Eratóstenes mide la Tierra

Hace unos 2 200 años, Eratóstenes de Cirene, director de la Biblioteca de Alejandría (Egipto), calculó el tamaño de la Tierra. No viajó alrededor del mundo. Usó un palo, una sombra, una distancia y una idea de geometría que ya conoces: los ángulos alternos internos.

1. La historia

En la ciudad de Siena (hoy Asuán), al mediodía del día más largo del año, el Sol quedaba justo encima de la cabeza: iluminaba el fondo de los pozos y los palos verticales no hacían sombra.

El mismo día y a la misma hora, en Alejandría, más al norte, un palo vertical sí hacía una pequeña sombra. Eratóstenes midió el ángulo entre el palo y el rayo de Sol: 1/50 de una vuelta completa, es decir,

Un palo vertical que se usa para medir sombras se llama gnomon.

2. La idea geométrica: rectas paralelas y una secante

Eratóstenes supuso dos cosas:

1. La Tierra es una esfera.
2. El Sol está tan lejos que sus rayos llegan paralelos entre sí.

Ahora mira el dibujo del simulador (más abajo). Hay dos rectas paralelas:

• el rayo de Sol que cae sobre Siena y sigue hasta el centro de la Tierra, y
• el rayo de Sol que roza la punta del gnomon de Alejandría.

Una tercera recta las corta a las dos: la recta que va del centro de la Tierra a Alejandría, prolongada por el gnomon. Una recta que corta a otras dos se llama secante (o transversal).

Cuando una secante corta dos rectas paralelas se forman ocho ángulos. Dos de ellos son alternos internos: están entre las paralelas (internos) y a lados opuestos de la secante (alternos).

Propiedad. Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, los ángulos alternos internos son iguales.

En nuestro dibujo:

• un ángulo alterno interno está en la punta del gnomon: es el ángulo de la sombra, $\alpha$;
• el otro está en el centro de la Tierra: es el ángulo entre Siena y Alejandría.

¡Son iguales! Entonces el ángulo central entre las dos ciudades también mide $7.2°$. Eratóstenes midió un ángulo en el centro de la Tierra sin ir hasta allá.

Ejemplo resuelto 1: ángulos con paralelas

Dos rectas paralelas $r$ y $s$ son cortadas por una secante $t$. Uno de los ángulos internos mide $50°$.

• Su alterno interno mide también $50°$.
• El ángulo que forma con él una línea recta (su adyacente) mide $180° - 50° = 130°$.
• Por tanto, de los ocho ángulos, cuatro miden $50°$ y cuatro miden $130°$.

3. La proporción: el ángulo es al arco como la vuelta es a la circunferencia

Si caminas por el borde de un círculo, la parte del borde que recorres (el arco) es directamente proporcional al ángulo central: el doble de ángulo, el doble de arco; un tercio del ángulo, un tercio del arco.

Llamemos $\Delta\alpha$ al ángulo central entre las ciudades, $d$ a la distancia entre ellas (el arco) y $C$ a la circunferencia de la Tierra:

Ejemplo resuelto 2: los datos de Eratóstenes

Siena y Alejandría estaban separadas por unos 5 000 estadios (el estadio era una unidad de longitud griega).

Regla de tres:

¿Cuánto es eso en kilómetros? No sabemos con certeza cuánto medía el estadio de Eratóstenes. Hay dos hipótesis muy citadas:

Con cualquiera de las dos, el resultado tiene el tamaño correcto: decenas de miles de kilómetros. Para el siglo III a. C. fue un logro enorme.

Ejemplo resuelto 3: del perímetro al radio

La circunferencia y el radio $R$ se relacionan por $C = 2\pi R$, así que $R = C/(2\pi)$. Con $C \approx 39\,375$ km:

El radio actual es de unos $6\,371$ km en promedio ($6\,378$ km en el ecuador).

