El cuerpo negro y el color de las estrellas

Si calientas un clavo en una llama, primero brilla rojo oscuro, luego naranja y, si pudieras calentarlo mucho más, llegaría a verse blanco y después blanco azulado. Las estrellas siguen exactamente la misma regla: su color es un termómetro. En esta lección vamos a convertir esa idea en números, y de paso veremos trabajar a dos funciones que dominan el grado once: la exponencial y el logaritmo.

1. ¿Qué es un cuerpo negro?

Un cuerpo negro es un objeto ideal que absorbe toda la radiación que le llega, sin reflejar nada. Si además está en equilibrio térmico, emite luz con un espectro que depende solo de su temperatura $T$, no del material del que está hecho.

Una estrella no es un cuerpo negro perfecto (su atmósfera produce líneas de absorción), pero su gas es tan denso y opaco que la luz que sale de su superficie se le parece mucho. Por eso definimos la temperatura efectiva de una estrella como la temperatura del cuerpo negro que emitiría la misma energía por metro cuadrado.

2. La ley de Planck y la función exponencial

En 1900, Max Planck encontró la fórmula que describe cuánta energía emite un cuerpo negro en cada longitud de onda. No la vamos a deducir (hace falta física cuántica), pero sí a leerla:

donde:

• $B_\lambda$ es la radiancia espectral: potencia emitida por unidad de área, de ángulo sólido y de longitud de onda (en $\text{W}\cdot\text{sr}^{-1}\cdot\text{m}^{-3}$);
• $\lambda$ es la longitud de onda (m) y $T$ la temperatura (K);
• $h = 6.626 \times 10^{-34}\ \text{J·s}$ es la constante de Planck;
• $c = 2.998 \times 10^{8}\ \text{m/s}$ es la velocidad de la luz;
• $k_B = 1.381 \times 10^{-23}\ \text{J/K}$ es la constante de Boltzmann;
• $e = 2.718\ldots$ es la base de la función exponencial.

La fórmula se entiende mejor con una sola variable sin unidades, $x = \dfrac{hc}{\lambda k_B T}$, que compara la energía de un fotón de longitud de onda $\lambda$ con la energía térmica $k_B T$. Como $hc/k_B = 0.014388\ \text{m·K}$,

Ejemplo resuelto 1: el Sol en dos colores. Con $T = 5772$ K:

• en $\lambda = 500$ nm (verde), $x = 0.014388/(5 \times 10^{-7} \times 5772) = 4.99$ y $e^{x} - 1 = 146$;
• en $\lambda = 100$ nm (ultravioleta lejano), $x = 24.9$ y $e^{x} - 1 = 6.7 \times 10^{10}$.

Al pasar de 500 a 100 nm, el factor $1/\lambda^5$ sube $5^5 = 3125$ veces, pero la exponencial del denominador baja la emisión $4.6 \times 10^{8}$ veces. Gana la exponencial por goleada: por eso la curva de Planck cae en picada a la izquierda del máximo. Es la cola de Wien, donde $B_\lambda \approx (2hc^2/\lambda^5)\,e^{-x}$.

Ejemplo resuelto 2: duplicar la temperatura. A $\lambda = 100$ nm, una estrella de 5772 K emite $e^{49.9 - 24.9} = e^{25} \approx 7 \times 10^{10}$ veces más que una de 2886 K. En el ultravioleta, un cambio moderado de temperatura produce un cambio exponencial en la emisión. En cambio, en la zona de $x$ pequeño (longitudes de onda largas, infrarrojo y radio) la aproximación $e^{x} \approx 1 + x$ da $B_\lambda \approx 2ck_BT/\lambda^4$: la emisión es simplemente proporcional a $T$. Esa es la ley de Rayleigh–Jeans, y es la razón por la que los radiotelescopios miden temperaturas directamente.

Lo importante es la forma de la curva: una joroba asimétrica que sube rápido (exponencialmente) en longitudes de onda cortas y baja despacio (como $\lambda^{-4}$) en las largas. Al aumentar $T$, la joroba crece en todas las longitudes de onda y su máximo se desplaza hacia la izquierda.

