Ángulos, paralelas y sombras

Un día de marzo, al mediodía, un palo de 1 m clavado en un patio de Bogotá hace una sombra de apenas 8 cm. El mismo día, a la misma hora solar, un palo igual en Madrid (España) hace una sombra de 85 cm. El Sol es el mismo y los palos son iguales. ¿Por qué las sombras son tan distintas?

La respuesta está en un ángulo. Y ese ángulo, como verás al final, es el mismo que se forma en el centro de la Tierra. Con esta idea, hace 2 200 años, Eratóstenes midió el tamaño del planeta. Hoy vas a aprender la geometría que lo hizo posible.

1. Ángulos: medir cuánto se abre

Un ángulo es la abertura entre dos semirrectas (los lados) que salen de un mismo punto (el vértice). Se mide en grados ($°$): una vuelta completa son $360°$, así que

Según su medida, un ángulo es agudo (menos de $90°$), recto ($90°$), obtuso (entre $90°$ y $180°$) o llano ($180°$).

Para medirlo usamos el transportador: el centro del transportador va en el vértice, el cero sobre uno de los lados, y se lee dónde cruza el otro lado.

Dos parejas que se repiten mucho:

• Dos ángulos son suplementarios si suman $180°$ (por ejemplo, $50°$ y $130°$).
• Dos ángulos son complementarios si suman $90°$ (por ejemplo, $15°$ y $75°$).

2. Dos rectas paralelas cortadas por una secante

Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y nunca se cortan, por mucho que las prolonguemos: siempre guardan la misma distancia entre sí, como los rieles de un tren.

Una recta que corta a otras dos se llama secante (o transversal). Cuando una secante $t$ corta a dos rectas paralelas $r$ y $s$, se forman ocho ángulos, cuatro en cada cruce. Los nombramos según su posición:

• Internos: los cuatro que quedan entre las dos paralelas. Externos: los cuatro que quedan fuera.
• Alternos: dos ángulos que están a lados opuestos de la secante.
• Correspondientes: dos ángulos que ocupan la misma posición en cada cruce (por ejemplo, «arriba a la derecha» en los dos).
• Opuestos por el vértice: dos ángulos del mismo cruce que solo comparten el vértice.

Propiedad. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante:

• los ángulos alternos internos son iguales;
• los ángulos correspondientes son iguales;
• los ángulos opuestos por el vértice son iguales;
• dos ángulos vecinos del mismo cruce (adyacentes) son suplementarios: suman $180°$.

¿Por qué los alternos internos son iguales? Un ángulo y su alterno interno se corresponden al girar media vuelta la figura alrededor del punto medio del segmento de secante que queda entre las paralelas. Ese giro lleva cada paralela sobre la otra y la secante sobre sí misma, así que un ángulo cae exactamente sobre el otro.

Ejemplo resuelto 1: los ocho ángulos

Dos rectas paralelas son cortadas por una secante. Uno de los ángulos internos mide $50°$. ¿Cuánto miden los otros siete?

1. Su adyacente mide $180° - 50° = 130°$.
2. Su opuesto por el vértice mide también $50°$; el opuesto del adyacente, $130°$.
3. En el otro cruce, el correspondiente mide $50°$ y, aplicando los pasos 1 y 2, allí también hay dos de $50°$ y dos de $130°$.

En total: cuatro ángulos de $50°$ y cuatro de $130°$. Con dos paralelas y una secante basta conocer un ángulo para saber los ocho.

3. Los rayos del Sol llegan paralelos

El Sol está a unos $150$ millones de kilómetros (exactamente, la distancia media Tierra–Sol es $149\,597\,870.7$ km, la unidad astronómica). Sus rayos salen en todas direcciones, pero los que llegan a la Tierra forman entre sí un ángulo diminuto.

Piénsalo así: dos rayos que caen en dos ciudades separadas $1\,000$ km forman en el Sol un ángulo que abarca $1\,000$ km a $150\,000\,000$ km de distancia: es como mirar una moneda de 1 cm a 1.5 km. Ese ángulo mide unos $0.0004°$, imposible de notar con un transportador.

Por eso, para todo lo que haremos, los rayos del Sol que llegan a distintos lugares de la Tierra son rectas paralelas. Esa es la primera idea de Eratóstenes.