4. Experimenta con el simulador

Prueba esto:

1. Pulsa Siena–Alejandría. Comprueba que $C = 250\,000$ estadios. Cambia la unidad a «estadios (185 m)»: ¿qué le pasa al error?
2. Mueve el ángulo de la sombra de Alejandría. Si el ángulo se duplica y la distancia no cambia, ¿qué le pasa a $C$?
3. Desactiva Exagerar. Así de pequeños son los palos comparados con la Tierra… y aun así se ve el ángulo.
4. Pulsa Bogotá–Santa Marta (21 de junio). Ese día las sombras apuntan al sur. ¿Cambia $\Delta\alpha$? ¿Por qué?
5. Con Bogotá–Santa Marta (equinoccio), cambia el ángulo de Santa Marta de $11.2°$ a $11.7°$ (medio grado más). Anota cómo cambian $C$ y el error porcentual. Vuelve a $11.2°$ y baja a $10.7°$. ¿Cuánto «vale» medio grado?

5. Eratóstenes en Colombia

En Colombia nunca tenemos el Sol exactamente encima en el solsticio, como en Siena. Pero no hace falta: basta con que las dos ciudades midan su sombra el mismo día, al mediodía solar, y restar los ángulos. El ángulo central es la diferencia de los dos ángulos de sombra (o la suma, si una sombra apunta al norte y la otra al sur).

Bogotá y Santa Marta están casi en el mismo meridiano (las dos a unos $74°$ de longitud oeste), a unos 726 km en línea recta.

Ejemplo resuelto 4: Bogotá y Santa Marta en el equinoccio

Cerca del 20 de marzo, al mediodía solar, con un palo de 1 m (100 cm):

El ángulo se puede medir dibujando el triángulo a escala y usando el transportador, o con la tabla de razones sombra/altura de la lección anterior.

Error porcentual respecto a $C_{\text{real}} \approx 40\,075$ km:

Ojo con el redondeo. Si en vez de $8.2$ cm y $19.9$ cm se mide $8$ cm y $20$ cm, los ángulos salen $4.6°$ y $11.3°$, $\Delta\alpha \approx 6.7°$ y $C \approx 38\,800$ km (error $\approx -3\,\%$). Un milímetro de diferencia en la sombra cambia bastante el resultado: por eso conviene un gnomon alto y medir con cuidado.

6. Errores y precisión

Ninguna medida es exacta. Para decir qué tan buena es, comparamos con el valor aceptado:

• Error absoluto: $E = |V_{\text{medido}} - V_{\text{real}}|$ (en las mismas unidades que la medida).
• Error relativo: $e = \dfrac{E}{V_{\text{real}}}$ (sin unidades: es una fracción).
• Error porcentual: $e \times 100\,\%$.

El error relativo es el que permite comparar medidas de cosas distintas. Equivocarse 100 km al medir la circunferencia de la Tierra parece más grave que equivocarse 1 km al medir Bogotá–Santa Marta; pero $100/40\,075 = 0.25\,\%$ y $1/726 = 0.14\,\%$: la medida de la Tierra es, en proporción, peor. Compara siempre los relativos, no los absolutos. Con el signo ($+$ si la medida se pasa, $-$ si se queda corta) sabemos además hacia dónde nos equivocamos.

Ejemplo resuelto 5: el error de Eratóstenes

Con el estadio de 157.5 m, $C = 39\,375$ km y $R = 6\,267$ km. Respecto al radio medio actual, $6\,371$ km:

Con el estadio ático, $C = 46\,250$ km: $e = (46\,250 - 40\,075)/40\,075 = +15.4\,\%$. Aun así, el orden de magnitud es correcto.

Ejemplo resuelto 6: ¿cuánto vale medio grado?

Supón que en el ejemplo 4 el ángulo de una ciudad se midió con un error de $\pm 0.5°$ (en un gnomon de 1 m, medio grado es menos de 1 cm de sombra). Entonces $\Delta\alpha$ puede estar entre $6.0°$ y $7.0°$:

Un error de medio grado en el ángulo produce un error de casi 9 % en la circunferencia. Esa es la sensibilidad del método: como $\Delta\alpha$ es pequeño, cualquier error en él pesa mucho.

