm/r^2$ dirigida hacia el Sol (lección Gravitación universal y satélites).
3. Verificamos las unidades: con $a = 1$ UA y $T = 1$ año, la tercera ley $T^2 = 4\pi^2 a^3/\mu$ da $\mu = 4\pi^2$.
4. Tres pasos a mano con $h = 0{,}1$ y Euler, en una tabla del cuaderno, como en la lección. Observamos que $r$ ya crece en el primer paso.

Semana 2 — Euler en la hoja de cálculo

1. Columnas: t, x, y, vx, vy, r, ax, ay, E. Fila 2: condiciones iniciales. Fila 3 en adelante: fórmulas de Euler referidas a la fila anterior; $h$ en una celda aparte (por ejemplo $B$1) para cambiarlo sin reescribir.
2. Con $h = 0{,}01$ (100 pasos por año) arrastramos 100 filas y graficamos y contra x (gráfico de dispersión con líneas). La órbita no cierra: es una espiral hacia afuera.
3. Graficamos E contra t: la energía sube de forma sostenida. Calculamos el error relativo tras una vuelta: $|r(1\ \text{año}) - 1|$ y $|E(1) - E(0)|/|E(0)|$.
4. Repetimos con $h = 0{,}1$, $0{,}05$, $0{,}01$, $0{,}001$ (hasta 1 000 filas). Tabla: $h$ frente a error. El error baja proporcionalmente a $h$: Euler es de primer orden. Para 1 % de error haría falta $h \approx 0{,}0016$ (unas 600 filas); para 0,001 %, un millón.

Semana 3 — Euler–Cromer

1. Duplicamos la hoja y cambiamos solo el orden: primero la velocidad, luego la posición con la velocidad nueva.
2. Con el mismo $h = 0{,}01$ la órbita cierra y la energía oscila alrededor de $-19{,}74$ sin deriva. Medimos el error de $r$ tras una vuelta y la amplitud de la oscilación de $E$.
3. Tabla y gráfica log–log de error contra $h$ para ambos métodos: la pendiente de la recta es el orden del método. Para Euler ≈ 1; para Euler–Cromer el error de posición también es ~$h$, pero la energía no deriva: esa es la diferencia que importa a largo plazo.
4. Meta de la insignia: encontrar el mayor $h$ con el que la órbita de Euler–Cromer cierra con menos de 1 % de error en $r$ tras una vuelta, y el mayor $h$ que lo logra con Euler. Comparar cuántas filas necesita cada uno.

Semana 4 — Marte y una órbita elíptica

1. Marte: $x_0 = 1{,}524$, $v_{y0} = 2\pi/\sqrt{1{,}524} \approx 5{,}09$ UA/año (velocidad circular). ¿Cuántos pasos hay que dar para completar una vuelta? Medimos el periodo en la hoja (cuando y vuelve a cruzar cero hacia arriba) y lo comparamos con la tercera ley: $T = 1{,}524^{3/2} \approx 1{,}88$ años.
2. Órbita elíptica: Tierra con $v_{y0} = 0{,}8 \times 2\pi$. Calculamos la excentricidad esperada con la energía y el momento angular y la comparamos con la que da la hoja ($e = (r_{\max} - r_{\min})/(r_{\max} + r_{\min})$).
3. Comprobamos con el simulador Órbita kepleriana (solución exacta) y, para ver integradores de orden superior, con N cuerpos.
4. Segunda ley de Kepler en la hoja: calculamos $L = x v_y - y v_x$ en cada fila: con Euler–Cromer se conserva mucho mejor.

Semana 5 — Informe

1. Informe de 3 a 4 páginas: modelo y unidades, métodos, gráficas (órbitas y energía), tabla de errores con la gráfica log–log, resultado de la meta de 1 %, Marte y la elipse, conclusiones.
2. Presentación de 5 minutos por pareja mostrando la hoja en vivo: cambian $h$ y el público ve cómo cambia la órbita.
3. Discusión final: ¿por qué un cambio tan pequeño en el orden de dos líneas (Euler → Euler–Cromer) cambia tanto el resultado? (Euler–Cromer es simpléctico: conserva el área en el espacio de fases; lo verán en la universidad.)

Matemáticas del proyecto

• Ecuación diferencial: $\ddot{\mathbf r} = -\mu\,\mathbf r/r^3$ es de segundo orden; se convierte en un sistema de primer orden con $\mathbf v = \dot{\mathbf r}$.
• Euler: $y_{n+1} = y_n + h\,f(y_n)$. Error local $\sim h^2$, error global tras $N = T/h$ pasos $\sim h$.
• Energía: $E = \tfrac12(v_x^2 + v_y^2) - \mu/r$. En Euler, en una órbita circular, cada paso multiplica $r$ por $\sqrt{1 + h^2 v^2/r^2}$: la energía crece ~$h^2$ por paso y ~$2\pi h$ por vuelta.
• Gráfica log–log: si error $= C h^{p}$, entonces $\log(\text{error}) = \log C + p \log h$: la pendiente es $p$.
• Tercera ley: $T^2 = 4\pi^2 a^3/\mu$; con $\mu = 4\pi^2$, $T = a^{3/2}$ (años, UA).

Rúbrica de evaluación

Variantes y extensiones

• Lenguaje de programación: reescribir la hoja en Python o JavaScript (20 líneas) y comparar con la hoja de cálculo; luego probar el método de Verlet o RK4 (la base del proyecto universitario Tu propio integrador de N cuerpos).
• Satélite terrestre: cambiar $\mu$ por $\mu_\oplus = 398\,600$ km³/s² y simular un satélite en órbita baja (unidades km y s).
• Dos planetas: añadir Júpiter como segundo cuerpo (sin interacción mutua primero, con ella después) y observar la perturbación sobre la Tierra.

Inclusión

• Las hojas de cálculo funcionan con lectores de pantalla; las gráficas se complementan con la tabla numérica leída en voz alta.
• Trabajo en parejas con roles: quien escribe las fórmulas y quien verifica a mano los tres primeros pasos; luego cambian.
• Plantilla con las columnas y la primera fila para quien necesite un andamio inicial; la meta de 1 % tiene niveles (5 %, 2 %, 1 %).

Seguridad

• Trabajo en sala de cómputo: pausas visuales cada 25 minutos y postura adecuada.
• Guardar la hoja con frecuencia y con nombre de versión (orbita-v1, orbita-v2).
• Como en todo el portal: nunca mirar el Sol directamente ni con instrumentos sin filtro certificado.