Brillo y distancia: la ley del inverso del cuadrado

Esta noche, mira dos estrellas: una brilla mucho y otra apenas se ve. ¿La brillante es más poderosa, o simplemente está más cerca? Para responder hay que separar dos ideas: cuánta luz emite una fuente y cuánta luz nos llega. La relación entre las dos es una de las leyes más útiles de toda la física, y es pura geometría.

1. La luz se reparte: ley del inverso del cuadrado

Imagina una bombilla en el centro de una esfera enorme y transparente. Toda la luz que sale de la bombilla atraviesa la superficie de la esfera. Si la esfera tiene radio $d$, su área es $4\pi d^2$. Llamemos:

• $L$ a la luminosidad: la energía que emite la fuente cada segundo, en vatios (W);
• $F$ al flujo o brillo recibido: la energía que llega cada segundo a cada metro cuadrado, en W/m²;
• $d$ a la distancia entre la fuente y el observador, en metros.

Como la luz se reparte por igual sobre toda la esfera, el flujo es la luminosidad dividida entre el área:

Si duplicas la distancia, el área de la esfera se multiplica por $2^2 = 4$ y la misma luz se reparte entre cuatro veces más superficie: el brillo se divide entre 4. Si la triplicas, se divide entre $3^2 = 9$.

Esta es la ley del inverso del cuadrado. Vale para la luz, pero también para el sonido de un parlante, la señal de una antena y la fuerza de gravedad.

Ejemplo resuelto 1: la constante solar. El Sol tiene $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}\ \text{W}$. La Tierra está a $d = 1\ \text{UA} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{m}$ (UA = unidad astronómica, la distancia media Tierra–Sol):

Es la constante solar: cada metro cuadrado puesto de frente al Sol, fuera de la atmósfera, recibe unos 1361 W, como trece bombillos de 100 W. Los satélites la miden de verdad: $1360.8 \pm 0.5\ \text{W/m}^2$ (Kopp y Lean, 2011). Que el cálculo coincida con la medida es la prueba de que la ley funciona.

Ejemplo resuelto 2: despejar la distancia. ¿A qué distancia del Sol el flujo baja a $1\ \text{W/m}^2$? Despejando $d$ de la fórmula, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. Pero hay un atajo: como $F \propto 1/d^2$, al comparar con la Tierra,

un poco más allá de Neptuno. Allí un panel solar produce mil veces menos que en la Tierra; por eso las sondas que van tan lejos llevan generadores nucleares.

2. Funciones potencia

La fórmula $F = L/(4\pi d^2)$ es un caso particular de una familia muy importante, las funciones potencia:

donde $x$ es la variable, $k$ una constante y $n$ el exponente (positivo, negativo o fraccionario). El brillo es $F = k\,d^{-2}$ con $k = L/4\pi$: una función potencia de exponente $-2$.

La regla general: si $x$ se multiplica por $a$, entonces $y$ se multiplica por $a^n$. Con $n$ negativo, «multiplicar por $a^n$» es dividir: $a^{-2} = 1/a^2$. Por eso las gráficas con $n$ negativo bajan rápido al principio, luego cada vez más despacio, y nunca llegan a cero: la luz de una estrella lejana es debilísima, pero nunca nula.

Cómo descubrir el exponente en una tabla. Toma dos filas donde $x$ se duplique y mira por cuánto cambia $y$: si se multiplica por 4, $n = 2$; si se divide entre 4, $n = -2$; si se divide entre 2, $n = -1$. En la actividad de la linterna vas a hacer exactamente esto con datos tuyos.

Ejemplo resuelto 3: cuánto Sol recibe cada planeta. Con la distancia en UA, el flujo es $F = 1361/d^2\ \text{W/m}^2$ (comparamos con la Tierra, donde $d = 1$). Usando las distancias medias de la NASA:

En Marte, un panel solar da menos de la mitad que en la Tierra; en Neptuno, casi mil veces menos. Fíjate en la columna $d^2$: el flujo cae mucho más rápido que la distancia.

Ejemplo resuelto 4: el Sol visto desde otra estrella. Si pusiéramos el Sol a 1 pársec ($3.086 \times 10^{16}$ m, unas 206 000 UA; es la unidad de 10.º grado), su flujo sería

es decir, $(1/206\,265)^2 \approx 2.4 \times 10^{-11}$ veces la constante solar. Por eso las estrellas, que son soles, se ven como puntos: la ley del inverso del cuadrado con distancias enormes.

Simulador: distancias y brillo en el Sistema Solar

Abre el modo Distancias del simulador. Verás los planetas a su distancia real del Sol (con zoom logarítmico) y un «cohete de luz» que muestra cuánto tarda la luz en llegar a cada uno.

