Educación Secundaria / Leyes de Kepler y gravitación

Gravitación universal y satélites

La ley de Newton explica las leyes de Kepler: órbita circular v = √(GM/r), órbita geoestacionaria, velocidad de escape y los satélites colombianos FACSAT-1 y FACSAT-2 con sus números reales.

⏱ 165 min potencias y raícesproporcionalidad inversa al cuadradovectores en el planodespeje de ecuacionesnotación científicapropagación de errores revision

Al terminar podrás:

Enunciar la ley de gravitación universal, identificar cada símbolo y calcular fuerzas y campos gravitacionales con GM⊕ y GM☉.
Deducir la velocidad y el periodo de una órbita circular, v = √(GM/r) y T = 2π√(r³/GM), y reconocer en ellos la tercera ley de Kepler.
Calcular el radio de la órbita geoestacionaria y la velocidad de escape de la Tierra, la Luna y Marte.
Describir con datos verificados los satélites colombianos FACSAT-1 y FACSAT-2 y explicar por qué una órbita baja decae.
Estimar la masa de la Tierra con un péndulo y analizar la propagación del error.

Entre 2018 y 2023, un satélite colombiano del tamaño de una caja de zapatos, FACSAT-1, pasó sobre Colombia unas quince veces al día a casi 7.6 km/s, a 500 km de altura. ¿Por qué no se caía? La respuesta sorprende: sí se estaba cayendo todo el tiempo. Lo que lo mantenía en órbita era ir tan rápido de lado que, mientras caía, la Tierra se curvaba bajo él. Para convertir esa idea en números necesitamos la ley que Newton publicó en 1687.

1. La ley de gravitación universal

Ilustración: La ley de gravitación universal

Dos cuerpos de masas $m_1$ y $m_2$ separados una distancia $r$ (entre sus centros) se atraen con una fuerza

F = \frac{G\,m_1\,m_2}{r^2},

donde $G$ es la constante de gravitación universal, $G = 6.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2}$ (CODATA 2018). Es una ley del inverso del cuadrado: si la distancia se duplica, la fuerza se divide entre $2^2 = 4$ ; si se triplica, entre 9.

La fuerza es un vector: tiene tamaño y dirección. Si $\vec r$ es el vector que va del centro de $M$ al cuerpo $m$ , la fuerza sobre $m$ apunta hacia $M$ :

\vec F = -\frac{GMm}{r^2}\,\frac{\vec r}{r},

donde $\vec r/r$ es un vector de longitud 1 en la dirección de $\vec r$ y el signo menos lo invierte (atracción).

El campo gravitacional

Como la fuerza es proporcional a $m$ , conviene definir el campo gravitacional $g = F/m$ , la aceleración que sentiría cualquier masa colocada en ese punto:

g(r) = \frac{GM}{r^2}.

Para la Tierra, los astrónomos no usan $G$ y $M_\oplus$ por separado, sino el producto $GM_\oplus = 3.986\,004 \times 10^{14}\ \text{m}^3\,\text{s}^{-2}$ (valor nominal IAU 2015), que se conoce con muchísima más precisión que $G$ o $M_\oplus$ solos, porque se mide directamente con las órbitas de los satélites.

Ejemplo resuelto 1: el peso en la superficie. Con el radio ecuatorial $R_\oplus = 6.3781 \times 10^{6}\ \text{m}$ ,

g(R_\oplus) = \frac{3.986\,004 \times 10^{14}}{(6.3781 \times 10^{6})^2} = 9.80\ \text{m/s}^2 .

Una estudiante de 60 kg pesa $F = m\,g = 60 \times 9.80 = 588\ \text{N}$ .

Ejemplo resuelto 2: ¿hay gravedad a 500 km de altura? A la altura de FACSAT-1, $r = 6378 + 500 = 6878\ \text{km}$ :

g = \frac{3.986\,004 \times 10^{14}}{(6.878 \times 10^{6})^2} = 8.43\ \text{m/s}^2,

el 86 % del valor en el suelo. Los astronautas no flotan porque «no haya gravedad»: flotan porque caen junto con su nave, exactamente como caerías dentro de un ascensor al que le cortaran el cable.

