Velocidad, aceleración y derivadas

Un bus recorre los 30 km entre Bogotá y Zipaquirá en una hora: su velocidad media fue de 30 km/h. Pero el velocímetro nunca marcó 30 todo el tiempo: marcó 0 en los semáforos y 80 en la autopista. ¿Qué mide exactamente el velocímetro en un instante? Esa pregunta, tan simple, tardó dos mil años en responderse, y la respuesta (la derivada) es la herramienta con la que un computador predice el movimiento de los planetas.

1. Velocidad media y velocidad instantánea

Sea $x(t)$ la posición de un objeto en el instante $t$. Entre $t$ y $t + h$ el objeto se desplaza $x(t+h) - x(t)$, y su velocidad media es

(en metros sobre segundos). Es la razón de cambio de la posición: cuánto cambia $x$ por cada segundo que pasa.

Ejemplo resuelto 1. Una piedra que cae desde el reposo ha bajado $x(t) = 4.9\,t^2$ metros a los $t$ segundos. ¿Cuál es su velocidad en $t = 2$ s? Calculemos velocidades medias entre $t = 2$ y $t = 2 + h$ con $h$ cada vez menor:

Cuanto más corto es el intervalo, más se acerca $\bar v$ a 19.6 m/s. Decimos que el límite cuando $h \to 0$ es 19.6, y ese valor es la velocidad instantánea: lo que marcaría el velocímetro de la piedra.

La derivada

En general, la velocidad instantánea es la derivada de la posición:

Las dos notaciones, $x'(t)$ (Newton/Lagrange) y $dx/dt$ (Leibniz), significan lo mismo. Geométricamente, el cociente $(x(t+h) - x(t))/h$ es la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica de $x(t)$; al juntar los puntos, la secante se convierte en la recta tangente, y la derivada es su pendiente.

2. Derivar las funciones básicas

Repitiendo el cálculo del ejemplo 1 con una potencia cualquiera se obtiene la regla más usada:

Comprobación para $n = 2$: $\dfrac{(t+h)^2 - t^2}{h} = \dfrac{2th + h^2}{h} = 2t + h \to 2t$. ✓

Además, la derivada de una constante es cero, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y las constantes multiplicativas salen afuera: $(c\,f)' = c\,f'$. Con eso ya derivamos cualquier polinomio:

Para describir vueltas (órbitas, péndulos, mareas) hacen falta dos más, que aceptaremos sin demostración (se deducen de la definición con las identidades de suma de ángulos):

donde $\omega$ (omega) es una constante llamada velocidad angular, en radianes por segundo.

Ejemplo resuelto 2: movimiento circular. Un satélite recorre un círculo de radio $R$ con posición $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$. Sus velocidades son

y la rapidez $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = R\omega\sqrt{\sin^2 + \cos^2} = R\omega$. Como una vuelta son $2\pi$ radianes, el periodo es $T = 2\pi/\omega$ y $v = 2\pi R/T$: la fórmula de la lección anterior, ahora deducida.

3. La aceleración: derivada de la derivada

La aceleración es la razón de cambio de la velocidad, es decir, la derivada de la velocidad, o la segunda derivada de la posición:

Ejemplo resuelto 3: el satélite otra vez. Derivando una vez más las velocidades del ejemplo 2:

Es decir, $\vec a = -\omega^2\,\vec r$: la aceleración apunta hacia el centro y vale $\omega^2 R = v^2/R$. Es la aceleración centrípeta, obtenida solo derivando.

Caída libre

Cerca del suelo, la gravedad produce una aceleración constante hacia abajo, $g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$. Si medimos la altura $x$ hacia arriba:

¿Qué función tiene segunda derivada constante $-g$? Probemos con un polinomio de grado 2 y comprobemos derivando:

Aquí $x_0$ es la altura inicial y $v_0$ la velocidad inicial. Hacen falta dos datos iniciales porque la ecuación tiene dos derivadas.

Ejemplo resuelto 4. Se suelta ($v_0 = 0$) una piedra desde un puente de $x_0 = 20$ m. Llega al agua cuando $x = 0$:

(el signo menos indica «hacia abajo»; unos 71 km/h).