1. Anota la distancia en UA de Marte y de Júpiter y comprueba con la fórmula $F = 1361/d^2$ los valores de la tabla.
2. Lanza el cohete de luz. El tiempo que tarda la luz en llegar a Júpiter es unas 3.4 veces el que tarda en llegar a Marte ($5.204/1.524 = 3.41$). ¿Por cuánto se divide el brillo entre Marte y Júpiter? Compara: el tiempo es una función potencia de exponente 1; el brillo, de exponente $-2$ ($3.41^2 \approx 11.7$).
3. Reto: busca con el zoom el lugar donde el Sol se vería con solo $1\ \text{W/m}^2$ (ejemplo resuelto 2). ¿Está dentro o fuera de la órbita de Neptuno?

Actividad: la linterna y la cuadrícula

Materiales: una linterna pequeña (o la lámpara del celular), una hoja cuadriculada pegada en la pared, una cinta métrica y, si lo tienes, un segundo celular con una aplicación gratuita de luxómetro.

1. Oscurece el salón. Pon la linterna a 20 cm de la hoja, apuntando de frente, y cuenta cuántos cuadritos quedan iluminados por el círculo de luz. Anota el número como $N_1$.
2. Aleja la linterna a 40 cm y vuelve a contar: $N_2$. Luego a 60 cm: $N_3$.
3. Completa la tabla: ¿$N_2/N_1$ se parece a 4? ¿$N_3/N_1$ se parece a 9? La misma luz se reparte en más cuadritos, así que cada cuadrito recibe menos: $F \propto 1/d^2$.
4. Con el luxómetro: mide la iluminación $E$ (en lux) a 20, 30, 40, 60 y 80 cm. Calcula $E \cdot d^2$ para cada fila. Si la ley se cumple, ese producto es (casi) constante.
5. Dibuja $E$ frente a $d$. ¿Es una recta? Ahora dibuja $E$ frente a $1/d^2$: debería salir una recta que pasa por el origen.

Pregunta final: si quisieras que la hoja recibiera la cuarta parte de la luz que recibe a 20 cm, ¿a qué distancia pondrías la linterna? ¿Y para que recibiera la novena parte?

¿Y cómo le ponemos número al brillo de una estrella?

Hemos usado vatios por metro cuadrado, pero los astrónomos miden el brillo de las estrellas con una escala de hace dos mil años, las magnitudes, en la que una diferencia de 5 magnitudes equivale a un factor 100 en flujo. Esa escala es exponencial, y para manejarla hace falta una herramienta nueva: el logaritmo. Todo eso, y cómo se usa para medir distancias a las estrellas, está en la siguiente lección: Magnitudes estelares y la primera idea de logaritmo.

Ejercicios

Nivel básico

1. Una lámpara ilumina una mesa a 1 m. Si la subes a 2 m, ¿qué fracción de la luz recibe ahora la mesa? ¿Y a 5 m? ¿Y a 1.5 m?

2. Una tabla dice: $x = 1 \to y = 100$; $x = 2 \to y = 25$; $x = 3 \to y = 11.1$. ¿Cuál es el exponente $n$ de la función potencia $y = k x^n$? ¿Y $k$?

3. Júpiter está a 5.2 UA del Sol. ¿Cuánta potencia solar recibe cada metro cuadrado allí? Usa 1361 W/m² a 1 UA.

Nivel medio

4. Un panel solar de 2 m² produce, fuera de la atmósfera, el 20 % de la energía que recibe. ¿Cuántos vatios da en la órbita de la Tierra? ¿Y en la de Marte (586 W/m²)?

5. Una fuente de luz se ve 9 veces más débil que otra idéntica. ¿Cuántas veces más lejos está?

6. ¿A qué distancia del Sol (en UA) el flujo vale $100\ \text{W/m}^2$? ¿Qué planeta está cerca de allí?

Nivel reto

7. Dos estrellas emiten la misma luminosidad, pero una se ve 10 000 veces más débil que la otra. ¿Cuántas veces más lejos está? Y si además la débil está a 100 pc, ¿a qué distancia está la brillante?

8. Un amigo dice: «Si duplicas la distancia, la luz se reduce a la mitad». Explícale con el dibujo de la esfera por qué se equivoca y cuál es la fracción correcta.

9. La estrella Vega está a 7.68 pc y emite en luz visible unas 48 veces más que el Sol. ¿Cuántas veces más débil se ve Vega que el Sol a 1 pc (ejemplo resuelto 4)? Pista: combina el factor 48 con la ley del inverso del cuadrado.

Recuerda

• La luz se reparte sobre una esfera de área $4\pi d^2$: $F = \dfrac{L}{4\pi d^2}$.
• Doble distancia, un cuarto de brillo; triple distancia, un noveno: ley del inverso del cuadrado.
• Una función potencia es $y = k x^n$; si $x$ se multiplica por $a$, $y$ se multiplica por $a^n$.
• La constante solar es $1361\ \text{W/m}^2$; con $d$ en UA, cualquier planeta recibe $1361/d^2$.
• Una estrella se ve débil por dos razones mezcladas: poca luminosidad o mucha distancia. Separarlas es el tema de la siguiente lección.