Ejemplo resuelto 3: la masa de la Tierra. Si de verdad queremos $M_\oplus$ , dividimos:

M_\oplus = \frac{GM_\oplus}{G} = \frac{3.986\,004 \times 10^{14}}{6.674\,30 \times 10^{-11}} = 5.972 \times 10^{24}\ \text{kg}.

2. Satélites: la órbita circular

Ilustración: Satélites: la órbita circular

Un cuerpo que se mueve en círculo de radio $r$ con rapidez $v$ necesita una aceleración hacia el centro $a_c = v^2/r$ (aceleración centrípeta). En una órbita circular, esa aceleración la da toda la gravedad:

\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,v = \sqrt{\frac{GM}{r}}\,}

El satélite no necesita motor: la gravedad hace el trabajo de doblar su trayectoria. Observa la raíz: cuanto más alta la órbita, más lento va el satélite, con $v \propto r^{-1/2}$ .

El periodo es el tiempo de una vuelta, longitud de la circunferencia entre rapidez:

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \qquad\Longrightarrow\qquad T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3 .

¡Es la tercera ley de Kepler! Newton no solo la explicó: nos dijo cuánto vale la «constante», $4\pi^2/GM$ , y por eso la ley sirve para pesar cualquier cuerpo que tenga satélites.

Ejemplo resuelto 4: FACSAT-1. Su órbita estaba entre 476 y 499 km de altura; tomemos $h \approx 488\ \text{km}$ sobre el radio medio $R_\oplus = 6371\ \text{km}$ , es decir, $r = 6859\ \text{km} = 6.859 \times 10^{6}\ \text{m}$ :

v = \sqrt{\frac{3.986\,004 \times 10^{14}}{6.859 \times 10^{6}}} = 7.62 \times 10^{3}\ \text{m/s} = 7.62\ \text{km/s},

T = \frac{2\pi \times 6.859 \times 10^{6}}{7.62 \times 10^{3}} = 5653\ \text{s} \approx 94\ \text{min}.

En un día de 1440 min caben $1440/94.2 \approx 15.3$ vueltas. La Fuerza Aérea informó que en sus dos primeros años FACSAT-1 dio 11 069 vueltas a la Tierra: $11\,069 / 730.5 \approx 15.2$ por día. Nuestro modelo de tres líneas acierta.

Órbita	$r$ (km)	$v$ (km/s)	$T$
Baja, 500 km (FACSAT, Estación Espacial)	6 878	7.61	94.6 min
GPS, 20 200 km	26 578	3.87	11 h 58 min
Geoestacionaria, 35 786 km	42 164	3.07	23 h 56 min
La Luna, 384 400 km	384 400	1.02	27.5 días

3. La órbita geoestacionaria

Las antenas de televisión satelital apuntan siempre al mismo punto del cielo. Eso solo es posible si el satélite da una vuelta en el mismo tiempo en que la Tierra gira una vez sobre su eje: el día sidéreo, $T = 23\ \text{h}\ 56\ \text{min}\ 4\ \text{s} = 86\,164\ \text{s}$ (no 24 h: el día solar es un poco más largo porque la Tierra también avanza en su órbita).

Despejamos $r$ de la tercera ley:

r = \sqrt[3]{\frac{GM\,T^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{3.986\,004 \times 10^{14} \times 86\,164^2}{4\pi^2}} = 4.216 \times 10^{7}\ \text{m} = 42\,164\ \text{km}.

Restando el radio ecuatorial, la altura es $42\,164 - 6378 = 35\,786\ \text{km}$ . Y la rapidez, $v = 2\pi r / T = 3.07\ \text{km/s}$ .

Una órbita geoestacionaria tiene que estar sobre el ecuador: el plano de cualquier órbita pasa por el centro de la Tierra, y solo el plano ecuatorial gira «junto con» un punto fijo del suelo. Colombia, atravesada por el ecuador en Leticia, es un lugar privilegiado para ver estos satélites casi en el cenit.

4. Velocidad de escape

¿Qué tan rápido hay que lanzar algo para que no regrese nunca? Usamos la energía. Un cuerpo de masa $m$ a distancia $r$ con rapidez $v$ tiene energía mecánica

E = \underbrace{\tfrac12 m v^2}_{\text{cinética}} \;\underbrace{-\;\frac{GMm}{r}}_{\text{potencial}} .