Cómo mejorar la precisión:

1. Gnomon alto (2 m mejor que 50 cm): el mismo error de 1 cm en la sombra es un ángulo más pequeño.
2. Repetir la medida varias veces cerca del mediodía y promediar.
3. Ciudades lejanas: con Bogotá–Riohacha ($6.8°$ de diferencia de latitud, $\approx 760$ km) o Cali–Barranquilla ($7.5°$, $\approx 835$ km) el ángulo es mayor y el error relativo del ángulo, menor.
4. Verificar la verticalidad del gnomon con una plomada y la horizontalidad del suelo.

Comparar con el valor actual

La Tierra no es una esfera perfecta: está ligeramente achatada en los polos.

Nuestro método mide un arco de meridiano (norte–sur), así que lo más justo es comparar con $40\,008$ km. El simulador compara con $40\,075$ km. La diferencia entre ambos ($0.17\,\%$) es menor que el error de cualquier medición escolar, así que no cambia las conclusiones; pero en 7.º conviene saber cuál es el valor «correcto» que se compara.

7. Proyecto colaborativo: dos colegios, un planeta

Objetivo: medir la circunferencia de la Tierra entre dos colegios colombianos, como Eratóstenes.

1. Busquen un colegio aliado que esté lo más al norte o al sur posible del suyo y con una longitud parecida (menos de 1° de diferencia es ideal). Ejemplos de pares casi en el mismo meridiano: Bogotá–Santa Marta, Bogotá–Valledupar, Medellín–Cali (verifiquen las coordenadas en un atlas).
2. Construyan el gnomon: un palo o tubo recto de 1 m o más, bien vertical (compruébenlo con una plomada: una piedra colgada de un hilo) sobre un suelo horizontal (compruébenlo con un nivel o con una canica que no ruede).
3. Encuentren el mediodía solar. No es exactamente a las 12:00: en Bogotá cae aproximadamente entre las 11:40 y las 12:10, según la fecha, y en el resto del país puede ir más o menos de las 11:15 a las 12:30 según la longitud. Método seguro: empiecen unos 40 minutos antes, marquen la punta de la sombra cada 3 minutos con tiza y quédense con la sombra más corta: esa es la del mediodía solar.
4. Midan la altura del gnomon $L$ y la sombra más corta $s$, y anoten hacia dónde apunta (norte o sur) con una brújula.
5. Calculen el ángulo dibujando el triángulo rectángulo a escala ($L$ y $s$ como catetos) y midiendo con transportador, o con la tabla $s/L$. (En grados superiores usarán $\alpha = \tan^{-1}(s/L)$.)
6. Compartan los datos por correo o videollamada, calculen $\Delta\alpha$ y $C$, y comparen con el valor real.
7. Discutan: ¿de dónde vienen los errores? (verticalidad, horizontalidad, borde borroso de la sombra, hora, distancia). Calculen el error porcentual y, para 7.º, estimen cuánto cambiaría $C$ si el ángulo tuviera medio grado de error.

Pregunta para pensar. Si medimos la distancia entre los colegios en un mapa moderno, estamos usando un mapa hecho por personas que ya conocían el tamaño de la Tierra. Eratóstenes, según los relatos, usó la distancia que recorrían caminantes y caravanas. ¿Cómo podrían ustedes medir la distancia sin un mapa?

Actividad: Eratóstenes con un balón

Si no tienen colegio aliado, pueden practicar el método completo en el patio con un planeta pequeño.

Necesitas: un balón grande (de playa o de ejercicio), dos palillos o alfileres largos con una bolita de plastilina en la base, cinta métrica, un cordón, transportador y Sol.

