Triangular un cerro: de la base en el patio a la paralaje de Próxima

La idea en una línea

Desde los dos extremos $A$ y $B$ de una base de longitud $b$ medimos los ángulos $\alpha$ (en $A$) y $\beta$ (en $B$) entre la base y la dirección al objeto $P$. El tercer ángulo es $\gamma = 180° - \alpha - \beta$ y, por la ley de senos,

La paralaje estelar es el mismo triángulo con $b = 2$ UA (la órbita de la Tierra) y $\gamma = 2p$ minúsculo.

Fases del proyecto

Semana 1 — Trigonometría y el teodolito

1. Repasamos seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo y la ley de senos en un triángulo cualquiera (lección Paralaje y trigonometría).
2. Construimos el teodolito: transportador de 360° (o dos de 180°) pegado sobre una tabla horizontal; una mira (pitillo) gira sobre el centro. Para ángulos verticales, un segundo transportador en vertical con una plomada.
3. Calibración en el aula: medimos la distancia a la pared por triangulación con una base de 2 m y la comparamos con la cinta. Error típico: 5 a 10 %. Anotamos de dónde viene (lectura del ángulo a ±1°).
4. Elegimos el objetivo: la cima de un cerro, una torre o una antena visible desde el patio o la terraza, que aparezca en el mapa.

Semana 2 — La salida de medición

1. Trazamos la base $AB$ lo más larga y perpendicular a la dirección del objetivo que permita el patio (30 a 100 m). La medimos dos veces con la cinta.
2. En $A$: alineamos el cero del teodolito con la dirección a $B$ y leemos el ángulo $\alpha$ hacia el objetivo. En $B$: alineamos con $A$ y leemos $\beta$. Cada ángulo lo leen tres personas y se promedia.
3. Medimos también el ángulo de elevación $\varepsilon$ a la cima desde $A$ (con el transportador vertical y la plomada) y la altura del ojo del observador $h_0$.
4. Registramos todo en la hoja: $b$, $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon$, $h_0$, hora, condiciones, nombres.

Semana 3 — Cálculo, mapa y error

1. $\gamma = 180° - \alpha - \beta$; $AP = b \sin\beta / \sin\gamma$. Ejemplo: $b = 60$ m, $\alpha = 88{,}0°$, $\beta = 89{,}5°$ → $\gamma = 2{,}5°$, $AP = 60 \times \sin 89{,}5° / \sin 2{,}5° \approx 60 \times 0{,}99996 / 0{,}04362 \approx 1\,375$ m.
2. Altura del cerro sobre el patio: $h = AP \tan\varepsilon + h_0$. Con $\varepsilon = 12°$: $h \approx 1\,375 \times 0{,}2126 + 1{,}6 \approx 294$ m.
3. Comparar con el mapa: medimos $AP$ en el mapa con la escala (o con la herramienta de distancia) y, si hay curvas de nivel, la altura. Error porcentual.
4. Propagación del error: repetimos el cálculo con $\gamma \pm 1°$ (la incertidumbre del teodolito). Con $\gamma = 2{,}5°$, un grado es el 40 %: la distancia sale entre 985 m y 2 290 m. Conclusión: con ángulos pequeños, el error de $\gamma$ domina; conviene una base más larga o un instrumento más preciso. Discutimos cuál de los dos es más fácil de conseguir.

Semana 4 — De la base al pársec

1. La misma geometría en el cielo: la base es el diámetro de la órbita terrestre, $2$ UA, y el ángulo en la estrella es $2p$ (la paralaje $p$ es la mitad). Con $\tan p \approx p$ en radianes, $d = 1\ \text{UA}/p$.
2. Si $p$ se mide en segundos de arco, $d = 1/p$ pársecs. Para Próxima Centauri, $p = 0{,}768\,07''$: $d = 1/0{,}768\,07 = 1{,}302$ pc $= 4{,}25$ años luz. Comprobamos en el simulador Paralaje estelar y con la lección.
3. Comparar precisiones: nuestro teodolito lee $\pm 1° = \pm 3\,600''$; Gaia mide $\pm 0{,}000\,05''$: ¿cuántas veces mejor? ($7 \times 10^{7}$.) ¿A qué distancia máxima «vería» nuestro teodolito una paralaje, si la base fuera la órbita de la Tierra? ($d = 1\,\text{UA}/\tan 1° \approx 57$ UA: ni siquiera saldríamos del Sistema Solar.)
4. Informe final con las secciones: método, esquema, datos, cálculo con incertidumbre, comparación con el mapa, paralaje de Próxima y conclusiones.

Matemáticas del proyecto

• Ley de senos: en cualquier triángulo, $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$.
• Ángulo de elevación: $h = d\tan\varepsilon + h_0$, donde $d$ es la distancia horizontal.
• Ángulo pequeño: para $p$ en radianes, $\tan p = p + p^3/3 + \dots$; con $p = 1''= 4{,}85 \times 10^{-6}$ rad el error relativo de la aproximación es $p^2/3 \approx 10^{-11}$, despreciable.
• Pársec: $d\,[\text{pc}] = 1/p\,['']$. Un pársec es $206\,265$ UA porque un radián son $206\,265''$.
• Propagación del error: si $\gamma$ es pequeño, $AP \approx b\,\sin\beta/\gamma$ (en radianes), así que un error relativo en $\gamma$ produce el mismo error relativo en $AP$.

Rúbrica de evaluación

Variantes y extensiones

• Sin cerro visible: triangular una torre, un árbol alto o una edificación lejana; el método es el mismo.
• Dos bases: repetir con una base del doble de largo y comprobar que la incertidumbre se reduce.
• Kepler (unidad 2): con el simulador de Órbita kepleriana y la lección Las tres leyes de Kepler, discutir cómo la paralaje de las estrellas se combina con la tercera ley para medir masas de estrellas dobles.
• Paralaje de la Luna: dos colegios muy separados (1 000 km o más) fotografían la Luna frente a las estrellas al mismo instante; el desplazamiento aparente (≈ 0,15°) da la distancia Tierra–Luna.

Inclusión

• Los ángulos se leen en voz alta y se anotan en parejas; el teodolito puede llevar marcas en relieve cada 10°.
• La base puede medirse en un pasillo llano para estudiantes con movilidad reducida; el objetivo puede ser el extremo de un edificio visible desde la ventana.
• Los cálculos se reparten: quien resuelve con calculadora, quien dibuja a escala en papel milimetrado (los dos deben coincidir).

Seguridad

• Salida al patio o la terraza con supervisión; en terrazas, lejos de los bordes y con barandas.
• Nunca apuntar la mira del teodolito ni el celular hacia el Sol; elegir objetivos lejos de la dirección solar y usar sombrero.
• Las estacas se clavan con cuidado y se retiran al terminar.