Las tres leyes de Kepler

Johannes Kepler pasó años intentando encajar la órbita de Marte en círculos, usando las mejores observaciones de su época, las de Tycho Brahe. Lo mejor que consiguió fallaba por 8 minutos de arco, un cuarto del diámetro de la Luna. Otro habría culpado a las observaciones; Kepler confió en Tycho y abandonó el círculo. El resultado fueron tres leyes que describen cómo se mueven los planetas y que, un siglo después, Newton explicaría con una sola fuerza.

1. Cónicas: la elipse

Si cortas un cono con un plano obtienes una cónica: un círculo si el corte es horizontal, una elipse si está un poco inclinado, una parábola si es paralelo a la generatriz y una hipérbola si está aún más inclinado. Las órbitas cerradas son elipses.

Definición como lugar geométrico. Una elipse es el conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos $F_1$ y $F_2$, es constante e igual a $2a$. Si la cuerda de un jardinero mide $2a$ y sus extremos están clavados en los focos, el lápiz que la mantiene tensa dibuja una elipse.

Los elementos de la elipse:

• $a$: semieje mayor, la mitad del diámetro más largo;
• $b$: semieje menor, la mitad del diámetro más corto;
• $c$: distancia focal, del centro a cada foco;
• $e = c/a$: excentricidad, entre 0 (círculo, focos juntos en el centro) y 1 (elipse infinitamente alargada).

Por el teorema de Pitágoras aplicado al punto del extremo del eje menor (sus dos distancias a los focos valen $a$):

Con el centro en el origen y los focos sobre el eje $x$, la ecuación cartesiana es

La elipse de una órbita

1.ª ley de Kepler: cada planeta recorre una elipse con el Sol en uno de sus focos (el otro foco está vacío). Los puntos extremos tienen nombre: el perihelio, a distancia $r_p$ del Sol, y el afelio, a distancia $r_a$:

Medidos desde el Sol, con el ángulo $\nu$ (la anomalía verdadera) contado desde el perihelio, la distancia es

que vale $a(1-e)$ en $\nu = 0$ y $a(1+e)$ en $\nu = 180°$, como debe ser.

Ejemplo resuelto 1: la órbita de Marte. La NASA da perihelio $206.7 \times 10^{6}$ km y afelio $249.3 \times 10^{6}$ km. Sumando y restando las dos ecuaciones:

Ejemplo resuelto 2: el cometa Halley. Según el JPL, $a = 17.9$ UA y $e = 0.968$. Entonces $r_p = 17.9 \times 0.032 = 0.57$ UA (más cerca del Sol que Venus), $r_a = 17.9 \times 1.968 = 35.2$ UA (más allá de Neptuno) y $b = 17.9\sqrt{1 - 0.968^2} = 4.49$ UA: una elipse cuatro veces más larga que ancha.

Ejemplo resuelto 3: ¿y la Tierra? Con $e = 0.0167$, $b/a = \sqrt{1 - 0.0167^2} = 0.99986$: dibujada en una hoja, la órbita terrestre es indistinguible de un círculo. Lo que sí se nota es que el Sol no está en el centro: $c = ae = 0.0167\ \text{UA} \approx 2.5$ millones de km. Por eso en enero (perihelio) el disco del Sol se ve un 3.4 % más grande en diámetro que en julio (un 6.9 % en área).

2. Segunda ley: áreas iguales en tiempos iguales

2.ª ley: el segmento Sol–planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Cerca del Sol, el segmento es corto y el planeta tiene que avanzar más para barrer la misma área: va más rápido en el perihelio y más lento en el afelio.

Podemos ponerle números. En el perihelio y el afelio la velocidad es perpendicular al radio, y el área barrida en un tiempo corto $\Delta t$ es un triángulo delgado de base $v\,\Delta t$ y altura $r$: $\tfrac12 r v\,\Delta t$. Igualando las áreas en ambos puntos,

Ejemplo resuelto 4. Para la Tierra, $(1.0167)/(0.9833) = 1.034$: la NASA mide 30.29 km/s en el perihelio y 29.29 en el afelio, cociente 1.034. Para el cometa Halley, $1.968/0.032 = 61.5$: pasa por el perihelio 61 veces más rápido que por el afelio, donde se arrastra durante décadas.

3. Tercera ley: periodos, distancias y potencias

3.ª ley (1619): el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del semieje mayor,

Si medimos $T$ en años y $a$ en UA, la constante vale 1 (porque la Tierra tiene $T = 1$ y $a = 1$), y la ley se despeja con exponentes fraccionarios:

Recuerda qué significan: $a^{3/2} = \sqrt{a^3} = (\sqrt a)^3$ y $T^{2/3} = \sqrt[3]{T^2}$. En la calculadora: a ^ 1.5 y T ^ (2 ÷ 3).

Ejemplo resuelto 5. Júpiter: $a = 5.204$ UA, así que $T = 5.204^{1.5} = \sqrt{140.9} = 11.87$ años (observado: 11.86).

Ejemplo resuelto 6. Un cometa con periodo de 76 años tiene $a = 76^{2/3} = \sqrt[3]{5776} = 17.9$ UA. Es el Halley.

