Duración del día y altura del Sol

En Colombia el Sol sale siempre cerca de las seis de la mañana y se oculta cerca de las seis de la tarde, todo el año. Un estudiante de Oslo (Noruega) vive otra cosa: en junio el Sol está arriba más de 18 horas y en diciembre apenas 5 horas y media. Y a unos 700 km más al norte, en Tromsø, hay días de verano en los que el Sol no se pone y días de invierno en los que no sale.

¿Qué tiene Colombia que no tiene Noruega? Un número: la latitud. En esta lección lo juntamos con otro ángulo, la declinación del Sol, y con ellos calculamos a qué altura está el Sol al mediodía y cuánto dura el día en cualquier lugar del mundo.

1. Dos ángulos: latitud y declinación

La latitud $\varphi$

La latitud $\varphi$ (fi) de un lugar es el ángulo, medido desde el centro de la Tierra, entre el ecuador y ese lugar. Va de $0°$ en el ecuador a $90°$ en los polos; se escribe N o S según el hemisferio. En los cálculos usaremos positiva al norte y negativa al sur.

Colombia está casi pegada al ecuador: desde Punta Gallinas ($12.46°$ N), en La Guajira, hasta Leticia ($4.22°$ S), en el Amazonas. Bogotá está a $4.71°$ N.

La declinación del Sol $\delta$

El eje de rotación de la Tierra está inclinado $23.44°$ respecto a su órbita, y apunta siempre en la misma dirección mientras la Tierra da la vuelta al Sol. Por eso, a lo largo del año, el Sol del mediodía se ve a veces sobre el hemisferio norte y a veces sobre el sur.

La declinación del Sol $\delta$ (delta) es la latitud del punto de la Tierra que tiene el Sol justo en el cenit ese día (el punto subsolar). Cambia despacio todo el año:

Entre esas fechas $\delta$ toma todos los valores intermedios. La franja de la Tierra donde el Sol puede estar en el cenit es la zona intertropical, entre $23.44°$ S y $23.44°$ N. Toda Colombia está dentro.

2. La altura del Sol al mediodía

La altura $h$ de un astro es el ángulo entre el horizonte y el astro: $0°$ en el horizonte, $90°$ en el cenit (justo sobre la cabeza). Al mediodía solar (cuando el Sol cruza la línea norte–sur del cielo) el Sol alcanza su altura máxima del día.

Para calcularla usamos la idea de la lección anterior: el ángulo de la sombra de un gnomon, $z$, es igual al ángulo en el centro de la Tierra entre tu ciudad y el punto subsolar. Como tu ciudad está a latitud $\varphi$ y el punto subsolar a latitud $\delta$, ese ángulo es la diferencia de latitudes:

Las barras $|\,\cdot\,|$ son el valor absoluto: nos quedamos con la diferencia sin signo, porque una altura no puede ser mayor que $90°$ ni importa si el Sol se aparta hacia el norte o hacia el sur.

El signo sí nos dice hacia dónde mirar:

• si $\delta$ es menor que $\varphi$, el punto subsolar está al sur de ti: el Sol del mediodía queda hacia el sur y las sombras apuntan al norte;
• si $\delta$ es mayor que $\varphi$, el Sol queda hacia el norte y las sombras apuntan al sur;
• si $\delta = \varphi$, el Sol está en el cenit: $h = 90°$ y un palo vertical no hace sombra.

Ejemplo resuelto 1: Bogotá en tres fechas

Bogotá, $\varphi = 4.71°$ N.

Incluso en diciembre el Sol bogotano del mediodía está a más de $60°$: altísimo. En Madrid ($40.42°$ N) ese día está a solo $90° - |40.42° + 23.44°| = 26.1°$, y las sombras son el doble de largas que los objetos.

Ejemplo resuelto 2: ¿qué tan larga es la sombra?

Con la tabla de razones sombra/altura de la lección anterior: en Bogotá, el 21 de diciembre, $z = 28.15°$, que da $s/L \approx 0.54$. Un palo de 1 m hace al mediodía una sombra de unos 54 cm hacia el norte. El 21 de junio, $z = 18.73°$, $s/L \approx 0.34$: 34 cm hacia el sur. En los días de Sol cenital, 0 cm.

3. Dos veces al año, el Sol sobre tu cabeza

En Colombia el Sol pasa exactamente por el cenit dos veces al año: cuando la declinación del Sol, que sube de $-23.44°$ a $+23.44°$ y vuelve a bajar, coincide con la latitud de tu ciudad. Las fechas (pueden variar un día de un año a otro):

Mira el patrón: cuanto más al norte la ciudad, más tarde en primavera y más temprano en verano. Entre las dos fechas de cenit, el Sol del mediodía pasa al norte de la ciudad; el resto del año, al sur. Por eso en Bogotá las sombras del mediodía apuntan al sur entre abril y septiembre, y al norte de octubre a marzo.

Fuera de la zona intertropical esto nunca ocurre: en Madrid el Sol jamás sube de $73°$.

4. ¿Cuánto dura el día?

La Tierra gira $360°$ en 24 horas, es decir,

Para alguien en el ecuador ($\varphi = 0°$), el horizonte corta por la mitad el círculo que el Sol recorre cada día, sea cual sea $\delta$: el Sol está arriba $180°$ de su giro, o sea $180°/15° = 12$ horas, todo el año.

Para otras latitudes el horizonte está inclinado respecto al eje de giro y corta el círculo del Sol de forma desigual: cuando el Sol está en el hemisferio de tu latitud (misma «señal» de $\varphi$ y $\delta$) la parte visible supera los $180°$ y el día dura más de 12 h; cuando está en el otro hemisferio, dura menos. Cuanto más lejos del ecuador, mayor es la diferencia.

