Magnitudes estelares y la primera idea de logaritmo

Una noche sin luna en el desierto de La Tatacoa (Huila) se ven miles de estrellas. La misma noche, desde el centro de Bogotá, Medellín o Cali, apenas unas decenas. ¿Cuántas veces más débil es la estrella más tenue que ves en el campo comparada con la más tenue que ves en la ciudad? Para responder, los astrónomos usan una escala de brillo con más de dos mil años de historia, la escala de magnitudes, y una herramienta matemática que aprenderás hoy: el logaritmo.

En la lección anterior vimos que el flujo $F$ (energía por segundo y por metro cuadrado que nos llega) cae con el cuadrado de la distancia. Ahora vamos a ponerle un número al brillo tal como lo hacen los astrónomos.

1. La escala de Pogson

De Hiparco a Pogson

Hacia el año 130 a. C., Hiparco de Nicea clasificó a simple vista las estrellas en seis clases: las más brillantes eran de primera magnitud y las más débiles que alcanzaba a ver, de sexta. Por eso, en esta escala, un número más grande significa una estrella más débil. Es una escala «al revés», como los puestos de una carrera: el primero es el mejor.

En 1856 Norman Pogson midió que una estrella de magnitud 1 nos envía unas 100 veces más luz que una de magnitud 6, y propuso fijarlo por definición: una diferencia de 5 magnitudes es exactamente un factor 100 en flujo. Como 5 pasos de una magnitud dan un factor 100, cada paso multiplica por

Es decir, subir una magnitud divide el flujo entre 2.512; subir dos, entre $2.512^2 \approx 6.31$; subir cinco, entre $2.512^5 = 100$.

La fórmula

Si dos astros tienen magnitudes aparentes $m_1$ y $m_2$ y nos llegan flujos $F_1$ y $F_2$:

• $m$: magnitud aparente, el brillo visto desde la Tierra (sin unidades).
• $F$: flujo recibido, en W/m².
• El exponente lleva $m_2 - m_1$ (y no $m_1 - m_2$) porque, si $m_1$ es menor, el astro 1 es más brillante y el cociente debe ser mayor que 1.

La escala admite números negativos para los objetos muy brillantes. Estas magnitudes están medidas en la banda visual V (la luz verde-amarilla a la que el ojo es más sensible):

Ejemplo resuelto 1. ¿Cuántas veces más brillante se ve Sirio ($m_1 = -1.46$) que Vega ($m_2 = 0.03$)?

Sirio se ve casi cuatro veces más brillante que Vega.

Ejemplo resuelto 2. ¿Cuántas veces más luz nos llega del Sol ($-26.76$) que de la Luna llena ($-12.74$)? La diferencia es $14.02$ magnitudes. Como $14.02 = 10 + 4.02$: diez magnitudes son $100 \times 100 = 10\,000$ y $4.02$ magnitudes son $2.512^{4.02} \approx 40.5$. Total: $\approx 405\,000$ veces. Por eso la Luna llena no nos quema la piel.

Ejemplo resuelto 3 (una estrella que cambió). Betelgeuse, la estrella roja del hombro de Orión, suele tener $m_V \approx 0.4$. Entre el 7 y el 13 de febrero de 2020 bajó hasta $m_V = 1.61$ («el gran oscurecimiento»). ¿Cuánto se atenuó? Diferencia $1.61 - 0.42 = 1.19$, así que $2.512^{1.19} \approx 3.0$: nos llegaba la tercera parte de su luz habitual, algo visible a simple vista desde Colombia.

2. Exponentes y la primera idea de logaritmo

Sumar en el exponente es multiplicar

Mira la tabla de potencias de 10:

Cada vez que sumas 1 a $x$, el resultado se multiplica por 10. Una función donde la variable está en el exponente, como $y = 10^x$, se llama función exponencial, y esa es su marca: sumas en la entrada se convierten en multiplicaciones en la salida. La escala de magnitudes es exactamente así, con base 2.512: cada magnitud que sumas divide el flujo entre 2.512.

