Paralaje y trigonometría

Pon un dedo frente a tu cara, con el brazo estirado. Cierra el ojo izquierdo, luego el derecho. El dedo «salta» sobre el fondo. Ese salto se llama paralaje, y es el método más directo que existe para medir la distancia a una estrella: solo necesita un triángulo y un poco de trigonometría. Con él vamos a calcular, con cifras reales de la misión Gaia, a qué distancia está la estrella más cercana al Sol.

1. Razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\theta$, llamamos cateto opuesto al lado frente a $\theta$, cateto adyacente al lado que lo forma junto con la hipotenusa, e hipotenusa al lado más largo:

Estas razones dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo (todos los triángulos rectángulos con el mismo $\theta$ son semejantes). Por eso una calculadora puede tabularlas. La tangente es la reina de las distancias: si conocemos un cateto y un ángulo, obtenemos el otro cateto.

Triangulación en la Tierra

Ejemplo resuelto 1: la altura de un edificio. A $30\ \text{m}$ de la base mides un ángulo de elevación $\theta = 35°$ hasta la azotea, con tus ojos a $1.5\ \text{m}$ del suelo:

Ejemplo resuelto 2: la distancia a un cerro. Para algo inalcanzable se usa una línea de base. Desde el punto $A$ miras el cerro; caminas en perpendicular una distancia $b$ hasta el punto $B$ y mides el ángulo $\alpha$ entre la dirección a $A$ y la dirección al cerro. Entonces $d = b\tan\alpha$. Con $b = 100\ \text{m}$ y $\alpha = 88°$:

Pero si te equivocas en un grado y mides $87°$, sale $100 \times 19.08 = 1908\ \text{m}$: ¡un 33 % menos! Cuanto más lejos está el objeto, más «cerrado» es el triángulo y más precisión angular se necesita. Este es exactamente el problema de las estrellas.

2. El triángulo de paralaje

La Tierra gira alrededor del Sol a $1\ \text{UA}$ (unidad astronómica, $1.495\,978\,707 \times 10^{11}\ \text{m}$). Si observamos una estrella cercana en enero y otra vez en julio, la vemos desde dos puntos separados por 2 UA: es nuestra línea de base, la más larga que podemos conseguir sin salir del Sistema Solar. La estrella parece desplazarse sobre el fondo de estrellas mucho más lejanas.

Se define la paralaje anual $p$ como el ángulo bajo el cual se vería, desde la estrella, el radio de la órbita terrestre (1 UA). En el triángulo rectángulo Sol–Tierra–estrella, con el ángulo recto en el Sol:

donde $d$ es la distancia del Sol a la estrella. El desplazamiento total entre enero y julio (en el mejor caso) es $2p$.

Simulador: el triángulo visto desde arriba y desde el telescopio

A la izquierda, la geometría (no a escala); a la derecha, lo que verías en el telescopio: la estrella cercana recorre una pequeña elipse sobre el fondo fijo.

1. Elige Próxima Centauri y exageración 1: no se ve nada. Sube la exageración hasta que aparezca la elipse y anota el factor que necesitaste.
2. Cambia la distancia: ¿cómo cambia el tamaño de la elipse al duplicar $d$? (Predicción: se reduce a la mitad, porque $p \approx 1/d$.)
3. Con $\beta = 0°$ (estrella sobre el plano de la órbita terrestre) la elipse se aplasta hasta ser un segmento; con $\beta = 90°$ es un círculo. En general sus semiejes son $p$ y $p\,|\sin\beta|$, donde $\beta$ es la latitud eclíptica.
4. Elige Betelgeuse y compara los instrumentos: ¿la podría medir el ojo? ¿Hiparcos? ¿Gaia?

3. Ángulos pequeños: por qué $\tan p \approx p$ y cuánto error cometemos

Las paralajes estelares son diminutas: todas son menores de 1″ (un segundo de arco, $1/3600$ de grado). Para ángulos así hay un atajo: medidos en radianes, $\tan p \approx p$. Recuerda que $\pi\ \text{rad} = 180°$, así que $1° = \pi/180 \approx 0.01745\ \text{rad}$ y $1'' = \pi/648\,000 \approx 4.848 \times 10^{-6}\ \text{rad}$.

La última columna muestra la regla: para $x$ pequeño, $\tan x \approx x + x^3/3$, de modo que el error relativo de la aproximación es $\approx x^2/3$. Se reduce 100 veces cada vez que el ángulo se hace 10 veces menor. Para una paralaje estelar, el error es de una parte en cien mil millones, muchísimo más pequeño que cualquier error de medida. Por eso escribimos

Ejemplo resuelto 3. ¿Hasta qué ángulo puedes usar $\tan x \approx x$ si aceptas un error del 0.1 %? Exigimos $x^2/3 \le 0.001$, es decir, $x \le \sqrt{0.003} = 0.0548\ \text{rad} = 3.1°$.

4. El pársec

Si $p$ se mide en segundos de arco, $p[\text{rad}] = p[''] \times 4.848 \times 10^{-6}$ y

Los astrónomos definen una unidad que hace esta cuenta trivial: el pársec (de «paralaje de un secundo»), la distancia a la que 1 UA subtiende exactamente 1″:

Y entonces la fórmula queda en su forma más famosa:

Ejemplo resuelto 4: Próxima Centauri. El catálogo Gaia DR3 da para la estrella más cercana al Sol $p = 768.0665 \pm 0.0499$ milisegundos de arco (mas), es decir, $p = 0.768\,0665''$. Entonces

Ni siquiera la estrella más cercana llega a 1″ de paralaje: por eso ningún pársec «cabe» dentro de la vecindad solar.