Si llamamos $H_0$ al ángulo que el Sol gira desde el mediodía hasta ponerse (el semiarco diurno), la duración del día es

Con $H_0 = 90°$ sale $D = 12$ h. El simulador calcula $H_0$ con la fórmula $\cos H_0 = -\tan\varphi\,\tan\delta$, que usa trigonometría (la estudiarás en 10.º); por ahora léelo en la gráfica. Estos son los valores (en horas y minutos) para el centro del Sol, sin contar la refracción de la atmósfera ni el tamaño del disco solar, que alargan el día real unos 7 minutos:

Observa tres cosas:

1. En toda Colombia el día dura entre 11 h y 13 h: por eso aquí no hay «días largos de verano».
2. En Leticia, al sur del ecuador, el día más largo es el de diciembre, como en Buenos Aires.
3. Más allá de $66.56°$ de latitud ($90° - 23.44°$, los círculos polares) hay días en que el Sol no se pone o no sale.

En los equinoccios ($\delta = 0°$) el día dura 12 h en todo el planeta: de ahí el nombre, «noche igual».

5. Explora con el simulador

Pulsa Científico. A la izquierda ves la Tierra en su órbita con el eje inclinado; a la derecha, la gráfica de horas de luz a lo largo del año para la latitud elegida. En el pie se muestran $\delta$, la altura del Sol al mediodía y la duración del día.

1. Elige Bogotá y mueve la fecha hasta que la altura al mediodía marque $90.0°$. ¿En qué fecha ocurre? Sigue moviendo: ¿cuándo vuelve a ocurrir? Compara con la tabla de la sección 3.
2. Pon el solsticio de junio y anota la altura al mediodía en Bogotá, Leticia, Madrid y Oslo. Comprueba cada valor con $h = 90° - |\varphi - \delta|$.
3. Con la latitud deslizante, busca la latitud más pequeña para la que el 21 de junio el día dura 24 h. ¿Qué relación tiene con $23.44°$?
4. Pulsa Recorrer el año con Quito y luego con Oslo. ¿Cuál de las dos gráficas es casi una recta horizontal? ¿Por qué?

Actividad: la gráfica de horas de luz de tu ciudad

Necesitas: un almanaque, un periódico o una aplicación del clima que muestre la hora de salida y puesta del Sol; hoja cuadriculada; regla.

1. Busca la hora de salida y de puesta del Sol en tu ciudad para el día 21 de cada mes del año (12 datos).
2. Para cada fecha calcula la duración del día (puesta menos salida) en horas y minutos. Pasa los minutos a decimales: 12 h 16 min = $12 + 16/60 = 12.27$ h.
3. Dibuja una gráfica cartesiana: meses en el eje horizontal, duración en el vertical (escala de 11 h a 13 h, para que se note la variación).
4. Marca el día más largo y el más corto. ¿Coinciden con los solsticios?
5. Calcula la hora del mediodía solar: el promedio entre salida y puesta. ¿Es siempre a las 12:00? (Pista: no; en Bogotá oscila entre las 11:40 y las 12:10 según la fecha.)

Pregunta final: tu gráfica real da días unos 7 minutos más largos que el simulador. ¿Por qué? (Piensa en que el Sol no es un punto y en que la atmósfera «levanta» la imagen del Sol cuando está en el horizonte.)

Ejercicios

Nivel básico

1. Calcula la altura del Sol al mediodía en Cali ($\varphi = 3.45°$ N) en el equinoccio y en los dos solsticios.

2. ¿Cuántos grados gira la Tierra en 1 h? ¿En 10 min? ¿Cuánto tiempo tarda en girar $90°$?

3. El 21 de junio, ¿en qué ciudad colombiana es más largo el día: Pasto ($1.21°$ N) o Riohacha ($11.54°$ N)? ¿Y el 21 de diciembre?

Nivel medio

4. En Leticia ($\varphi = 4.22°$ S, es decir, $\varphi = -4.22°$), ¿cuál es la altura del Sol al mediodía el 21 de junio y el 21 de diciembre? ¿Hacia dónde apuntan las sombras en cada fecha?

5. Un palo de 1 m en Medellín ($\varphi = 6.24°$ N) no hace sombra al mediodía. ¿Cuánto vale $\delta$ ese día? ¿En qué fechas aproximadas pasa?

6. En cierto lugar, el semiarco diurno del Sol un día es $H_0 = 105°$. ¿Cuánto dura el día? ¿Está el lugar en el hemisferio donde se encuentra el Sol ese día?

Nivel reto

7. Un marinero mide al mediodía del 21 de diciembre que el Sol está a $h = 50°$ sobre el horizonte, hacia el sur. ¿A qué latitud está? Pista: usa $h = 90° - |\varphi - \delta|$ y piensa en el signo.

8. Explica por qué en el ecuador el día dura 12 h todo el año, pero en el polo norte dura 6 meses. Usa la idea de que el horizonte corta el círculo diario del Sol.

Recuerda

• Latitud $\varphi$: ángulo de tu ciudad respecto al ecuador. Declinación $\delta$: latitud del punto que tiene el Sol en el cenit; va de $-23.44°$ a $+23.44°$ por la inclinación del eje.
• Altura del Sol al mediodía: $h = 90° - |\varphi - \delta|$. Si $\delta = \varphi$, Sol en el cenit y sin sombras.
• En Colombia el Sol pasa por el cenit dos veces al año; en Bogotá, hacia el 31 de marzo y el 10 de septiembre.
• La Tierra gira $15°$ por hora. En el ecuador el día dura 12 h siempre; lejos del ecuador varía mucho con la fecha.
• En Colombia el día dura entre 11 h y 13 h todo el año.