La energía potencial gravitacional es negativa y vale cero «en el infinito». La energía se conserva, así que el cuerpo llega al infinito (con rapidez cero, el caso límite) justo cuando $E = 0$ :

\tfrac12 m v_{\text{esc}}^2 - \frac{GMm}{R} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\,v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\,}

Fíjate: la masa $m$ se cancela (una pluma y un cohete necesitan la misma rapidez) y $v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\,v_{\text{circ}}$ : escapar exige un 41 % más de rapidez que orbitar a ras de superficie.

Ejemplo resuelto 5: la Tierra.

v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 \times 3.986\,004 \times 10^{14}}{6.3781 \times 10^{6}}} = 1.118 \times 10^{4}\ \text{m/s} \approx 11.2\ \text{km/s}.

(La NASA da 11.186 km/s con el radio medio.) La Luna: con $GM = 4.90 \times 10^{12}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ y $R = 1738\ \text{km}$ , $v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 4.90 \times 10^{12}/1.738 \times 10^{6}} = 2.37\ \text{km/s}$ : por eso el módulo lunar del Apolo pudo despegar con un motor tan pequeño.

Simulador: el cañón de Newton

Newton imaginó un cañón en una montaña por encima del aire. El simulador integra la gravedad real de la Tierra:

Con la montaña de 10 km, busca la rapidez más baja con la que la bala da la vuelta completa. Compárala con $\sqrt{GM_\oplus/r}$ para $r = R_\oplus + 10$ km.
Sube un poco la rapidez: la órbita se vuelve elíptica. ¿Dónde queda el perigeo?
Multiplica la rapidez circular por $\sqrt 2 \approx 1.41$ : la bala escapa. Comprueba que es la velocidad de escape de la sección anterior.
Cambia la altura a 400 km (la de la Estación Espacial) y lee el periodo de la órbita circular.

Orbita: órbita casi circular de periodo 84.7 min; perigeo a 10 km y apogeo a 13 km de altura. Cae alrededor de la Tierra sin tocarla.

Altura del cañón: 10 km (r₀ = 6 388 km)
v circular a esa altura: 7.90 km/s
v de escape a esa altura: 11.17 km/s (= √2 · v_c)
Energía específica ε: -31.19 MJ/kg (ligado)
Excentricidad e: 0.000
Tiempo simulado: 0 s

Rapidez del disparo v = 7.90 km/sAltura de la montañaEncuadreVelocidad de la animación = 120× (mínimo 2 s por disparo)

Experimento mental de Newton (Principia, 1687, definición V; dibujado en De mundi systemate, 1728): cuanto más rápido sale la bala, más lejos cae; con v_c = √(GM⊕/r₀) «cae alrededor» de la Tierra y nunca llega al suelo. Gravedad newtoniana −GM⊕ r/r³ integrada con RK4 (GM⊕ y R⊕ nominales IAU 2015); se ignora el aire (a 10 km de altura la atmósfera frenaría la bala en segundos) y la rotación terrestre. La Tierra y las trayectorias están a escala; la montaña se dibuja con una altura mínima para que se vea. Elipse: ε = v²/2 − GM⊕/r₀, a = −GM⊕/2ε, e = √(1 + 2εh²/GM⊕²) con h = r₀v; T = 2π√(a³/GM⊕). Rosa: cae; verde: orbita; amarillo: escapa (ε ≥ 0).

5. Los satélites colombianos

FACSAT-1 fue el primer satélite de la Fuerza Aérea Colombiana: un CubeSat 3U (tres cubos de 10 cm apilados), de 4 kg, con plataforma de la empresa danesa GomSpace y una cámara de 30 m por píxel. Despegó el 29 de noviembre de 2018 a las 04:15 UTC (23:15 del 28 en Colombia) en el cohete PSLV-C43 de la India, desde el Centro Espacial Satish Dhawan, junto con otros 30 satélites. Su órbita: 476–499 km de altura e inclinación 97.48°.

