Cómo Eratóstenes midió la Tierra con un palo y una sombra

Hacia el año 240 a. C. nadie había dado la vuelta al mundo, no existían los satélites y el mapa conocido terminaba en la India. Y sin embargo un griego que vivía en Egipto, Eratóstenes de Cirene, director de la Biblioteca de Alejandría, anunció cuánto medía la circunferencia de la Tierra. No viajó a ninguna parte: le bastaron un palo vertical, una sombra, una distancia conocida y una idea geométrica que cabe en una servilleta.

La idea central

Cuentan las fuentes antiguas que en Siena (hoy Asuán, en el sur de Egipto), al mediodía del solsticio de verano, el Sol iluminaba el fondo de los pozos y los palos verticales no proyectaban sombra: el Sol estaba justo en el cenit.

El mismo día, a la misma hora, en Alejandría (casi al norte de Siena) un palo vertical sí daba una sombra pequeña. Eratóstenes midió el ángulo que formaban los rayos del Sol con el palo: la cincuentava parte de un círculo, es decir, 360° ÷ 50 = 7.2°.

¿Por qué hay sombra en un sitio y no en el otro? Porque la Tierra es curva. Si fuera plana, el Sol estaría en el cenit en las dos ciudades a la vez. Y como el Sol está tan lejos, sus rayos llegan paralelos a Siena y a Alejandría. Un poco de geometría (dos rectas paralelas cortadas por una secante, en este caso el radio que sale del centro de la Tierra) dice que el ángulo de la sombra en Alejandría es el mismo ángulo que separa las dos ciudades vistas desde el centro del planeta.

La ecuación clave

Si 7.2° corresponden a la distancia entre las dos ciudades, los 360° de la vuelta completa corresponden a 50 veces esa distancia. Eratóstenes tomó la distancia Siena–Alejandría como 5 000 estadios (una unidad griega de longitud), y así:

Dicho en palabras: la vuelta al mundo es a la distancia entre las dos ciudades lo que el círculo completo es al ángulo de la sombra. Fuentes posteriores, como Estrabón y Plinio, redondean el resultado a 252 000 estadios, probablemente para que saliera un número cómodo de 700 estadios por grado.

Juega con el simulador: elige Siena–Alejandría, comprueba que salen 250 000 estadios y cambia la longitud del estadio para ver cuánto cambia el resultado en kilómetros. También puedes probar con dos ciudades colombianas.

¿Cuánto acertó?

Aquí está la parte honesta de la historia: no sabemos con seguridad cuánto medía el estadio que usó Eratóstenes. Con un estadio de unos 157.5 m, 250 000 estadios son unos 39 400 km; con el estadio ático de unos 185 m, unos 46 300 km. El valor moderno de la circunferencia de la Tierra a lo largo de un meridiano, que es lo que Eratóstenes estaba midiendo, es de 40 008 km (en el ecuador, 40 075 km). Así que el error estuvo entre un 2 % y un 15 %, según el estadio. En cualquiera de los dos casos, el orden de magnitud era correcto, y eso, hace 2 200 años, fue una proeza.

Además hubo varias aproximaciones generosas: Alejandría no está exactamente al norte de Siena, Siena no está exactamente sobre el trópico, y los 5 000 estadios eran una distancia redondeada, medida en parte por el tiempo que tardaban las caravanas. Eratóstenes tuvo algo de suerte en que esos errores se compensaran.

¿Cómo lo sabemos?

• El relato de Cleomedes. Los escritos del propio Eratóstenes se perdieron. El método lo conocemos sobre todo por Cleomedes, un autor de un manual de astronomía escrito siglos después, que lo describe paso a paso: el gnomon sin sombra en Siena, la cincuentava parte de círculo en Alejandría, los 5 000 estadios y el resultado de 250 000. Estrabón y Plinio citan la cifra de 252 000.
• Puedes repetir el experimento. Dos colegios en ciudades distintas que midan la sombra de un palo al mediodía solar el mismo día obtienen dos ángulos; con la distancia entre las ciudades, la misma regla de tres da la circunferencia de la Tierra. En la lección de secundaria Eratóstenes mide la Tierra lo hacemos con Bogotá y Santa Marta.
• El valor moderno viene de la geodesia y los satélites. Los radios ecuatorial y polar de la Tierra (6 378.137 km y 6 356.752 km, según la hoja de datos de NASA) se conocen hoy con precisión de metros gracias al seguimiento de satélites, y de ellos sale la circunferencia meridional de 40 008 km.

Para llevar

• Dos sombras distintas el mismo día, en dos lugares distintos, demuestran que la Tierra es curva.
• Si los rayos del Sol son paralelos, el ángulo de la sombra es el ángulo entre las dos ciudades vistas desde el centro de la Tierra.
• Regla de tres: ángulo / 360° = distancia / circunferencia. Con 7.2° y 5 000 estadios, 250 000 estadios.
• La incertidumbre está en el estadio: el resultado quedó entre un 2 % y un 15 % del valor actual.
• Moraleja: una buena pregunta y una geometría sencilla pueden medir cosas enormes.