Comprobación con los ocho planetas

Con la distancia media y el periodo de la tabla de la NASA, convertidos a UA (÷149.6) y años (÷365.25):

Los cocientes valen 1 con un error de 1–2 %. Las pequeñas desviaciones de Saturno y Neptuno vienen del redondeo de la tabla y de que los planetas gigantes se perturban entre sí: la ley exacta es para dos cuerpos, y en la siguiente lección veremos que la «constante» es $4\pi^2/GM_\odot$.

Simulador: las tres leyes en acción

El simulador resuelve la órbita exacta. La zona sombreada es el área barrida en un mismo intervalo de tiempo.

1. Pon $e = 0.5$ y mira el área sombreada en el perihelio y en el afelio: su forma cambia (corta y ancha, larga y delgada), pero no su tamaño.
2. Lee $v$ en el perihelio y en el afelio y comprueba $v_p/v_a = (1+e)/(1-e) = 3$.
3. Pon $e = 0$ y mueve $a$: con $a = 2$ UA, $T$ debe ser $2^{1.5} = 2.83$ años; con $a = 4$ UA, $8$ años. Anota tres parejas $(a, T)$ y comprueba $T^2/a^3 = 1$.
4. Pon $a = 1$ y $e = 0.9$. ¿En qué parte de la órbita pasa el planeta la mayor parte del tiempo? Mide con un reloj cuánto tarda en recorrer la mitad cercana al Sol y la mitad lejana.

Actividad: elipses con cuerda y dos chinches

Materiales: cartón, hoja blanca, dos chinches (o alfileres), 30 cm de hilo que no se estire, lápiz, regla.

1. Clava los dos chinches a $2c = 12$ cm de distancia. Ata el hilo formando un lazo de longitud total $2a + 2c = 32$ cm (así la cuerda que va de un foco al lápiz y al otro foco mide $2a = 20$ cm).
2. Con el lápiz tensando el lazo, dibuja la curva completa.
3. Mide con la regla el semieje mayor $a$ y el semieje menor $b$. Comprueba $a^2 = b^2 + c^2$ (debería dar $10^2 = 8^2 + 6^2$) y calcula $e = c/a = 0.6$.
4. Repite con los chinches a 2 cm ($e = 0.1$, parecida a la de Marte) y casi pegados ($e \approx 0$, la Tierra).
5. Marca el Sol en un foco y señala perihelio y afelio.

Pregunta final: ¿qué distancia entre chinches necesitarías para dibujar el cometa Halley ($e = 0.968$) con $a = 10$ cm? ¿Qué ancho tendría la elipse?

Ejercicios

Básico

1. Con $a = 5.2$ UA, ¿cuánto dura el año de Júpiter? ¿Y el de Saturno, con $a = 9.57$ UA?

2. Mercurio: perihelio $46.0 \times 10^{6}$ km, afelio $69.8 \times 10^{6}$ km. Calcula $a$ (en km y en UA) y $e$.

3. Una órbita tiene $a = 1$ UA y $e = 0.5$. Calcula $r_p$, $r_a$ y $b$.

Medio

4. Un cometa tiene un periodo de 2 años. ¿Cuál es su semieje mayor? ¿Y si el periodo es de 1000 años?

5. Ajusta el simulador a $e = 0.9$. ¿En qué parte de la órbita pasa el planeta la mayor parte del tiempo? Justifica con la 2.ª ley y calcula $v_p/v_a$.

6. Escribe $17.9^{3/2}$ de tres formas distintas (raíz de un cubo, cubo de una raíz, potencia decimal) y calcula el resultado. ¿Coincide con el periodo del Halley (27 700 días)?

Reto

7. Para el Halley, calcula $r(\nu)$ en $\nu = 90°$ (el punto donde el cometa está «al lado» del Sol) y compáralo con $b^2/a$. ¿Qué fracción del semieje mayor es?

8. Pesar Júpiter. Newton demostró que para cualquier cuerpo central $T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}a^3$. La luna Io orbita Júpiter con $a = 421\,800$ km y $T = 1.769$ días. Calcula $GM_J$ en m³/s² y compáralo con el valor nominal $1.2669 \times 10^{17}$.

9. Deduce $v_p/v_a = (1+e)/(1-e)$ a partir de la ley de las áreas (sección 2) y úsalo para explicar por qué el verano del hemisferio norte (Tierra cerca del afelio) dura unos días más que el del hemisferio sur.

Recuerda

• Elipse: suma de distancias a los focos $= 2a$; $a^2 = b^2 + c^2$, $e = c/a$; $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$.
• 1.ª ley: el Sol en un foco; $r_p = a(1-e)$, $r_a = a(1+e)$.
• 2.ª ley: áreas iguales en tiempos iguales; $v_p/v_a = (1+e)/(1-e)$.
• 3.ª ley: $T^2/a^3$ = constante; en años y UA, $T = a^{3/2}$ y $a = T^{2/3}$.
• Kepler describe cómo; Newton explicará por qué con $T^2 = 4\pi^2 a^3/GM$.