El logaritmo es un exponente

Ahora la pregunta al revés: «¿a qué exponente hay que elevar 10 para obtener 1000?». La respuesta es 3, y eso es el logaritmo en base 10 de 1000:

Así, $\log_{10} 100 = 2$, $\log_{10} 10 = 1$, $\log_{10} 1 = 0$ y $\log_{10} 0.01 = -2$. Para números que no son potencias exactas de 10 la calculadora (tecla log) nos da el exponente: $\log_{10} 2 \approx 0.301$, porque $10^{0.301} \approx 2$; $\log_{10} 50 \approx 1.699$, porque 50 está entre $10^1$ y $10^2$.

Dos reglas, que salen de las reglas de los exponentes ($10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}$ y $(10^a)^n = 10^{an}$):

El logaritmo convierte productos en sumas y potencias en productos. Compruébalo: $\log_{10} 2000 = \log_{10}(2 \times 1000) = 0.301 + 3 = 3.301$.

La fórmula de Pogson con logaritmos

Escribamos la fórmula de la sección 1 con base 10. Como $2.512 = 10^{0.4}$:

Tomando logaritmo en base 10 a ambos lados (regla de la potencia) y despejando:

El signo menos repite la idea de siempre: más flujo, magnitud más pequeña. Esta versión sirve para ir de flujos a magnitudes; la de la sección 1, para ir de magnitudes a flujos.

Ejemplo resuelto 4. Una estrella nos envía 1000 veces más luz que otra. ¿Cuántas magnitudes las separan? $m_1 - m_2 = -2.5 \log_{10} 1000 = -2.5 \times 3 = -7.5$: la brillante tiene 7.5 magnitudes menos.

Ejemplo resuelto 5 (el reto de la insignia). ¿Cuántas veces más brillante es una estrella de magnitud 1 que una de magnitud 6? $10^{0.4 \times (6 - 1)} = 10^{2} = 100$ veces. Y entre magnitud 1 y magnitud 11: $10^{0.4 \times 10} = 10^4 = 10\,000$.

3. Magnitud absoluta y módulo de distancia

La magnitud aparente mezcla dos cosas: cuánta luz emite la estrella y a qué distancia está. Una vela cerca puede verse igual que un reflector lejos. Para comparar estrellas «de verdad», los astrónomos imaginan ponerlas todas a la misma distancia: 10 pársecs (pc), unos 32.6 años luz. La magnitud que tendría una estrella a 10 pc es su magnitud absoluta $M$.

Por la ley del inverso del cuadrado, una estrella a distancia $d$ nos envía un flujo $(10\ \text{pc}/d)^2$ veces el que enviaría a 10 pc. Metiendo esto en la fórmula de Pogson y usando la regla de la potencia del logaritmo:

• $m$: magnitud aparente (medida desde la Tierra).
• $M$: magnitud absoluta (brillo intrínseco).
• $d$: distancia en pársecs. La cantidad $m - M$ se llama módulo de distancia.

Cada vez que la distancia se multiplica por 10, el módulo de distancia suma 5: productos convertidos en sumas, otra vez el logaritmo. Y al revés, si conocemos $M$ y medimos $m$:

Ejemplo resuelto 6. El Sol tiene $M_V = 4.81$ (Willmer 2018). Si lo pusiéramos a 100 pc se vería con $m = 4.81 + 5 = 9.81$: invisible a simple vista, apenas al alcance de unos binoculares.

Ejemplo resuelto 7. Sirio está a $d = 2.64$ pc (su paralaje Hipparcos es 379.21 milésimas de segundo de arco; el pársec se estudia en 10.º). Su magnitud absoluta es

Comparada con el Sol ($M_V = 4.81$): $4.81 - 1.43 = 3.38$ magnitudes, es decir $10^{0.4 \times 3.38} \approx 22$. Sirio emite unas 22 veces más luz visible que el Sol. Se ve tan brillante por las dos razones: es luminosa y está cerca.

