La edad del universo con una recta

La idea en una línea

Si una galaxia a distancia $d$ se aleja con velocidad $v = H_0\,d$ y esa velocidad ha sido siempre la misma, entonces hace un tiempo $t = d / v = 1/H_0$ estaba aquí. Todas las galaxias dan el mismo $t$: es una estimación de la edad del universo. Con $H_0$ en km/s/Mpc,

Fases del proyecto

Semana 1 — Hubble 1929: la primera recta

1. Leemos en El universo se expande cómo Hubble midió distancias con cefeidas (gracias a Henrietta Leavitt) y velocidades con el corrimiento al rojo.
2. Copiamos la Tabla 1 de Hubble (24 galaxias) y las graficamos a mano en papel milimetrado: distancia en Mpc en el eje horizontal, velocidad en km/s en el vertical.
3. Ajuste a ojo: con un hilo tenso que pase por el origen buscamos la recta que deja tantos puntos arriba como abajo. Medimos su pendiente: $H_0 = \Delta v / \Delta d$. Suele salir entre 400 y 550 km/s/Mpc.
4. Calculamos la edad: $977{,}8 / 500 \approx 2$ mil millones de años. Problema: la Tierra tiene 4,54 mil millones de años. ¿Qué falló? (Las distancias de Hubble eran unas 7 veces demasiado cortas.)

Semana 2 — El Key Project: datos modernos

1. Tomamos la tabla de Freedman et al. (2001) de la lección: cúmulos de galaxias con distancias entre 10 y 100 Mpc y velocidades de miles de km/s.
2. Graficamos de nuevo. Ahora los puntos están mucho más alineados: a esas distancias, los movimientos propios de las galaxias (cientos de km/s) son pequeños frente a la expansión.
3. Recta por el origen: $H_0 = \dfrac{\sum d_i v_i}{\sum d_i^2}$. Con los datos de la lección sale $H_0 \approx 74{,}9$ km/s/Mpc.
4. Recta de mínimos cuadrados (pendiente e intercepto libres), en la hoja de cálculo con PENDIENTE, INTERSECCION.EJE y COEF.DE.CORREL (o SLOPE, INTERCEPT, CORREL): $m \approx 78{,}7$ km/s/Mpc, $b \approx -275$ km/s, $r \approx 0{,}99$. Discutimos por qué el intercepto debería ser 0 y qué significa que no lo sea.

Semana 3 — De H₀ a la edad del universo

1. Convertimos: con $H_0 = 75$ km/s/Mpc, $t = 977{,}8 / 75 \approx 13{,}0$ mil millones de años. Con $H_0 = 70$: $14{,}0$. Con el valor de Planck, $67{,}4$: $14{,}5$.
2. Incertidumbre: Freedman da $H_0 = 72 \pm 8$. Calculamos $t$ con 64 y con 80: entre 12,2 y 15,3 mil millones de años. La edad medida por Planck 2018 es $13{,}787 \pm 0{,}020$: está dentro de nuestro rango.
3. ¿Por qué $1/H_0$ no es exactamente la edad? Porque la expansión no fue siempre a la misma velocidad: la gravedad la frenó y la energía oscura la acelera. Exploramos con el simulador Expansión del universo: cambiamos $\Omega_m$ y $\Omega_\Lambda$ y vemos cómo cambia la edad para el mismo $H_0$.
4. La tensión de Hubble: Planck (67,4 ± 0,5) y las cefeidas actuales (73,0 ± 1,0; Riess et al. 2022) no coinciden. Discutimos qué significa que dos medidas precisas discrepen.

Semana 4 — El póster

1. Cada equipo prepara un póster científico (formato: título, pregunta, datos, gráfica con la recta y su ecuación, resultado con incertidumbre, comparación con Planck, conclusiones, referencias).
2. Sesión de pósteres: la mitad del curso presenta y la otra mitad pregunta; luego se intercambian.
3. Evaluación entre pares con la rúbrica, más la del docente.
4. Cierre: en una frase, ¿qué le diríamos a Hubble sobre su valor de 500?

Matemáticas del proyecto

• Función lineal: $v = H_0\,d$ es una recta por el origen con pendiente $H_0$. La pendiente tiene unidades: (km/s)/Mpc.
• Recta por el origen (mínimos cuadrados): $H_0 = \dfrac{\sum d_i v_i}{\sum d_i^2}$.
• Recta general: $m = \dfrac{n\sum d_i v_i - \sum d_i \sum v_i}{n\sum d_i^2 - (\sum d_i)^2}$, $b = \dfrac{\sum v_i - m\sum d_i}{n}$. El coeficiente de correlación $r$ mide cuán cerca de una recta están los puntos.
• Proporcionalidad inversa: $t = 1/H_0$: si $H_0$ se duplica, la edad se divide entre dos.
• Conversión: $\dfrac{1}{H_0} = \dfrac{3{,}0857 \times 10^{19}}{H_0}\ \text{s} = \dfrac{3{,}0857 \times 10^{19}}{H_0 \times 3{,}156 \times 10^{7}}\ \text{años} = \dfrac{9{,}778 \times 10^{11}}{H_0}\ \text{años}$.

Rúbrica de evaluación

Variantes y extensiones

• Datos propios de la red: descargar velocidades y distancias de galaxias de la base NED (ned.ipac.caltech.edu) y repetir el ajuste con 30 galaxias elegidas por el curso.
• Ley del inverso del cuadrado (unidad 1): estimar la distancia de una galaxia a partir de su brillo aparente y su luminosidad supuesta, con la lección Brillo y distancia, y discutir cómo se propaga ese error a $H_0$.
• Historia: la ficha de Henrietta Leavitt y las cefeidas: sin su relación periodo–luminosidad no hay distancias ni recta.

Inclusión

• La gráfica puede construirse con chinches e hilo sobre corcho para ajustar la recta al tacto; la pendiente se mide con una regla con relieve.
• La hoja de cálculo hace las sumas para quien tiene dificultades con el cálculo manual; el énfasis está en interpretar.
• Equipos con roles rotativos: graficador, calculista, redactor, presentador.
• El póster admite versión digital (diapositiva) o video para quien prefiera no exponer en público.

Seguridad

• Trabajo en aula y sala de cómputo; sin riesgos físicos particulares.
• Si el proyecto se complementa con una observación nocturna de la galaxia de Andrómeda (visible a simple vista en cielos oscuros de octubre a diciembre), siempre con un adulto.
• Como en todo el portal: nunca mirar el Sol directamente ni con instrumentos sin filtro certificado.