3. Ley de Wien: el máximo se mueve

La longitud de onda a la que la curva de Planck tiene su máximo es inversamente proporcional a la temperatura:

($b$ es la constante de desplazamiento de Wien; corresponde a $x_{\max} = 4.965$, el máximo de $x^5/(e^x - 1)$). Si la temperatura se duplica, $\lambda_{\max}$ se reduce a la mitad.

Ejemplo resuelto 3: el Sol. Con $T_\odot = 5772\ \text{K}$:

Cae en pleno espectro visible (380–750 nm), en la zona azul-verdosa.

Ejemplo resuelto 4: Betelgeuse ($T \approx 3600\ \text{K}$):

en el infrarrojo cercano. La parte visible de su espectro está dominada por el rojo: por eso la vemos anaranjada.

Ejemplo resuelto 5: el cuerpo humano ($T \approx 310\ \text{K}$):

Infrarrojo térmico: justo lo que «ven» las cámaras térmicas.

Ejemplo resuelto 6: al revés. Una estrella emite su máximo en $\lambda_{\max} = 290\ \text{nm}$. Despejamos $T$:

Es el caso de Sirio A ($T \approx 9940\ \text{K}$): su máximo está en el ultravioleta y la vemos blanco-azulada.

4. Ley de Stefan–Boltzmann: cuánta energía sale

Si sumamos la energía de todas las longitudes de onda (el área bajo la curva de Planck), obtenemos el flujo emitido por cada metro cuadrado de superficie:

($\sigma$ es la constante de Stefan–Boltzmann). La cuarta potencia es enorme: si $T$ se duplica, $F$ se multiplica por $2^4 = 16$.

Una estrella es (casi) una esfera de radio $R$ y área $4\pi R^2$, así que su luminosidad (potencia total) es

Ejemplo resuelto 7: la luminosidad del Sol. Con $R_\odot = 6.957 \times 10^{8}\ \text{m}$ y $T_\odot = 5772\ \text{K}$:

Comparar con el Sol

Dividiendo $L = 4\pi R^2\sigma T^4$ entre la misma fórmula para el Sol, las constantes se cancelan:

Ejemplo resuelto 8: el radio de Betelgeuse. Se estima que Betelgeuse tiene $L \approx 1 \times 10^{5}\,L_\odot$ y $T \approx 3600\ \text{K}$ (valores aproximados: las estimaciones publicadas varían bastante). Despejamos el radio:

Betelgeuse es unas 800 veces más grande que el Sol: $R \approx 810 \times 6.957 \times 10^{8}\ \text{m} \approx 5.6 \times 10^{11}\ \text{m} \approx 3.8\ \text{UA}$. Colocada en el lugar del Sol, llegaría más allá de la órbita de Marte. (Joyce et al. 2020 dan $R \approx 760\ R_\odot$, del mismo orden.)

Observa la idea clave: la temperatura sale del color y la luminosidad del brillo y la distancia; con ambas, la ley de Stefan–Boltzmann nos da el tamaño de una estrella que no podemos ver como un disco.

Logaritmos: la ley en una recta

Las luminosidades estelares van de $10^{-4}$ a $10^{6}\ L_\odot$. Para manejar diez órdenes de magnitud se toman logaritmos. Como el logaritmo convierte productos en sumas y potencias en productos ($\log(ab) = \log a + \log b$, $\log a^n = n\log a$):

Ejemplo resuelto 9: Rigel con logaritmos. $R = 79\,R_\odot$, $T = 12\,100$ K: $\log(L/L_\odot) = 2 \times 1.898 + 4 \times \log(2.096) = 3.796 + 4 \times 0.3214 = 5.08$, así que $L = 10^{5.08} \approx 1.2 \times 10^{5}\,L_\odot$.