Esa inclinación, mayor que 90°, significa que el satélite iba casi de polo a polo y un poco «al revés» del giro de la Tierra. Es una órbita heliosíncrona: el plano de la órbita gira a lo largo del año al mismo ritmo que la Tierra alrededor del Sol, de modo que el satélite pasa sobre cada lugar a la misma hora solar todos los días, ideal para comparar fotos.

FACSAT-1 reentró en la atmósfera el 3 de junio de 2023. ¿Por qué cae un satélite si no hay motor que lo frene? A 500 km todavía hay una atmósfera tenue. El roce le quita energía, la órbita baja y, paradójicamente, el satélite se acelera (recuerda: $v = \sqrt{GM/r}$ crece si $r$ baja). Cada vez más abajo hay más aire, así que la caída se acelera hasta la reentrada. Cuanto más baja la órbita, más corta la vida del satélite; en la órbita geoestacionaria, donde ya no hay aire, prácticamente no decae.

FACSAT-2 «Chiribiquete», un CubeSat 6U, despegó el 15 de abril de 2023 en un Falcon 9 de SpaceX (misión Transporter-7) desde Vandenberg, California, a una órbita heliosíncrona de unos 500 km, con cámara multiespectral y un espectrómetro para gases de efecto invernadero. Según la prensa, reentró el 27 de octubre de 2025.

Simulador: la rapidez depende de la distancia

El simulador resuelve la órbita exacta alrededor del Sol y muestra abajo $T$ , $r$ y $v$ . Usa $GM_\odot = 1.327\,124\,4 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ y $1\ \text{UA} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{m}$ .

Pon $e = 0$ y $a = 1.00$ UA. Lee $v$ : debe dar $\sqrt{GM_\odot/\text{UA}} \approx 29.8\ \text{km/s}$ , la rapidez de la Tierra.
Mueve $a$ hasta 4.00 UA. ¿A qué fracción bajó $v$ ? (Predicción: $1/\sqrt{4} = 1/2$ .) ¿Y $T$ ? (Predicción: $4^{3/2} = 8$ años.)
Pon $a = 0.39$ UA (Mercurio). Comprueba que $v \approx 29.8/\sqrt{0.39} \approx 47.7\ \text{km/s}$ .
Ahora $a = 1$ UA y $e = 0.9$ : mira cómo $v$ cambia entre el perihelio y el afelio. La fórmula $v = \sqrt{GM/r}$ ya no basta (la órbita no es circular); la que vale es la de vis-viva, $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ . Compruébala con una lectura cualquiera de $r$ y $v$ .

Semieje mayor a = 1.00 UAExcentricidad e = 0.500Velocidad = 0.30 años/s

Periodo T = 1.000 años · t = 0.000 años · r = 0.000 UA · v = 0.00 km/s

Reto: un viaje a Marte

Para ir a Marte, una nave no apunta hacia el planeta: acelera en la dirección en que se mueve la Tierra y sube por una elipse que toca la órbita de la Tierra y la de Marte (la transferencia de Hohmann). El viaje dura unos 259 días, así que hay que salir cuando Marte va unos 44° por delante de la Tierra.

Elige Marte y pulsa «Usar ángulo óptimo». Anota el tiempo de vuelo y el $\Delta v$ total.
Cambia el ángulo de fase 10° y relanza. ¿Por cuántos millones de kilómetros falla la nave?
Lee el periodo sinódico: es cada cuánto se repite la ventana de lanzamiento. Exprésalo en años.

Acierto: con γ = 44° la nave llega a Marte tras 259 d (desfase -0.3° respecto al óptimo).

Δv₁ (salida): 2.94 km/s
Δv₂ (llegada): 2.65 km/s
Δv total heliocéntrico: 5.59 km/s
Tiempo de vuelo: 259 d
Ángulo de fase óptimo γ: 44.3°
Periodo sinódico (ventana): cada 780 d
v∞ de salida · C3: 2.94 km/s · 8.7 km²/s²
Δv desde LEO (300 km): 3.59 km/s
Tiempo transcurrido: 0 d

DestinoÁngulo de fase de salida γ = 44.0° (óptimo 44.3°)Velocidad de la animación = 30 días/sModo Comprimir distancias (escala √r)

