El universo se expande

Imagina que mides la velocidad de los carros en la vía Bogotá–Girardot y descubres que cuanto más lejos está un carro de ti, más rápido se aleja, y que la relación es una recta perfecta. Pensarías que algo raro pasa con la carretera. Eso fue exactamente lo que Edwin Hubble encontró en 1929 con las galaxias, y lo raro no era la carretera: era el espacio mismo.

1. La ley de Hubble

Cuando miramos la luz de una galaxia lejana con un espectroscopio, sus líneas aparecen desplazadas hacia el rojo. Ese corrimiento al rojo nos dice a qué velocidad $v$ se aleja. En 1929, Hubble comparó esas velocidades (medidas casi todas por Vesto Slipher) con las distancias $d$ que él mismo había estimado y encontró que cuanto más lejos está una galaxia, más deprisa se aleja. Hoy lo escribimos como la ley de Hubble–Lemaître:

• $v$: velocidad de alejamiento, en km/s.
• $d$: distancia, en megapársecs (1 Mpc = un millón de pársecs ≈ 3.26 millones de años luz).
• $H_0$: la constante de Hubble, en km/s por Mpc. Es la pendiente de la recta.

Es una proporcionalidad directa: si la distancia se duplica, la velocidad también. La gráfica de $v$ frente a $d$ es una recta que pasa por el origen.

Ejemplo resuelto 1. Una galaxia está a $d = 150$ Mpc. Con $H_0 = 70$ km/s/Mpc:

unas 350 veces la velocidad de la Tierra en su órbita (≈ 30 km/s). Al revés: si medimos $v = 7000$ km/s, entonces $d = v/H_0 = 7000/70 = 100$ Mpc.

2. Medir H₀ con una recta: regresión lineal con datos

En la práctica las mediciones tienen errores y los puntos no caen exactamente sobre una recta. La regresión lineal es el método para encontrar la recta que mejor los representa. Vamos a aplicarla dos veces: a los datos originales de Hubble y a datos modernos.

Los 24 objetos de Hubble (1929)

Esta es la Tabla 1 del artículo de 1929 (distancias en Mpc, velocidades en km/s, tal como las publicó Hubble; las negativas son galaxias que se acercan):

Dibuja los 24 puntos en un plano con $d$ en el eje horizontal y $v$ en el vertical. Hay mucha dispersión, pero la tendencia es clara: suben.

La recta por el origen

Como la ley dice que $v = 0$ cuando $d = 0$, lo más natural es buscar la recta que pasa por el origen, $v = H_0 d$, que mejor se ajusta. El criterio de mínimos cuadrados es elegir $H_0$ de modo que la suma de los errores al cuadrado, $\sum (v_i - H_0 d_i)^2$, sea lo más pequeña posible. El resultado (que se demuestra en 11.º con cálculo, pero que ya puedes usar) es

donde $\sum$ significa «suma sobre todas las galaxias» y $d_i$, $v_i$ son la distancia y la velocidad de la galaxia número $i$. Con la tabla de Hubble: $\sum d_i v_i = 12\,514$ y $\sum d_i^2 = 29.52$, así que

La recta general

Si no obligamos a la recta a pasar por el origen, buscamos $v = m\,d + b$ con dos parámetros: la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $b$. Las fórmulas de mínimos cuadrados (las mismas que usa la calculadora o la función PENDIENTE / INTERSECCION.EJE de una hoja de cálculo) son, con $n$ el número de datos:

Con los datos de Hubble ($n = 24$, $\sum d_i = 21.87$, $\sum v_i = 8955$) salen $m \approx 454$ km/s/Mpc y $b \approx -41$ km/s. La ordenada es pequeña comparada con las velocidades (cientos de km/s), lo que apoya que la recta «quiere» pasar por el origen. Hubble, que además corrigió las velocidades por el movimiento del Sol dentro de la Vía Láctea, obtuvo $K = 465 \pm 50$ km/s/Mpc y adoptó el valor redondo de 500 km/s/Mpc.

¿Qué tan buena es la recta? El coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación $r$ mide cuánto se parecen los datos a una recta: $r = 1$ es una recta perfecta creciente, $r = 0$ ninguna relación, $r = -1$ una recta perfecta decreciente. La calculadora lo da junto con $m$ y $b$. Para los datos de Hubble, $r \approx 0.79$: hay relación clara, pero con mucho «ruido». Ese ruido son los movimientos propios de las galaxias (de unos cientos de km/s), que se notan mucho cuando las galaxias están cerca y sus velocidades de expansión son pequeñas.

Datos modernos: el Proyecto Clave del Telescopio Espacial Hubble

Setenta años después, el Key Project del telescopio espacial Hubble (Freedman et al., 2001) midió distancias a cúmulos de galaxias con el método de Tully–Fisher, calibrado con estrellas cefeidas. Aquí tienes nueve de sus 21 cúmulos, con la velocidad respecto al fondo cósmico de microondas y la distancia en Mpc:

Ejemplo resuelto 2 (recta por el origen).