1. Midan con la cinta la circunferencia real del balón, $C_{\text{real}}$. Guárdenla en secreto hasta el final.
2. Claven los dos palillos perpendiculares a la superficie, separados unos 5 a 8 cm a lo largo de un «meridiano» (una curva que pase por los dos «polos» del balón). Midan con el cordón la distancia $d$ entre sus bases siguiendo la superficie.
3. Giren el balón al Sol hasta que uno de los palillos no haga sombra (es «Siena»). Sin moverlo, midan la sombra del otro palillo y su altura, y calculen el ángulo $\Delta\alpha$ con un dibujo a escala o la tabla $s/L$.
4. Calculen $C = d \times 360°/\Delta\alpha$ y comparen con $C_{\text{real}}$: error absoluto y porcentual.
5. Repitan con los palillos más separados (10 a 15 cm). ¿Mejora el error?

Pregunta final: ¿qué es más difícil de medir con precisión en el balón, el ángulo o la distancia? ¿Y en la Tierra?

Ejercicios

Nivel 1 — practicar

1. Dos rectas paralelas son cortadas por una secante. Un ángulo interno mide $65°$. ¿Cuánto miden su alterno interno y su adyacente?

2. ¿Qué fracción de la vuelta completa es un ángulo de $36°$? ¿Y de $9°$?

3. Completa la tabla (gnomon de 100 cm). Usa un dibujo a escala, la tabla $s/L$ o el simulador. ¿Qué ángulo da una sombra igual a la altura del palo?

Nivel 2 — aplicar

4. Dos ciudades en el mismo meridiano están a $1\,000$ km y la diferencia de sombras es de $9°$. Calcula la circunferencia de la Tierra.

5. Si la circunferencia de la Tierra es de unos $40\,075$ km, ¿cuántos kilómetros corresponden a $1°$ de meridiano?

6. Un estudiante de Bogotá y otro de Santa Marta ($726$ km) miden $\Delta\alpha = 7°$ por un error. ¿Qué circunferencia obtienen? ¿Cuál es el error porcentual?

7. Un grupo obtiene $R = 6\,100$ km. Calcula el error absoluto y el error porcentual respecto al radio medio de $6\,371$ km. ¿Cumple el reto de «menos del 10 % de error»?

Nivel 3 — retos

8. El mismo día, al mediodía solar, en la ciudad A la sombra forma $3°$ y apunta al sur, y en la ciudad B (al norte de A, a $890$ km) forma $5°$ y apunta al norte. Calcula $C$.

9. Explica con tus palabras por qué el método no funcionaría si la Tierra fuera plana. ¿Qué verían las dos ciudades?

10. Con la tabla del Ejemplo 2, ¿cuántos metros debería medir el estadio para que $250\,000$ estadios fueran exactamente $40\,075$ km?

11. Dos colegios a $400$ km miden $\Delta\alpha = 3.6°$ y su resultado tiene un error de $\pm 0.5°$ en el ángulo. Da el intervalo de valores posibles de $C$ y el error porcentual en el peor caso. Compara con el ejemplo 6 y explica por qué conviene elegir colegios lejanos.

Recuerda

• Los rayos del Sol llegan paralelos; la vertical de una ciudad es una secante: el ángulo de la sombra es igual al ángulo central (alternos internos).
• $\dfrac{\Delta\alpha}{360°} = \dfrac{d}{C}$, de donde $C = d \cdot \dfrac{360°}{\Delta\alpha}$ y $R = \dfrac{C}{2\pi}$.
• Eratóstenes obtuvo $250\,000$ estadios; según el estadio, entre $-1.7\,\%$ y $+15\,\%$ del valor actual.
• Error relativo $e = |V_{\text{medido}} - V_{\text{real}}| / V_{\text{real}}$; se compara en porcentaje.
• Medio grado de error en $\Delta\alpha$ puede cambiar $C$ en casi un 9 %: gnomon alto, ciudades lejanas y medidas repetidas.
• Valor actual: $R \approx 6\,371$ km, $C \approx 40\,008$ km por los polos y $40\,075$ km por el ecuador.