Esa ecuación dice que, a radio fijo, $\log L$ es una recta de pendiente 4 en función de $\log T$. Por eso los astrónomos dibujan el diagrama de Hertzsprung–Russell en ejes logarítmicos, y por eso el simulador usa escala logarítmica en sus deslizadores (de 1000 a 40 000 K cada desplazamiento igual multiplica $T$ por el mismo factor) y en el eje vertical cuando lo activas: cada división es un factor 10, y así caben en la misma gráfica una enana roja y una supergigante azul. Las magnitudes de la lección anterior, $m = -2.5\log_{10}F + \text{const}$, son la misma idea.

5. El color en números: el índice B−V

Los astrónomos miden el color comparando el brillo de la estrella a través de un filtro azul (B, ~440 nm) y uno visual (V, ~550 nm). Como las magnitudes son logarítmicas, la diferencia $B - V$ es un cociente de flujos: una estrella azul tiene $B - V$ negativo o cercano a 0 y una roja, $B - V > 1$. Para un cuerpo negro existe una fórmula aproximada (Ballesteros, 2012):

Para el Sol, $B - V \approx 0.65$, y la fórmula da $T \approx 5780\ \text{K}$. El simulador muestra el $B-V$ estimado para cada temperatura.

6. ¿Por qué no hay estrellas verdes?

Mueve el deslizador hasta unos 5000–6000 K: el máximo de la curva cae en el verde. ¿Y el color del círculo? Blanco.

La razón es que la curva de Planck es muy ancha: mucho más que el espectro visible. Cuando su máximo está en el verde, la curva es casi plana entre el azul y el rojo (para el Sol, $B_\lambda(400\ \text{nm})/B_\lambda(700\ \text{nm}) = 1.1$), así que la estrella emite cantidades parecidas de todos los colores, y la mezcla de todos los colores la percibimos como blanco. Para ver verde haría falta una curva estrecha con un pico solo en el verde, y la de un cuerpo caliente no puede tener esa forma. Por eso la secuencia de colores estelares va de rojo a naranja, amarillo-blanco, blanco y blanco azulado, sin pasar nunca por el verde.

Un detalle sutil: la posición del máximo depende de cómo midas el espectro. Si en lugar de por unidad de longitud de onda se mide por unidad de frecuencia, el máximo del Sol está cerca de 880 nm, en el infrarrojo. El máximo no es «el color» de la estrella: el color depende de la forma de toda la curva dentro del visible.

Simulador: curvas de Planck

1. Pon el Sol (5772 K) y pulsa Fijar curva. Duplica la temperatura (11 544 K): la nueva curva queda por encima en todas las longitudes de onda y su máximo está a la mitad de $\lambda$ (ley de Wien).
2. Activa la escala logarítmica del eje vertical y fija curvas a 3000, 6000, 12 000 y 24 000 K: en escala log, las curvas se ven como copias desplazadas. Compara la separación vertical entre ellas en el ultravioleta (enorme: cola exponencial) y en el infrarrojo lejano (pequeña: zona de Rayleigh–Jeans).
3. Elige el preajuste Betelgeuse y lee $L/L_\odot$; compara con el ejemplo 8. Luego Sirio A y Rigel.
4. Busca la temperatura a la que el color mostrado deja de ser anaranjado y pasa a blanco. ¿Coincide con el máximo en el verde?

Actividad: medir la constante solar con una lata

Materiales: una lata de aluminio pintada de negro mate (o cubierta con cinta negra), termómetro (de cocina o digital), agua, probeta o balanza, reloj, un cartón para dar sombra, un día despejado alrededor del mediodía.