Ejemplo resuelto 8. Betelgeuse se ve menos brillante que Sirio ($0.42$ frente a $-1.46$), pero está a unos 168 pc. Su módulo de distancia es $5\log_{10} 16.8 \approx 6.1$, así que $M \approx 0.42 - 6.1 = -5.7$. Frente al Sol: $4.81 - (-5.7) \approx 10.5$ magnitudes, $10^{0.4 \times 10.5} \approx 16\,000$ veces más luz visible. (La distancia de Betelgeuse tiene una incertidumbre grande, así que esta cifra es solo orientativa.)

Una nota de rigor: la magnitud bolométrica. Las magnitudes V solo cuentan la luz visible. Si se cuenta toda la energía emitida se habla de magnitud bolométrica. En 2015 la IAU fijó su punto cero: una estrella de $M_\text{bol} = 0$ emite $L_0 = 3.0128 \times 10^{28}$ W. Con $L_\odot = 3.828 \times 10^{26}$ W, el Sol tiene $M_\text{bol} = -2.5\log_{10}(L_\odot/L_0) \approx 4.74$. Compruébalo con la calculadora.

Simulador: de la paralaje a la magnitud absoluta

El simulador de paralaje da la distancia a estrellas cercanas. Combínala con la magnitud aparente de la tabla para hallar la magnitud absoluta:

1. Elige Sirio en la lista. Lee $d$ en pársecs y comprueba el ejemplo resuelto 7.
2. Elige Vega ($d \approx 7.68$ pc, $m = 0.03$). Calcula $m - M = 5\log_{10}(0.768)$ y luego $M$. ¿Vega es más o menos luminosa que Sirio? ¿Y que el Sol?
3. Elige Betelgeuse. Mueve la distancia hasta 100 pc y hasta 200 pc: ¿cuánto cambia $M$? Eso es lo que la incertidumbre en la distancia hace con la luminosidad.
4. Reto: ¿a qué distancia habría que poner a Vega para que se viera como Polaris ($m = 2.02$)? Pista: la distancia se multiplica por $10^{(2.02 - 0.03)/5}$.

Cielos oscuros y contaminación lumínica en Colombia

La magnitud límite es la magnitud de la estrella más débil que alcanzas a ver a simple vista. Depende de tu vista, pero sobre todo del brillo del cielo. La escala de Bortle (2001) lo clasifica de 1 (cielo excelente) a 9 (centro de una gran ciudad):

En el desierto de La Tatacoa, durante la totalidad del eclipse lunar del 14–15 de abril de 2014 (es decir, sin luz de la Luna), se midió un brillo de cielo de 21.15 magnitudes por segundo de arco cuadrado, que corresponde a la clase 4 (Góez Therán y Vargas Domínguez, 2021), aunque desde allí ya se ven las luces de Neiva. En 2020 el desierto recibió la certificación internacional Starlight como destino astronómico.

Hagamos la cuenta del gancho inicial. Si tomamos la magnitud límite típica de un cielo de clase 4 como el de La Tatacoa, unas $6.4$, y la de un cielo de clase 9 como el del centro de Bogotá, unas $4$. La diferencia, $2.4$ magnitudes, equivale a un factor $10^{0.4 \times 2.4} \approx 9$: la estrella más débil que ves en el desierto es nueve veces más tenue que la más débil que ves en la ciudad. Y como hay muchas más estrellas débiles que brillantes, ese factor 9 en flujo se convierte en un factor mucho mayor en cantidad de estrellas: el Bright Star Catalogue de Yale lista 9110 objetos hasta magnitud 6.5 para todo el cielo, pero hasta magnitud 4 hay apenas unos cientos.

Actividad: una escalera de magnitudes con papel

Materiales: una linterna o la lámpara del celular, 8 hojas de papel mantequilla (o papel de calcar) del mismo tipo, un celular con una aplicación gratuita de luxómetro (sensor de luz) y una caja o túnel oscuro.