Aproximación: órbitas circulares y coplanares (radios = semiejes mayores J2000), impulsos instantáneos, solo la gravedad del Sol (μ☉ IAU 2015). Hohmann: a_t = (r₁ + r₂)/2, Δv₁ = √(μ/r₁)(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1), Δv₂ = √(μ/r₂)(1 − √(2r₁/(r₁+r₂))), t = π√(a_t³/μ). Ángulo de fase γ = π − n₂t (medido desde la Tierra hacia delante); la ventana se repite cada periodo sinódico 1/S = |1/T₁ − 1/T₂|. v∞ = |Δv₁| respecto a la Tierra, C3 = v∞²; Δv desde la órbita de aparcamiento √(v∞² + 2μ⊕/r_p) − √(μ⊕/r_p) (efecto Oberth). Acierto si el error angular de llegada es ≤ 2° (tolerancia didáctica). La × marca el punto de llegada y el círculo punteado dónde estará el planeta en ese instante.

Actividad: pesar la Tierra con un péndulo

Materiales: 1 m de hilo, una tuerca, cinta métrica, cronómetro (el del celular).

Cuelga la tuerca del hilo y mide la longitud $L$ desde el punto de suspensión hasta el centro de la tuerca.
Sepárala menos de 10° de la vertical y suéltala. Cronometra 10 oscilaciones completas y divide entre 10: ese es el periodo $T$ .
Repite tres veces y promedia. Para ángulos pequeños, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , así que $g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}.$
Con $g$ y el radio medio $R_\oplus = 6.371 \times 10^{6}\ \text{m}$ , calcula la masa de la Tierra: $M_\oplus = \frac{g\,R_\oplus^2}{G}.$ Con $L = 1.000\ \text{m}$ y $T = 2.006\ \text{s}$ sale $g = 9.81\ \text{m/s}^2$ y $M_\oplus \approx 5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$ .

Pregunta final: si te equivocas en 0.05 s al medir $T$ , ¿en qué porcentaje cambia $M_\oplus$ ? (Pista: $M \propto 1/T^2$ , así que el error relativo de $M$ es el doble del de $T$ .) ¿Por qué conviene cronometrar 10 oscilaciones y no una?

Ejercicios

Básico

Dos estudiantes de 60 kg están sentados a 1.0 m de distancia (entre centros). ¿Con qué fuerza se atraen? Compárala con el peso de un cabello (unos $10^{-5}$ N).

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$F = G m_1 m_2 / r^2 = 6.674 \times 10^{-11} \times 60 \times 60 / 1^2 = 2.4 \times 10^{-7}\ \text{N}$ : unas 40 veces menos que el peso de un cabello. La gravedad solo se nota cuando una de las masas es planetaria.

La Estación Espacial Internacional orbita a unos 420 km de altura. Calcula su rapidez y su periodo (usa $R_\oplus = 6371$ km).

Ver solución

$r = 6791\ \text{km}$ . $v = \sqrt{3.986 \times 10^{14}/6.791 \times 10^{6}} = 7.66\ \text{km/s}$ ; $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 6.791 \times 10^{6}/7661 = 5570\ \text{s} \approx 93\ \text{min}$ .

Calcula el campo gravitacional en la superficie de la Luna ( $GM = 4.90 \times 10^{12}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ , $R = 1738\ \text{km}$ ). ¿Cuánto pesaría allí la estudiante de 60 kg?

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$g = 4.90 \times 10^{12}/(1.738 \times 10^{6})^2 = 1.62\ \text{m/s}^2$ , la sexta parte del terrestre. Peso: $60 \times 1.62 = 97\ \text{N}$ (su masa sigue siendo 60 kg).

Medio

Los satélites GPS dan dos vueltas por día sidéreo ( $T = 43\,082\ \text{s}$ ). Calcula el radio de su órbita y su altura.

Ver solución

$r = \sqrt[3]{GM\,T^2/4\pi^2} = \sqrt[3]{3.986 \times 10^{14} \times 43\,082^2 / 39.48} = 2.656 \times 10^{7}\ \text{m} = 26\,560\ \text{km}$ ; altura $\approx 26\,560 - 6378 \approx 20\,180\ \text{km}$ .

La Luna está a $384\,400\ \text{km}$ del centro de la Tierra. Con $GM_\oplus$ calcula su rapidez orbital y su periodo en días. Compara con el periodo sidéreo medido, 27.32 días.