1. Mide la masa de agua $m$ (por ejemplo 200 g) y ponla en la lata. Mide el diámetro de la lata y calcula el área $A = \pi r^2$ de la cara que recibirá el Sol (ponla acostada, con el costado hacia el Sol; úsala como un cilindro de área proyectada $A = \text{diámetro} \times \text{altura}$).
2. Mantén la lata a la sombra hasta que el agua esté a temperatura ambiente; anota $T_0$.
3. Exponla al Sol con la cara negra perpendicular a los rayos. Agita suavemente y anota la temperatura cada minuto durante 10 minutos.
4. La potencia absorbida es $P = m\,c\,\Delta T/\Delta t$, con $c = 4186\ \text{J/(kg·K)}$ el calor específico del agua. El flujo solar en el suelo es $S_{\text{suelo}} = P/A$. Con 200 g, $A = 0.01\ \text{m}^2$ y un flujo de $1000\ \text{W/m}^2$, el agua debería subir unos 7 °C en 10 min.
5. Fuera de la atmósfera el flujo es $S_\odot = 1361\ \text{W/m}^2$ (valor nominal IAU 2015). Calcula qué fracción llegó a tu lata y, con $S_\odot$, la luminosidad del Sol: $L_\odot = S_\odot \times 4\pi d^2$ con $d = 1.496 \times 10^{11}$ m.
6. Despeja la temperatura del Sol de $L_\odot = 4\pi R_\odot^2\sigma T^4$: $T = \left(\dfrac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2\sigma}\right)^{1/4}$.

Pregunta final: ¿qué temperatura obtuviste y cuánto se aleja de 5772 K? ¿Por qué el error en $L$ afecta poco a $T$? (Pista: la raíz cuarta reduce el error relativo a la cuarta parte.) ¿Qué pierdes por la atmósfera, por el ángulo y por el calor que la lata cede al aire?

Ejercicios

Básico

1. Calcula $\lambda_{\max}$ para una enana roja de $T = 3000\ \text{K}$. ¿En qué región del espectro está?

2. Una estrella tiene su máximo en $\lambda_{\max} = 400\ \text{nm}$. ¿Cuál es su temperatura?

3. ¿Cuántos vatios emite cada metro cuadrado de tu piel ($T \approx 310\ \text{K}$) según $F = \sigma T^4$?

Medio

4. Una estrella tiene el mismo radio que el Sol y el doble de temperatura. ¿Cuántas veces más luminosa es? ¿Y si tiene la misma temperatura pero el doble de radio?

5. Dos estrellas tienen la misma temperatura, pero una es 100 veces más luminosa. ¿Cuántas veces mayor es su radio? Resuélvelo con logaritmos: $\log 100 = 2\log(R/R_\odot)$.

6. Sirio A tiene $R \approx 1.71\,R_\odot$ y $T \approx 9940\ \text{K}$. Calcula $L/L_\odot$ y compruébalo con el simulador.

Reto

7. Calcula $x = hc/(\lambda k_B T)$ para el Sol en $\lambda = 10\ \mu\text{m}$ y en $\lambda = 200$ nm. ¿En cuál de los dos vale la aproximación $e^x \approx 1 + x$? ¿En cuál $e^x - 1 \approx e^x$? Calcula en cada caso el error relativo de la aproximación.

8. ¿Por cuánto se multiplica el flujo de una superficie al pasar de 3000 K a 30 000 K? Expresa el resultado como potencia de 10 y explica por qué la escala logarítmica del simulador es útil para comparar estas curvas.

9. Una enana blanca tiene $T \approx 25\,000\ \text{K}$ y $L \approx 0.03\,L_\odot$. Estima su radio en $R_\odot$ y en km. Compáralo con el radio de la Tierra (6371 km).

Recuerda

• Un cuerpo negro emite según su temperatura; la curva de Planck tiene una cola exponencial en $\lambda$ cortas y cae como $\lambda^{-4}$ en las largas.
• Wien: $\lambda_{\max} = b/T$ con $b = 2.898 \times 10^{-3}$ m·K. Sol: 502 nm; Betelgeuse: 805 nm.
• Stefan–Boltzmann: $F = \sigma T^4$ y $L = 4\pi R^2\sigma T^4$; en logaritmos, $\log L = 2\log R + 4\log T + \text{const}$.
• Con la temperatura (del color) y la luminosidad (del brillo y la distancia) se obtiene el radio de una estrella.
• No hay estrellas verdes: la curva es demasiado ancha; el máximo en el verde se ve blanco.