4. Medir un ángulo con una sombra

Un palo vertical que se usa para estudiar sombras se llama gnomon. Si el gnomon mide $L$ y su sombra mide $s$, el palo, la sombra y el rayo de Sol que roza la punta forman un triángulo rectángulo:

• el ángulo recto está en la base (el palo es vertical y el suelo horizontal);
• el ángulo en la punta del gnomon, entre el palo y el rayo, lo llamaremos $z$: es el ángulo de la sombra (los astrónomos lo llaman distancia cenital, porque mide cuánto se aparta el Sol del punto que está justo sobre tu cabeza, el cenit);
• el ángulo en el extremo de la sombra, entre el suelo y el rayo, es la altura del Sol sobre el horizonte, $h$.

Como los tres ángulos de un triángulo suman $180°$ y uno es recto, $z$ y $h$ son complementarios:

¿Cómo hallamos $z$ sin ir a la punta del palo?

Método 1: dibujo a escala. Dibuja el triángulo en papel, con el palo y la sombra reducidos en la misma proporción (por ejemplo, 1 m → 10 cm, escala 1:10). Mide $z$ con el transportador. El ángulo no cambia con la escala: eso es lo bonito de los triángulos semejantes.

Método 2: la razón sombra/altura. El ángulo depende solo del cociente $s/L$. Una sombra el doble de larga que el palo siempre da el mismo ángulo, mida el palo 10 cm o 3 m. Esta tabla (calculada con precisión) te ahorra el dibujo:

Fíjate: con $s = L$ el ángulo es exactamente $45°$ (el triángulo tiene dos catetos iguales). Para valores intermedios de $s/L$, interpola entre las dos columnas más cercanas o haz el dibujo a escala. (En 10.º aprenderás que esta tabla es la tangente del ángulo.)

Ejemplo resuelto 2: el ángulo de una sombra

Un gnomon de $L = 100$ cm hace una sombra de $s = 27$ cm.

El Sol está a $75°$ sobre el horizonte, muy alto, y se aparta solo $15°$ del cenit.

Ejemplo resuelto 3: Bogotá y Madrid

Volvamos al gancho. En el equinoccio (hacia el 20 de marzo) el Sol del mediodía pasa justo sobre el ecuador. Entonces el ángulo de la sombra de cada ciudad es igual a su latitud, la distancia angular al ecuador:

Las sombras son distintas porque las ciudades están a distinta latitud: el ángulo de la sombra «mide» cuánto está inclinado el suelo de cada ciudad respecto al rayo de Sol.

5. Del gnomon al centro de la Tierra

Ahora juntemos todo. Imagina la Tierra cortada por la mitad y dos rectas:

• el rayo de Sol que roza la punta del gnomon;
• el rayo de Sol que cae justo vertical en algún lugar de la Tierra (el punto subsolar) y, prolongado, pasa por el centro del planeta.

Las dos son rayos del Sol: son paralelas (sección 3). Ahora prolonga el gnomon hacia abajo: por ser vertical, también pasa por el centro de la Tierra. Esa recta es una secante que corta a las dos paralelas.

Entre esa secante y las dos paralelas hay dos ángulos alternos internos:

• uno en la punta del gnomon: el ángulo de la sombra, $z$;
• otro en el centro de la Tierra: el ángulo entre el gnomon y el punto subsolar.

Son iguales. Al medir la sombra de un palo mides, sin saberlo, un ángulo en el centro de la Tierra.

Eso explica el ejemplo 3: en el equinoccio el punto subsolar está en el ecuador, así que el ángulo central entre tu ciudad y el ecuador es tu latitud… y por eso $z$ = latitud.

Si dos ciudades miden sus sombras el mismo día, la diferencia de sus ángulos es el ángulo central entre ellas. Con ese ángulo y la distancia entre las ciudades se calcula la vuelta completa a la Tierra. Esa es la siguiente lección: Eratóstenes mide la Tierra.

6. Explora con el simulador

El dibujo es un corte de la Tierra; los rayos del Sol son las líneas verticales paralelas.