Ver solución

$v = \sqrt{3.986 \times 10^{14}/3.844 \times 10^{8}} = 1018\ \text{m/s} \approx 1.02\ \text{km/s}$ . $T = 2\pi \times 3.844 \times 10^{8}/1018 = 2.372 \times 10^{6}\ \text{s} = 27.45\ \text{días}$ . Sale un 0.5 % más que el valor medido. El ejercicio 8 explica la diferencia.

Marte: $GM = 4.283 \times 10^{13}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ , $R = 3396\ \text{km}$ . Calcula su velocidad de escape y compárala con la terrestre.

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$v_{\text{esc}} = \sqrt{2 \times 4.283 \times 10^{13}/3.396 \times 10^{6}} = 5.02\ \text{km/s}$ (NASA: 5.03), menos de la mitad de los 11.2 km/s terrestres: despegar de Marte es mucho más barato que despegar de la Tierra.

Reto

Con $GM_\odot = 1.327 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$ y $r = 1\ \text{UA} = 1.496 \times 10^{11}\ \text{m}$ , calcula el periodo de la Tierra en días a partir de $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$ . Explica por qué este resultado demuestra que la tercera ley de Kepler es consecuencia de la ley de Newton.

Ver solución

$T = 2\pi\sqrt{(1.496 \times 10^{11})^3/1.327 \times 10^{20}} = 3.156 \times 10^{7}\ \text{s} = 365.3\ \text{días}$ . Al deducir $T^2 = (4\pi^2/GM)\,r^3$ de $v^2/r = GM/r^2$ , la relación $T^2 \propto r^3$ aparece con una constante que depende solo de la masa central: es exactamente lo que Kepler había encontrado empíricamente para todos los planetas.

En el ejercicio 5 el periodo calculado (27.45 d) superó al medido (27.32 d). Supón que la fórmula correcta usa la suma de los parámetros, $G(M_\oplus + M_{\text{Luna}})$ , y despeja $GM_{\text{Luna}}$ a partir del periodo medido. ¿Qué fracción de $GM_\oplus$ obtienes?

Ver solución

$G(M_\oplus + M_L) = 4\pi^2 r^3/T^2 = 4\pi^2 (3.844 \times 10^{8})^3/(27.3217 \times 86\,400)^2 = 4.02 \times 10^{14}$ . Restando $GM_\oplus$ : $GM_L \approx 3.8 \times 10^{12}$ , un $\approx 1\,\%$ de $GM_\oplus$ . El valor real es $4.90 \times 10^{12}$ (1.23 %, es decir, 1/81); la diferencia restante viene de que 384 400 km es una distancia media redondeada y de la atracción del Sol. La idea importante: la Luna es tan masiva que la Tierra también orbita alrededor del centro de masa común.

Un satélite en órbita circular tiene energía mecánica $E = -GMm/(2r)$ (usa $v^2 = GM/r$ para comprobarlo). Explica con esta fórmula por qué el roce con la atmósfera, que quita energía, hace que el satélite vaya más rápido.

Ver solución

$E = \tfrac12 m\,GM/r - GMm/r = -GMm/(2r)$ . Quitar energía hace $E$ más negativa, lo que exige $r$ menor; y con $r$ menor, $v = \sqrt{GM/r}$ es mayor. La energía perdida por roce sale toda de la potencial (que baja el doble de lo que sube la cinética).

Recuerda

$F = G m_1 m_2/r^2$ : inverso del cuadrado; el campo es $g = GM/r^2$ y en la superficie terrestre vale 9.80 m/s².
Órbita circular: $v = \sqrt{GM/r}$ y $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$ , que es la tercera ley de Kepler con constante $4\pi^2/GM$ .
Geoestacionaria: $T = 86\,164$ s $\Rightarrow r = 42\,164$ km, 35 786 km de altura, solo sobre el ecuador.
Velocidad de escape: $v_{\text{esc}} = \sqrt{2GM/R} = \sqrt{2}\,v_{\text{circ}}$ ; para la Tierra, 11.2 km/s.
Un satélite bajo cae por el roce atmosférico y, al caer, se acelera: FACSAT-1 (2018–2023) y FACSAT-2 (2023–2025).