1. Fija la linterna a unos 30 cm del sensor de luz del segundo celular, en un sitio oscuro. Anota la lectura sin papel: es $F_0$.
2. Pon una hoja de papel mantequilla entre la linterna y el sensor. Anota la lectura $F_1$.
3. Añade hojas de una en una hasta 8 y anota $F_2, F_3, \dots, F_8$.
4. Calcula el cociente $F_1/F_0$, $F_2/F_1$, $F_3/F_2$… ¿Es más o menos constante? Llamémoslo $t$ (lo que deja pasar cada hoja).
5. Dibuja dos gráficas: $F_n$ frente a $n$ y $\log_{10} F_n$ frente a $n$. La primera es una curva exponencial que baja; la segunda debe ser una recta: cada hoja resta la misma cantidad, $\log_{10} t$, al logaritmo.
6. Define la «magnitud» de cada lectura como $m_n = -2.5\log_{10}(F_n/F_0)$. ¿Cuántas hojas hacen falta para subir 5 magnitudes (dividir la luz entre 100)? Compara con la predicción $n = -5/(2.5\log_{10} t)$.

Pregunta final: si cada hoja dejara pasar exactamente el 40 % de la luz ($t = 0.4$), ¿cuántas hojas equivaldrían a una magnitud? ¿Y a cinco?

Variante de cielo: una noche despejada, cuenta las estrellas que ves dentro de un área fija del cielo (por ejemplo, el cuadrilátero de Orión o la Cruz del Sur) desde tu barrio y desde un lugar oscuro, y compara. El programa internacional Globe at Night ofrece cartas con la magnitud límite para hacerlo de manera ordenada.

Ejercicios

Nivel básico

1. Calcula sin calculadora: $\log_{10} 10\,000$, $\log_{10} 0.001$, $\log_{10} 1$ y $\log_{10} \sqrt{10}$.

2. Dos estrellas difieren en 5 magnitudes. ¿Cuántas veces más brillante se ve la de menor magnitud? ¿Y si difieren en 10? ¿Y en 15?

3. Ordena de más brillante a más débil: Polaris ($2.02$), Sirio ($-1.46$), el Sol ($-26.76$), Vega ($0.03$) y una estrella de magnitud 6.

Nivel medio

4. Una estrella de magnitud 1 y otra de magnitud 3: ¿cuántas veces más brilla la primera? Da dos decimales.

5. ¿Cuál es el módulo de distancia $m - M$ de una estrella a 1000 pc? ¿Y a 0.1 pc? ¿Y a 25 pc?

6. Vega está a 7.68 pc y se ve con $m = 0.03$. Calcula su magnitud absoluta y compárala con la del Sol ($4.81$).

7. Una estrella tiene $M = 4.81$ (como el Sol) y se ve con $m = 14.81$. ¿A qué distancia está?

Nivel reto

8. El Sol se ve con $m = -26.76$ y Sirio con $m = -1.46$. Calcula cuántas veces más flujo nos llega del Sol y escríbelo en notación científica.

9. Una amiga dice: «Si una estrella está al doble de distancia, su magnitud aumenta en 2». ¿Tiene razón? Corrígela con $m - M = 5\log_{10}(d/10\ \text{pc})$ y $\log_{10} 2 \approx 0.301$.

10. Hiparco veía estrellas hasta magnitud 6. Un telescopio de aficionado de 20 cm alcanza magnitud 14. ¿Cuántas veces más débil es la estrella más tenue que ve el telescopio que la más tenue que veía Hiparco? ¿Y qué relación hay con el área del espejo (20 cm) frente a la de la pupila (unos 7 mm)?

Recuerda

• Magnitud mayor = estrella más débil. La escala viene de Hiparco y Pogson la hizo exacta.
• 5 magnitudes = factor 100 en flujo; 1 magnitud = factor 2.512 $= 10^{0.4}$.
• $\dfrac{F_1}{F_2} = 10^{0.4(m_2 - m_1)}$ y, al revés, $m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}(F_1/F_2)$.
• El logaritmo es un exponente: $\log_{10} 1000 = 3$. Convierte productos en sumas y potencias en productos.
• $m - M = 5\log_{10}(d/10\ \text{pc})$: cada «×10» en distancia suma 5 al módulo de distancia.
• El cielo de una ciudad grande deja ver hasta magnitud ≈ 4; un cielo oscuro como La Tatacoa, hasta ≈ 6.5.