Ejemplo resuelto 3 (recta general). Con $n = 9$:

Compara con 1929: la correlación pasó de 0.79 a 0.99, porque las galaxias están cien veces más lejos y sus velocidades de expansión (miles de km/s) ya no se confunden con los movimientos propios. La ordenada $-275$ km/s es solo un 3 % de la velocidad mayor; como la física exige $b = 0$, el ajuste por el origen ($74.9$) es el más sensato.

¿Por qué el equipo del Key Project publicó 71 y no 75? Porque nuestro ajuste es «ingenuo»: ellos corrigieron las velocidades por los flujos de materia locales, dieron más peso a los cúmulos mejor medidos y aplicaron una corrección a las distancias de las cefeidas. Su resultado por Tully–Fisher fue $71 \pm 2\ (\text{aleatorio}) \pm 7\ (\text{sistemático})$ y, combinando cinco métodos, $H_0 = 72 \pm 8$ km/s/Mpc. La lección es doble: la regresión lineal da la idea correcta con pocos datos, y los detalles del análisis importan al nivel del 5 %.

3. ¿Cuántos años tiene el universo?

Si cada galaxia se hubiera alejado siempre a la misma velocidad, todas habrían estado juntas hace un tiempo $t = d/v = 1/H_0$: el tiempo de Hubble. Hay que convertir unidades: $1\ \text{Mpc} = 3.086 \times 10^{19}$ km y $1\ \text{Gyr} = 3.156 \times 10^{16}$ s (1 Gyr = mil millones de años). Resulta

Ejemplo resuelto 4: el problema de la edad. Con el valor de Hubble, $H_0 = 500$: $1/H_0 \approx 2.0$ Gyr. ¡Pero la Tierra tiene $4.54$ Ga (Dalrymple, 2001)! Durante décadas esta contradicción fue un argumento contra la expansión. La solución llegó al descubrir que las distancias de Hubble eran unas siete veces demasiado cortas ($500/72 \approx 7$): sus «cefeidas» estaban mal calibradas. Con $H_0 = 72$: $1/H_0 \approx 13.6$ Gyr, y la contradicción desaparece.

El valor preciso, teniendo en cuenta que la expansión no ha ido a velocidad constante, es $13.787 \pm 0.020$ Gyr (Planck 2018). Que se parezca tanto a $1/H_0$ es, en parte, una casualidad: la materia frenó la expansión al principio y la energía oscura la acelera ahora.

4. La tensión de Hubble

Hoy $H_0$ se mide de dos maneras muy distintas, y no coinciden:

La diferencia es de $5.6$ km/s/Mpc, unas cinco veces la incertidumbre combinada: en estadística se dice que es una discrepancia de «$5\sigma$», demasiado grande para ser casualidad. O hay un error sutil en alguna de las dos medidas, o al modelo del universo le falta algo. Es uno de los problemas abiertos más importantes de la cosmología actual, y se llama tensión de Hubble.

5. El globo y el pan con pasas

Dos analogías ayudan a imaginar la expansión:

• Pan con pasas: al hornearse, la masa crece y cada pasa se aleja de todas las demás. Desde cualquier pasa, las más lejanas se alejan más deprisa: eso es la ley de Hubble, y no hay una pasa «centro».
• Globo con puntos: al inflarlo, los puntos pintados en la superficie se separan. La superficie (2D) representa el espacio; los puntos, las galaxias.

Límites de las analogías: el pan tiene un borde y un centro; el universo no (que sepamos). El globo tiene un «interior» que no forma parte de su superficie, y eso confunde: el universo no se expande «hacia» ningún sitio. Además, las pasas y las galaxias no crecen: la gravedad mantiene unidas las galaxias, los sistemas solares y a ti mismo. Lo que crece es la distancia entre objetos que no están ligados entre sí.

6. Materia y energía oscura: Ω_m y Ω_Λ

El ritmo de la expansión depende de lo que contiene el universo:

• $\Omega_m$ mide cuánta materia hay (normal y oscura). Su gravedad frena la expansión. Si hubiera mucha ($\Omega_m$ grande y nada más), el frenado podría detener la expansión y el universo volvería a contraerse: un Big Crunch.
• $\Omega_\Lambda$ mide la energía oscura (constante cosmológica). Actúa como una repulsión que acelera la expansión.

Ambos se miden como fracciones de una densidad de referencia, la densidad crítica. Si $\Omega_m + \Omega_\Lambda = 1$, el espacio es plano (geometría de Euclides a gran escala). Planck 2018 da $\Omega_m = 0.315 \pm 0.007$ y, con un universo plano, $\Omega_\Lambda \approx 0.685$: dominado hoy por la energía oscura y que se expandirá para siempre.