🍎 Guía docente

Tiempo: 3 sesiones de 55 min
Estándar MEN: Ciencias Naturales 10.º a 11.º, entorno físico: «Relaciono masa, distancia y fuerza de atracción gravitacional entre objetos», «Establezco relaciones entre el modelo del campo gravitacional y la ley de gravitación universal» y «Modelo matemáticamente el movimiento de objetos cotidianos a partir de las fuerzas que actúan sobre ellos»; ciencia, tecnología y sociedad: «Identifico tecnologías desarrolladas en Colombia». Matemáticas 10.º a 11.º, pensamiento numérico: «Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada»; pensamiento espacial: «Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias»; pensamiento métrico: «Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos».
Evidencia de aprendizaje: Calcula v y T de un satélite real a partir de su altura, deduce el radio geoestacionario y la velocidad de escape despejando raíces cuadradas y cúbicas, y obtiene la masa de la Tierra con un péndulo estimando el error porcentual.

Materiales

Calculadora científica
Hilo, tuerca, cinta métrica y cronómetro (uno por grupo)
Computador o tableta con el simulador
Impresión de la tabla de órbitas y de los datos de FACSAT-1

Secuencia sugerida

Sesión 1. La ley y el campo (55 min). Inicio con la pregunta del gancho (¿por qué no cae FACSAT-1?). Desarrollo: ley de Newton con sus símbolos, ejemplos resueltos 1–3 (incluida la diferencia entre $G$ , $M$ y $GM$ ). Cierre: ejercicios 1 y 3.

Sesión 2. Órbitas (55 min). Deducción de $v = \sqrt{GM/r}$ y $T$ en el tablero; ejemplo FACSAT-1 y comparación con las 11 069 vueltas reportadas; órbita geoestacionaria. Reto guiado en el simulador (pasos 1–3). Cierre: ejercicios 2, 4 y 5.

Sesión 3. Escape, satélites colombianos y péndulo (55 min). Velocidad de escape con energía (10 min); lectura de la sección de satélites colombianos con discusión sobre por qué decaen las órbitas (10 min); actividad del péndulo por grupos con cálculo de $M_\oplus$ y análisis del error (25 min); mini-prueba (10 min). Los retos 7–9 pueden dejarse como tarea o para el grupo que termine antes.

Errores frecuentes

Creer que en órbita no hay gravedad. Calcular g a 500 km (86 % del valor en el suelo) y usar la imagen del ascensor en caída libre.
Pensar que un satélite más rápido está más alto. Insistir en v ∝ 1/√r con la tabla de órbitas y el simulador.
Usar la altura en lugar del radio orbital (olvidar sumar R⊕) o mezclar km y m en GM. Exigir unidades SI en todo el cálculo.
Confundir masa y peso al cambiar de planeta. Repetir el ejemplo de la estudiante de 60 kg en la Luna.
Suponer que la velocidad de escape depende de la masa del cohete. Mostrar la cancelación de m en el balance de energía.

Palabras clave de esta lección (12)

Términos del glosario que aparecen en el texto. Cada uno enlaza a su ficha completa.