1. Pulsa Siena–Alejandría y activa Exagerar para ver bien los gnomones. Localiza el ángulo de la sombra en Alejandría ($7.2°$) y el ángulo que se forma en el centro de la Tierra. ¿Qué pareja de ángulos son?
2. Mueve el ángulo de sombra de la ciudad B hasta $15°$. ¿Cuánto mide ahora el ángulo central? ¿Y si lo subes a $30°$?
3. Pon la ciudad A en $5°$ y la B en $12°$. Comprueba que el ángulo central entre ellas es la diferencia, $7°$.
4. Desactiva Exagerar. Los gnomones se vuelven minúsculos frente a la Tierra, pero el ángulo no cambia: ¿por qué?

Actividad: mide el ángulo del Sol en tu patio

Necesitas: un palo recto de 50 cm a 1 m (o un tubo de PVC), una plomada (una piedra atada a un hilo), una cinta métrica, tiza, hoja cuadriculada, regla y transportador.

1. Clava el palo en un suelo horizontal (comprueba con una canica que no ruede) y hazlo vertical con la plomada: el hilo debe quedar pegado al palo por todos los lados.
2. Mide la altura $L$ del palo desde el suelo hasta la punta.
3. Cada 20 minutos, entre las 10:00 y las 14:00, marca con tiza la punta de la sombra, mide su longitud $s$ y anota la hora.
4. Para cada medida calcula $s/L$ y halla $z$ con la tabla; luego $h = 90° - z$.
5. Elige una medida y dibuja el triángulo a escala 1:10 en la hoja cuadriculada. Mide $z$ con el transportador. ¿Coincide con la tabla?
6. Haz una tabla hora–altura del Sol. ¿A qué hora la sombra fue más corta? Ese es el mediodía solar (en Colombia suele caer entre las 11:40 y las 12:30, no a las 12:00 en punto).

Pregunta final: ¿hacia dónde apuntaba la sombra más corta, al norte o al sur? ¿Qué te dice eso sobre dónde estaba el Sol?

Ejercicios

Nivel básico

1. ¿Qué fracción de vuelta es un ángulo de $45°$? ¿Y de $7.2°$? ¿Cuántos grados son $\tfrac{1}{3}$ de vuelta?

2. Dos rectas paralelas son cortadas por una secante y uno de los ángulos mide $65°$. ¿Cuánto miden su alterno interno, su correspondiente y su adyacente?

3. Un gnomon de 50 cm hace una sombra de 29 cm. Calcula $s/L$, el ángulo de la sombra $z$ y la altura del Sol $h$.

Nivel medio

4. Un gnomon de $1.20$ m hace una sombra de $1.20$ m. Sin usar la tabla, ¿cuánto vale $z$? Explica por qué.

5. En el equinoccio, al mediodía solar, un gnomon de 1 m en Santa Marta hace una sombra de 20 cm. ¿Cuál es la latitud aproximada de Santa Marta? Compara con el valor del atlas ($11.2°$ N).

6. Un ángulo y su alterno interno miden $3x$ y $x + 40°$. Halla $x$ y el ángulo adyacente a ellos.

Nivel reto

7. Para medir el mismo ángulo de sombra, un grupo usa un gnomon de 20 cm y otro uno de 2 m. Los dos se equivocan en 1 cm al medir la sombra. ¿Cuál grupo obtiene un ángulo más preciso? Razónalo con la razón $s/L$ para $z = 30°$.

8. Si la Tierra fuera plana y los rayos del Sol paralelos, ¿qué pasaría con las sombras de dos gnomones en Bogotá y Madrid al mismo instante? ¿Qué nos dice entonces la diferencia real de sombras?

Recuerda

• Un grado es $\tfrac{1}{360}$ de vuelta. Suplementarios suman $180°$; complementarios, $90°$.
• Paralelas más secante: ocho ángulos, cuatro iguales entre sí y cuatro suplementarios de ellos. Los alternos internos son iguales.
• Los rayos del Sol llegan paralelos porque el Sol está lejísimos.
• El ángulo de la sombra $z$ se halla con la razón $s/L$ (o un dibujo a escala) y la altura del Sol es $h = 90° - z$.
• Ese ángulo $z$ es igual al ángulo en el centro de la Tierra entre tu ciudad y el punto subsolar.