Simulador: distintos universos

La gráfica superior muestra el factor de escala $a(t)$: cuánto ha crecido la distancia entre galaxias respecto a hoy ($a = 1$ hoy; $a = 2$ significa el doble de separación).

1. Deja el modelo de Planck 2018 y mueve $H_0$ de 67.4 a 73.0: ¿cuánto cambia la edad del universo? Compáralo con la diferencia entre 14.5 y 13.4 Gyr del tiempo de Hubble.
2. Haz clic en el plano $(\Omega_m, \Omega_\Lambda)$ y elige $\Omega_m = 1$, $\Omega_\Lambda = 0$ (Einstein–de Sitter). ¿La edad es mayor o menor que $1/H_0$? ¿Por qué?
3. Busca un universo que recolapse (Big Crunch) y uno que se expanda para siempre. ¿Qué tienen en común los que recolapsan?

Actividad: la ley de Hubble en una banda elástica

Materiales: una banda elástica ancha (o un trozo de 30 cm de cámara de bicicleta), un marcador, una regla y un cronómetro.

1. Sin estirar, marca puntos cada 2 cm sobre la banda: son las galaxias. Marca una de ellas como «nosotros» (N).
2. Mide y anota la distancia $d_0$ de cada punto a N.
3. Estira la banda de manera uniforme hasta que mida el doble (tarda unos 2 s en hacerlo) y vuelve a medir las distancias $d_1$ de cada punto a N.
4. La «velocidad» de cada galaxia es $v = (d_1 - d_0)/t$, con $t = 2$ s. Haz una tabla con $d_0$ y $v$.
5. Dibuja $v$ frente a $d_0$ y ajusta la recta por el origen: $H = \sum d_0 v / \sum d_0^2$. Comprueba que $H \approx 1/(2\ \text{s}) = 0.5\ \text{s}^{-1}$ (la banda dobló su tamaño en 2 s).
6. Repite eligiendo otro punto como «nosotros». ¿Cambia la pendiente?

Pregunta final: ¿por qué cualquier galaxia ve a las demás alejarse con la misma ley, aunque ninguna sea el centro?

Ejercicios

Nivel básico

1. Con $H_0 = 70$ km/s/Mpc, ¿a qué velocidad se aleja una galaxia situada a 40 Mpc?

2. Una galaxia se aleja a 13 500 km/s. ¿A qué distancia está si $H_0 = 67.5$ km/s/Mpc?

3. Calcula $1/H_0$ en Gyr para $H_0 = 73$ km/s/Mpc. ¿El universo sería más joven o más viejo que con $H_0 = 67.4$?

Nivel medio

4. Repite el ajuste por el origen de los nueve cúmulos sin Abell 2634, el más lejano. ¿Cambia mucho $H_0$?

5. Usa la fórmula de la recta por el origen con los cuatro objetos de Hubble a 2.0 Mpc (el cúmulo de Virgo). ¿Qué $H_0$ sale? ¿Y el tiempo de Hubble correspondiente?

6. En el simulador, elige Einstein–de Sitter ($\Omega_m = 1$, $\Omega_\Lambda = 0$) con $H_0 = 67.4$. Compara su edad con $1/H_0$.

Nivel reto

7. ¿Por qué la Vía Láctea y la galaxia de Andrómeda (NGC 224, $v = -220$ km/s en la tabla de Hubble) no se alejan entre sí, aunque el universo se expanda?

8. En el ajuste general de los nueve cúmulos salió $b = -275$ km/s con $r = 0.988$. Una compañera dice que, como $b$ no es cero, la ley de Hubble está mal. ¿Qué le responderías?

9. Planck da $67.4 \pm 0.5$ y SH0ES $73.04 \pm 1.04$ km/s/Mpc. La incertidumbre combinada de una diferencia es $\sqrt{0.5^2 + 1.04^2}$. ¿Cuántas veces cabe esa incertidumbre en la diferencia de los dos valores?

Recuerda

• Ley de Hubble–Lemaître: $v = H_0 d$. Las galaxias lejanas se alejan más rápido, en proporción a su distancia.
• Regresión por el origen: $H_0 = \sum d_i v_i / \sum d_i^2$. Recta general: $v = md + b$, con $r$ midiendo la calidad del ajuste.
• Hubble (1929): $\approx 500$ km/s/Mpc con distancias demasiado cortas. Key Project (2001): $72 \pm 8$.
• Tiempo de Hubble: $1/H_0 \approx 977.8/H_0$ Gyr; con $H_0 \approx 70$, unos 14 Gyr. Edad precisa: $13.79$ Gyr.
• Tensión de Hubble: $67.4 \pm 0.5$ (Planck) frente a $73.04 \pm 1.04$ (SH0ES), una diferencia de $5\sigma$.
• $\Omega_m \approx 0.315$ frena la expansión; $\Omega_\Lambda \approx 0.685$ la acelera. El universo es plano y se expandirá para siempre.