Órbita geoestacionaria Una órbita a 35 786 km de altura sobre el ecuador en la que un satélite tarda exactamente un día en dar la vuelta, así que siempre queda sobre el mismo punto de la Tierra. Ahí están los satélites de televisión.
Ley de gravitación universal La regla de Newton: todos los cuerpos se atraen con una fuerza que crece con sus masas y disminuye con el cuadrado de la distancia. La misma fuerza que hace caer una manzana sujeta a la Luna.
Velocidad de escape La rapidez mínima para lanzar algo y que nunca vuelva a caer: desde la Tierra, 11,2 km/s (unos 40 000 km/h). En la Luna basta con 2,4 km/s.
Órbita El camino que sigue un cuerpo alrededor de otro por la gravedad: la Luna alrededor de la Tierra, la Tierra alrededor del Sol. Casi todas son elipses, óvalos un poco achatados.
Leyes de Kepler Tres reglas sobre cómo se mueven los planetas: (1) siguen elipses con el Sol en un foco, (2) van más rápido cuando están más cerca del Sol y (3) los planetas lejanos tardan mucho más en dar la vuelta.
Masa y peso La masa es cuánta «materia» tienes, y es la misma en cualquier lugar. El peso es la fuerza con que un planeta te atrae: en la Luna pesarías seis veces menos, pero tu masa sería la misma.
Gravedad La fuerza con que un planeta atrae todo hacia su centro. En la Tierra hace caer las cosas a 9,8 m/s cada segundo; en Marte, con menos masa y menos tamaño, es solo un 38 % de la terrestre.
Transferencia de Hohmann La forma más económica de ir de una órbita a otra: dos «acelerones», uno para entrar en una elipse que toca las dos órbitas y otro al llegar. Así se viaja a Marte, y por eso solo se puede cada 26 meses.
Día sidéreo El tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa respecto a las estrellas: 23 h 56 min 4 s. El día de 24 h es un poco más largo porque la Tierra también avanza alrededor del Sol.
Ley del inverso del cuadrado Si pones una luz al doble de distancia, llega cuatro veces menos luz; al triple, nueve veces menos. Pasa igual con la gravedad.
Velocidad orbital La rapidez con que un cuerpo recorre su órbita. La Estación Espacial da la vuelta a la Tierra a 7,7 km/s; la Tierra gira alrededor del Sol a casi 30 km/s.
Unidad astronómica La distancia media entre la Tierra y el Sol. Sirve de «regla» para medir el Sistema Solar: Júpiter está a unas 5 UA del Sol.

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Referencias

Newton, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, libro III.
CODATA (2018). Recommended values of the fundamental physical constants: G = 6.674 30(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻².
IAU (2015). Resolution B3 on recommended nominal conversion constants: (GM)⊕ = 3.986 004 × 10¹⁴ m³ s⁻², (GM)☉ = 1.327 124 4 × 10²⁰ m³ s⁻², R⊕ ecuatorial = 6.3781 × 10⁶ m.
NASA Goddard Space Flight Center, Earth Fact Sheet (nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html): periodo de rotación sidéreo 23.9345 h, radio medio 6371.0 km, velocidad de escape 11.186 km/s.
NASA GSFC, Moon Fact Sheet: GM = 0.00490 × 10⁶ km³/s², radio ecuatorial 1738.1 km, semieje mayor 0.3844 × 10⁶ km, periodo sidéreo 27.3217 d, velocidad de escape 2.38 km/s.
NASA GSFC, Mars Fact Sheet: GM = 0.042828 × 10⁶ km³/s², radio ecuatorial 3396.2 km, velocidad de escape 5.03 km/s.
Krebs, G. D. Gunter's Space Page, FACSAT 1 (space.skyrocket.de/doc_sdat/facsat-1.htm): CubeSat 3U, bus GomSpace, lanzado el 29-11-2018 en PSLV-C43 desde Satish Dhawan (COSPAR 2018-096C), órbita 476 × 499 km, inclinación 97.48°, cámara de 30 m.
Comando General de las Fuerzas Militares de Colombia (2018, 2020). Notas de prensa sobre FACSAT-1 (cgfm.mil.co): masa 4 kg, tres cubos, vida útil prevista 3–5 años, 11 069 vueltas a la Tierra en sus dos primeros años.
Wikipedia (en), FACSAT-1, con datos de N2YO: reentrada el 3 de junio de 2023.
El Espectador (15-04-2023) y Xataka Colombia: FACSAT-2 «Chiribiquete», 6U, lanzado en Falcon 9 (misión Transporter-7) desde Vandenberg, órbita heliosíncrona de unos 500 km; Enter.co (2025): reentrada el 27 de octubre de 2025.
Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, MEN.

Simuladores de esta lección: El cañón de Newton Órbita kepleriana Misión a Marte: transferencia de Hohmann

Gravitación universal y satélites

1. La ley de gravitación universal

El campo gravitacional

2. Satélites: la órbita circular

3. La órbita geoestacionaria

4. Velocidad de escape

Simulador: el cañón de Newton

5. Los satélites colombianos

Simulador: la rapidez depende de la distancia

Reto: un viaje a Marte

Actividad: pesar la Tierra con un péndulo

Ejercicios

✦ Mini-prueba

Recuerda

Materiales

Secuencia sugerida

Errores frecuentes

Referencias