Propagar el error

Si $p$ tiene una incertidumbre $\sigma_p$, ¿cuánta tiene $d$? Como $d = 1/p$, un aumento del 1 % en $p$ reduce $d$ en (casi) un 1 %: el error relativo se conserva,

Para Próxima, $\sigma_p/p = 0.0499/768.0665 = 6.5 \times 10^{-5}$, así que $d = 1.3020 \pm 0.0001\ \text{pc}$: la distancia a la estrella más cercana se conoce con cuatro cifras seguras. Para una estrella con $p = 1\ \text{mas}$ y la misma $\sigma_p$, el error relativo sería del 5 %; con $p = 0.1\ \text{mas}$, del 50 %, y la distancia ya casi no significa nada. El método de paralaje solo sirve para estrellas relativamente cercanas; más allá hacen falta otros «peldaños» de la escalera de distancias.

5. Un poco de historia: Bessel y 61 Cygni

Desde Aristóteles, la falta de paralaje observable se usó como argumento contra el movimiento de la Tierra. Los astrónomos lo buscaron durante siglos sin éxito: el ángulo era demasiado pequeño para sus instrumentos. En 1838, Friedrich Wilhelm Bessel publicó la primera paralaje estelar confiable, para la estrella 61 Cygni: $p = 0.3136''$, es decir, $d \approx 3.19\ \text{pc}$. Casi al mismo tiempo, Thomas Henderson midió α Centauri y Friedrich Georg Wilhelm Struve, Vega.

Bessel eligió 61 Cygni porque tenía un movimiento propio grande (se desplaza más de 4″ por año sobre el cielo), pista de que debía estar cerca. Hoy, Gaia DR3 mide para 61 Cyg A $p = 285.9949 \pm 0.0599\ \text{mas}$ ($d = 3.497\ \text{pc}$): Bessel se equivocó en un 10 %, un logro extraordinario con instrumentos de 1838. El satélite Hiparcos (años 90, precisión del orden de 1 mas) midió unas cien mil estrellas, y Gaia (precisión de decenas de microsegundos de arco para estrellas brillantes) más de mil millones; ambas cifras son órdenes de magnitud.

Actividad: el cuadrante casero

Materiales: un transportador, un pitillo (pajilla), hilo, una tuerca, cinta adhesiva, cinta métrica.

1. Pega el pitillo sobre el borde recto del transportador y cuelga del centro el hilo con la tuerca. Ya tienes un cuadrante: al mirar por el pitillo, el hilo marca el ángulo.
2. Calíbralo apuntando a algo horizontal: la lectura debe corresponder a $0°$ de elevación (según cómo pegaras el pitillo, el ángulo de elevación es la lectura o $90°$ menos la lectura).
3. Elige un objeto alto del colegio (un poste, el edificio). Mide con la cinta la distancia horizontal $D$ desde donde estás hasta su base y la altura de tus ojos $h_0$.
4. Apunta a la cima y lee el ángulo $\theta$. Calcula $h = h_0 + D\tan\theta$.
5. Repite desde otra distancia $D$ (el doble, por ejemplo) y compara los dos resultados.

Pregunta final: ¿cuánto difieren tus dos alturas? Si tu cuadrante tiene un error de $\pm 1°$, ¿cuánto cambia $h$ en cada caso? ¿Desde qué distancia se mide mejor, cerca o lejos? Relaciónalo con lo que pasa con las estrellas.

Ejercicios

Básico

1. Desde 20 m de un árbol mides un ángulo de elevación de 40°, con los ojos a 1.6 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

2. Convierte a radianes: 1°, 0.5° y 1″.

3. Una estrella tiene $p = 0.1''$. ¿A cuántos pársecs y años luz está?

Medio

4. Sirio está a unos 2.64 pc. ¿Cuál es su paralaje en segundos de arco y en milisegundos de arco?

5. Demuestra que $1\ \text{pc} \approx 206\,265\ \text{UA}$ a partir de $1'' = \pi/648\,000$ rad.

6. Usa la regla $x^2/3$: ¿hasta qué ángulo (en grados) puedes usar $\tan x \approx x$ si aceptas un error del 1 %?

Reto

7. Si un instrumento mide paralajes con una incertidumbre de 1 mas, ¿hasta qué distancia puede medir con un error relativo de 10 %? ¿Y Gaia, con 0.05 mas?

8. En el ejemplo del cerro, explica por qué un error de 1° cambia tanto la distancia. Relaciónalo con lo que pasa con las estrellas lejanas.

9. Un estudiante dice: «Si observo una estrella en enero y en julio y no veo ningún cambio, la Tierra no se mueve». Escribe un argumento con números de por qué esa conclusión es errónea si usa solo sus ojos (resolución ≈ 1′).

Recuerda

• $\tan\theta = \text{opuesto}/\text{adyacente}$: con un cateto y un ángulo se obtiene el otro cateto.
• Paralaje: $\tan p = 1\ \text{UA}/d$; para ángulos pequeños $\tan p \approx p$ (radianes) con error relativo $\approx p^2/3$.
• $1\ \text{pc} = 648\,000/\pi\ \text{UA} \approx 206\,265\ \text{UA} \approx 3.26$ años luz, y $d\,[\text{pc}] = 1/p\,['']$.
• Próxima Centauri: $p = 768.07$ mas (Gaia DR3) $\Rightarrow d = 1.302$ pc $= 4.25$ años luz.
• El error relativo de $d$ es el de $p$: la paralaje solo sirve para estrellas cercanas.