Medir la Tierra con otro colegio

La idea en una línea

Los rayos del Sol llegan paralelos a toda la Tierra. En dos ciudades del mismo meridiano, el ángulo que forma la sombra con el gnomon difiere exactamente en el ángulo $\Delta\alpha$ que separa las dos ciudades vistas desde el centro de la Tierra (ángulos alternos internos). Si la distancia entre ellas es $d$,

donde $C$ es la circunferencia de la Tierra y $R$ su radio. No hace falta que sea el equinoccio: basta con que los dos colegios midan el mismo día, cada uno a su mediodía solar, porque la inclinación del Sol es la misma para ambos y se cancela al restar.

Fases del proyecto

Semana 1 — Geometría y colegio aliado

1. Con la lección Ángulos, paralelas y sombras demostramos con dibujos que los ángulos alternos internos son iguales y que, por eso, la diferencia de ángulos de sombra es el ángulo central entre las ciudades.
2. Leemos la historia en Eratóstenes midió la Tierra y reproducimos su cálculo: $1/50$ de círculo y 5 000 estadios.
3. Buscamos el colegio aliado: lo más al norte o al sur posible y con longitud parecida (diferencia menor de 1°). Acordamos por correo la fecha de medición (un día con pronóstico despejado en ambas ciudades) y un plan B una semana después.
4. Anotamos las coordenadas de los dos colegios (atlas o mapa digital) y calculamos la distancia norte–sur entre ellos: diferencia de latitud × 111,2 km/°. Esta distancia se guarda «en sobre cerrado» hasta la semana 4 (opcional: también se puede medir en el mapa con la escala).

Semana 2 — El gnomon y el ensayo

1. Construimos el gnomon y comprobamos con la plomada que está vertical y con el nivel que el suelo es horizontal. Medimos su altura $L$ con precisión de milímetros.
2. Ensayo de mediodía: desde 40 minutos antes del mediodía esperado (en Colombia, entre las 11:15 y las 12:30 según la ciudad y la fecha) marcamos la punta de la sombra cada 3 minutos. La más corta es la del mediodía solar; anotamos su hora.
3. Con el simulador Eratóstenes mide la Tierra ensayamos el cálculo con los datos de dos ciudades y vemos cómo cambia el resultado si el ángulo tiene medio grado de error.
4. Acordamos con el aliado el formato de la hoja de datos: fecha, hora de la sombra más corta, $L$, $s$ (sombra), dirección de la sombra, nombre de quien midió, condiciones del cielo.

Semana 3 — El día de la medición

1. Cada colegio mide a su mediodía solar la sombra más corta $s$ y la altura $L$ del gnomon. Repetimos la medida de $s$ tres veces con personas distintas y tomamos el promedio.
2. Calculamos el ángulo $\alpha$ entre el rayo de Sol y el gnomon: dibujamos a escala el triángulo rectángulo de catetos $L$ y $s$ en papel milimetrado y medimos el ángulo en la punta de la sombra con el transportador (o usamos la tabla de $s/L$ de la lección; en 7.º, $\alpha = \tan^{-1}(s/L)$).
3. Anotamos si la sombra apunta al norte o al sur: si en las dos ciudades apunta al mismo lado, $\Delta\alpha$ es la resta de los ángulos; si apunta a lados opuestos (el Sol está entre las dos latitudes), es la suma.
4. Enviamos la hoja de datos al aliado el mismo día.

Semana 4 — El cálculo

1. Con los dos ángulos calculamos $\Delta\alpha$ y, abriendo el sobre, con $d$ calculamos $C = d \times 360°/\Delta\alpha$ y $R = C/(2\pi)$.
2. Ejemplo con datos de la lección: Bogotá y Santa Marta, $d = 726$ km y $\Delta\alpha = 6{,}53°$: $C = 726 \times 360/6{,}53 \approx 40\,000$ km y $R \approx 6\,370$ km.
3. Comparamos con el valor de referencia $R = 6\,371$ km: error absoluto $|R_{\text{medido}} - 6\,371|$ y error porcentual $= \text{error absoluto} / 6\,371 \times 100\,\%$. Meta: menos de 10 %.
4. Propagación del error: recalculamos $C$ con $\Delta\alpha \pm 0{,}5°$. Con $\Delta\alpha = 6{,}5°$, medio grado es casi el 8 %: el resultado cambia en esa misma proporción. Esa es la principal fuente de error del método.