4. Qué es una ecuación diferencial

Las ecuaciones de bachillerato tienen por incógnita un número: $2x + 3 = 7$. En $x'' = -g$ la incógnita es una función, $x(t)$, y la ecuación relaciona esa función con sus derivadas. Eso es una ecuación diferencial. Resolverla es encontrar la función; «comprobar derivando» es la forma más honesta de verificar una solución.

La física está escrita en ecuaciones diferenciales porque la segunda ley de Newton, $F = m\,a$, dice cuánto vale la segunda derivada de la posición: $x'' = F/m$. Conocida la fuerza, conocemos $x''$; la tarea del cálculo es reconstruir $x(t)$.

Cuando $g$ no es constante

La aceleración $g$ solo es constante cerca del suelo. A distancia $x$ del centro de la Tierra, la ley de la gravitación da $a = -GM_\oplus/x^2$, y la ecuación de la caída es

Comprobemos que $-g$ es su aproximación cerca del suelo: con $x = R_\oplus = 6.3781 \times 10^{6}$ m, $GM_\oplus/x^2 = 9.80\ \text{m/s}^2$; a 500 km de altura, $8.43\ \text{m/s}^2$; a 10 radios terrestres, $0.098\ \text{m/s}^2$. Para una piedra que cae 20 m, $g$ cambia una parte en 160 000: usar $-g$ es perfecto. Para un satélite o un meteoro que llega de lejos, no.

Y aquí está la gran diferencia: para $x'' = -GM/x^2$ no existe una fórmula elemental $x(t)$ como la de la caída libre. El cálculo no se rinde: en lugar de una fórmula, construye la solución a pasos, con la propia definición de derivada al revés. Si $h$ es un intervalo corto,

Ejemplo resuelto 5: dos pasos a mano. Un meteoroide está en reposo a $x_0 = 10\,R_\oplus = 6.378 \times 10^{7}$ m. Con $h = 1000$ s:

• Paso 1: $a_0 = -GM/x_0^2 = -3.986 \times 10^{14}/(6.378 \times 10^{7})^2 = -0.0980\ \text{m/s}^2$; $v_1 = 0 + 1000 \times (-0.0980) = -98.0\ \text{m/s}$; $x_1 = x_0 + 1000 \times (-98.0) = 6.368 \times 10^{7}$ m.
• Paso 2: $a_1 = -3.986 \times 10^{14}/(6.368 \times 10^{7})^2 = -0.0983\ \text{m/s}^2$; $v_2 = -98.0 - 98.3 = -196.3\ \text{m/s}$; $x_2 = 6.368 \times 10^{7} - 1.963 \times 10^{5} = 6.349 \times 10^{7}$ m.

La aceleración ya creció un 0.3 % en el segundo paso: el meteoroide cae cada vez más rápido y, además, con una aceleración cada vez mayor. En la siguiente lección haremos esto mismo en dos dimensiones (es el método de Euler), veremos su trampa y cómo arreglarla.

Simulador: la derivada se ve

El simulador resuelve la órbita exacta y muestra, abajo, el tiempo $t$ (en años), la distancia al Sol $r$ y la rapidez $v$.

1. Pon $a = 1$ UA, $e = 0.5$ y la velocidad de animación al mínimo (0.05 años/s): cada segundo real son 0.05 años.
2. Anota $r$ cada 2 segundos (es decir, cada $\Delta t = 0.1$ años) durante media órbita y calcula la velocidad radial media $\Delta r/\Delta t$ en UA/año entre lecturas consecutivas.
3. ¿Dónde cambia de signo $\Delta r/\Delta t$? Debe hacerlo en el perihelio y en el afelio: allí la distancia tiene un mínimo o un máximo y su derivada es cero (la tangente a la gráfica de $r(t)$ es horizontal).
4. Compara la rapidez $v$ que muestra el simulador en el perihelio y el afelio con el cociente $(1+e)/(1-e) = 3$.

Actividad: medir g con el celular

Materiales: celular con video en cámara lenta (120 o 240 cuadros por segundo), una pelota, cinta métrica, una pared con marcas cada 10 cm (o una regla de 1 m pegada), una hoja de cálculo.

1. Pega la cinta métrica en la pared, en vertical. Coloca el celular a unos 2 m, fijo (apoyado o en trípode), con la cinta entera en cuadro.
2. Graba en cámara lenta a un compañero soltando la pelota, sin impulso, desde la marca más alta.
3. Reproduce cuadro a cuadro. Cada cuadro dura $1/240$ s (o $1/120$). Anota la posición $x$ de la pelota cada 12 cuadros ($\Delta t = 0.05$ s) en una tabla $t, x$ con 8 a 10 filas.
4. En la hoja de cálculo añade la columna $v \approx \Delta x/\Delta t$ (diferencia con la fila anterior) y luego $a \approx \Delta v/\Delta t$.
5. Haz la gráfica de $v$ contra $t$: debe ser una recta de pendiente $-g$. Ajusta una línea de tendencia y lee la pendiente.

Pregunta final: ¿cuánto se aleja tu pendiente de 9.8 m/s²? ¿Qué error comete el método de diferencias finitas si el intervalo $\Delta t$ es grande (usa el ejemplo 1: $\bar v = 19.6 + 4.9\,h$)? ¿Y si es tan pequeño que el error al leer la posición (medio centímetro) domina?

Ejercicios

Básico

1. La posición de un carro es $x(t) = 3t^2 + 2t$ (m, s). Calcula $v(t)$ y la velocidad en $t = 1$ s y en $t = 4$ s.

2. Para $x(t) = t^3$, calcula la velocidad media entre $t = 1$ y $t = 1.1$ y la velocidad instantánea en $t = 1$.

3. Un pistón oscila con $y(t) = 2\sin(3t)$ (cm, s). Calcula su velocidad y su aceleración, y comprueba que $y'' = -9\,y$.

Medio

4. Se lanza una pelota hacia arriba con $v_0 = 15$ m/s desde $x_0 = 0$. ¿En qué instante alcanza la altura máxima y cuánto vale? Explica qué tiene que ver con una derivada igual a cero.

5. ¿Qué error porcentual comete la aproximación «$g$ constante» a 500 km de altura? ¿Y a 100 km (frontera convencional del espacio)?

6. Un satélite en órbita circular tiene aceleración $\omega^2 R$ (ejemplo 3), y la gravedad le da $GM/R^2$. Iguala las dos y obtén $\omega$ y el periodo $T$ de FACSAT-1 ($R = 6859$ km).

Reto

7. Demuestra, derivando dos veces, que $\vec r(t) = (R\cos\omega t,\ R\sin\omega t)$ es solución de la ecuación diferencial vectorial $\vec r\,'' = -\dfrac{GM}{R^3}\,\vec r$ si y solo si $\omega^2 = GM/R^3$. Concluye la tercera ley de Kepler.

8. Demuestra a partir de la definición de derivada que $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\dfrac{1}{x^2}$. (Esta derivada aparece en la energía potencial $-GMm/x$: su derivada cambiada de signo es la fuerza.)

9. Repite el ejemplo 5 con $h = 500$ s durante cuatro pasos (hasta $t = 2000$ s) y compara $x_4$ con el $x_2$ del ejemplo. ¿Cuál de los dos cálculos es más confiable y por qué?

Recuerda

• Velocidad media: $\Delta x/\Delta t$. Velocidad instantánea: su límite cuando $\Delta t \to 0$, la derivada $x'(t)$, pendiente de la tangente.
• Reglas: $(t^n)' = n\,t^{n-1}$, $(\sin\omega t)' = \omega\cos\omega t$, $(\cos\omega t)' = -\omega\sin\omega t$.
• Aceleración: $a = x''$. En el círculo, $\vec a = -\omega^2\vec r$; en la caída libre, $x'' = -g$ con solución $x_0 + v_0 t - \tfrac12 g t^2$.
• Una ecuación diferencial tiene por incógnita una función; $F = ma$ es una. Se comprueba derivando.
• $x'' = -GM/x^2$ no tiene fórmula elemental: se resuelve a pasos, $v \leftarrow v + h\,a$, $x \leftarrow x + h\,v$.