Semana 5 — Informe conjunto y videollamada

1. Redactamos el informe con las secciones: pregunta, método, datos de ambos colegios, cálculo, error y causas (verticalidad, borde borroso de la sombra, hora, distancia), conclusiones.
2. Videollamada con el aliado: cada colegio presenta sus datos y comparamos resultados. Si cada uno calculó por separado, ¿coinciden? (Deberían: es el mismo cálculo.)
3. Discutimos la pregunta de la lección: para medir $d$ usamos un mapa hecho por quienes ya sabían el tamaño de la Tierra; ¿cómo mediríamos $d$ sin mapa? (Odómetro de un vehículo, tiempo de viaje, GPS…)

Semana 6 — Cartel y cierre

1. Cartel para el colegio: «Medimos la Tierra: $R =$ ___ km (error ___ %)», con el dibujo de los dos gnomones, los rayos paralelos y el ángulo central.
2. Recogemos ideas para la próxima medición: ¿qué mejoraríamos? (Gnomon más alto, más repeticiones, día más despejado, aliado más lejano.)
3. Opcional: enviar los datos a la lección de Eratóstenes del siguiente curso como ejemplo resuelto del colegio.

Matemáticas del proyecto

• Ángulos alternos internos: dos rectas paralelas (los rayos de Sol) cortadas por una secante (la prolongación de un gnomon hasta el centro de la Tierra) forman ángulos alternos internos iguales. Por eso $\Delta\alpha$ es, a la vez, la diferencia de ángulos de sombra y el ángulo central.
• Proporción: $\Delta\alpha$ es a $360°$ como $d$ es a $C$. Es una regla de tres: $C = d \times 360° / \Delta\alpha$.
• De $C$ a $R$: $R = C / (2\pi)$, con $\pi \approx 3{,}1416$.
• Error porcentual: $\dfrac{|R_{\text{medido}} - R_{\text{referencia}}|}{R_{\text{referencia}}} \times 100\,\%$.
• Sensibilidad: si $\Delta\alpha$ cambia un $p\,\%$, $C$ cambia aproximadamente el mismo $p\,\%$ (en sentido contrario), porque $C$ es inversamente proporcional a $\Delta\alpha$.

Rúbrica de evaluación

Variantes y extensiones

• Sin aliado: practicar el método completo con el balón de la lección (actividad «Eratóstenes con un balón») o usar como segunda ciudad los datos de la lección para Bogotá o Santa Marta.
• Tres o más colegios: con varios pares se obtienen varios $R$; calcular el promedio y la dispersión.
• 7.º: repetir con $\alpha = \tan^{-1}(s/L)$ y expresar $C$ en notación científica ($4{,}0 \times 10^{4}$ km); comparar con el valor actual y discutir cifras significativas.
• Duración del día: el mismo día, cada colegio registra la hora de salida y puesta del Sol y compara: la lección de duración del día explica la diferencia.

Inclusión

• La sombra se marca con tiza y se mide con cinta: tareas que se reparten entre quien marca, quien lee la cinta, quien anota y quien cronometra; todos rotan.
• El gnomon puede montarse sobre una mesa accesible para estudiantes en silla de ruedas; la sombra cae igual sobre una cartulina horizontal.
• El dibujo a escala del triángulo permite hallar el ángulo sin calculadora ni trigonometría; la tabla de $s/L$ es otra vía.
• El informe admite formatos distintos: escrito, video, infografía o presentación oral.

Seguridad

• Nunca mirar el Sol directamente. El método usa la sombra, no el Sol. Tampoco se mira a través de lentes, binoculares o el celular sin filtro certificado.
• Trabajo al mediodía bajo sol intenso: sombrero, agua, protector solar y turnos cortos; la espera entre marcas se hace a la sombra.
• Si se construye un gnomon alto, debe quedar bien anclado para que no caiga con el viento.