Astronomía y Exploración Espacial

Educación Secundaria / Leyes de Kepler y gravitación

10.º · U2: Leyes de Kepler

Pesar el Sol y los planetas

La tercera ley de Kepler en la forma de Newton, M = 4π²a³/(GT²), convierte cualquier órbita en una balanza: la masa del Sol a partir de la órbita de la Tierra, la de Júpiter a partir de Ío, la de la Tierra a partir de la Luna y la del agujero negro de la Vía Láctea a partir de la estrella S2.

⏱ 110 min despeje de ecuacionespotencias y raíces cúbicasnotación científicaproporcionalidadconversión de unidadeserror relativo y propagación de errores revision

Al terminar podrás:
  • Despejar la masa del cuerpo central de la tercera ley de Kepler en forma newtoniana, M = 4π²a³/(GT²), e identificar cada símbolo y sus unidades SI.
  • Calcular GM y M del Sol con la órbita de la Tierra, de Júpiter con la órbita de Ío y de la Tierra con la órbita de la Luna, y comparar con los valores nominales de la IAU.
  • Explicar por qué GM se conoce con mucha más precisión que M, y qué papel juega la masa del satélite en G(M + m).
  • Usar la forma en unidades astronómicas, M = a³/T² (en masas solares, UA y años), para pesar el agujero negro del centro de la Vía Láctea con la estrella S2.
  • Verificar con una tabla de datos reales que a³/T² es constante para los ocho planetas y propagar el error de T y a al de M.

¿Cuánto pesa el Sol? Nadie puede ponerlo en una báscula, y sin embargo conocemos su masa con cinco cifras. ¿Y la de un agujero negro a 26 000 años luz, que ni siquiera emite luz? También. El truco es el mismo en los dos casos: mirar algo que gire a su alrededor y cronometrarlo. La tercera ley de Kepler, una vez que Newton le puso la constante, es la balanza más grande del universo.

1. La balanza de Newton

Ilustración: La balanza de Newton

En la lección anterior dedujimos que, para una órbita circular de radio rr alrededor de un cuerpo de masa MM,

T2=4π2GM r3.T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3 .

Newton demostró que la fórmula vale también para órbitas elípticas si se usa el semieje mayor aa en lugar de rr. Despejando la masa:

 M=4π2a3G T2 \boxed{\,M = \frac{4\pi^2 a^3}{G\,T^2}\,}

donde

  • MM: masa del cuerpo central (kg),
  • aa: semieje mayor de la órbita del satélite (m),
  • TT: periodo orbital sidéreo del satélite (s),
  • G=6.674 30×10−11 m3 kg−1 s−2G = 6.674\,30 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2} (CODATA 2018).

Dos observaciones importantes:

  1. La masa del satélite no aparece. Un cuerpo pequeño orbita igual sea una piedra o una nave: por eso basta observar cualquier satélite para pesar al cuerpo central.
  2. Lo que la órbita da directamente es el producto GM=4π2a3/T2GM = 4\pi^2 a^3/T^2, que se mide con enorme precisión (diez cifras para la Tierra). Para separar MM hay que dividir entre GG, que solo se conoce con cinco cifras: la masa del Sol en kilogramos es menos precisa que GM⊙GM_\odot. Por eso los astrónomos trabajan casi siempre con GMGM (el parámetro gravitacional).

Ejemplo resuelto 1: la masa del Sol con la órbita de la Tierra

Semieje mayor a=1 UA=1.495 978 707×1011a = 1\ \text{UA} = 1.495\,978\,707 \times 10^{11} m; periodo sidéreo T=365.256 d×86 400=3.155 81×107T = 365.256\ \text{d} \times 86\,400 = 3.155\,81 \times 10^{7} s.

GM⊙=4π2a3T2=39.478×(1.495 979×1011)3(3.155 81×107)2=39.478×3.3479×10339.9591×1014=1.3271×1020 m3/s2.GM_\odot = \frac{4\pi^2 a^3}{T^2} = \frac{39.478 \times (1.495\,979 \times 10^{11})^3}{(3.155\,81 \times 10^{7})^2} = \frac{39.478 \times 3.3479 \times 10^{33}}{9.9591 \times 10^{14}} = 1.3271 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2 .

El valor nominal de la IAU es 1.327 124 4×10201.327\,124\,4 \times 10^{20}: coincidencia en las cinco cifras que usamos. Y

M⊙=GM⊙G=1.3271×10206.6743×10−11=1.988×1030 kg.M_\odot = \frac{GM_\odot}{G} = \frac{1.3271 \times 10^{20}}{6.6743 \times 10^{-11}} = 1.988 \times 10^{30}\ \text{kg}.

Dos mil cuatrillones de toneladas, 333 000 veces la masa de la Tierra, obtenidas con un calendario y una regla (la distancia Tierra–Sol).

Ejemplo resuelto 2: la masa de Júpiter con Ío

Galileo descubrió en 1610 cuatro lunas girando alrededor de Júpiter; la más interna, Ío, tarda T=1.769 138T = 1.769\,138 d =1.528 53×105= 1.528\,53 \times 10^{5} s en recorrer una órbita de semieje a=421 800a = 421\,800 km =4.218×108= 4.218 \times 10^{8} m.

GMJ=39.478×(4.218×108)3(1.528 53×105)2=39.478×7.5049×10252.3364×1010=1.268×1017 m3/s2,GM_J = \frac{39.478 \times (4.218 \times 10^{8})^3}{(1.528\,53 \times 10^{5})^2} = \frac{39.478 \times 7.5049 \times 10^{25}}{2.3364 \times 10^{10}} = 1.268 \times 10^{17}\ \text{m}^3/\text{s}^2 ,

frente al nominal IAU 1.266 865×10171.266\,865 \times 10^{17} (diferencia del 0.1 %, por el redondeo de aa). La masa: MJ=1.268×1017/6.6743×10−11=1.90×1027M_J = 1.268 \times 10^{17}/6.6743 \times 10^{-11} = 1.90 \times 10^{27} kg, y la comparación con el Sol:

MJM⊙=1.268×10171.3271×1020=11047.\frac{M_J}{M_\odot} = \frac{1.268 \times 10^{17}}{1.3271 \times 10^{20}} = \frac{1}{1047}.

Júpiter tiene una milésima de la masa del Sol y 318 veces la de la Tierra. Newton hizo exactamente este cálculo en los Principia (1687), con los datos de la época, y obtuvo 1/10671/1067.

Ejemplo resuelto 3: la masa de la Tierra con la Luna (y una corrección)

Luna: a=384 400a = 384\,400 km =3.844×108= 3.844 \times 10^{8} m, T=27.3217T = 27.3217 d =2.360 60×106= 2.360\,60 \times 10^{6} s.

4π2a3T2=39.478×5.6800×10255.5724×1012=4.024×1014 m3/s2.\frac{4\pi^2 a^3}{T^2} = \frac{39.478 \times 5.6800 \times 10^{25}}{5.5724 \times 10^{12}} = 4.024 \times 10^{14}\ \text{m}^3/\text{s}^2 .

Pero GM⊕=3.986 004×1014GM_\oplus = 3.986\,004 \times 10^{14}: nos pasamos un 1 %. La razón es que la Luna no es «pequeña»: tiene 1/81 de la masa terrestre, y en realidad la Tierra y la Luna giran ambas alrededor de su centro de masa común. La fórmula exacta de Newton para dos cuerpos es

4π2a3T2=G (M+m),\frac{4\pi^2 a^3}{T^2} = G\,(M + m),

con aa la distancia entre los dos cuerpos. Lo que medimos con la Luna es G(M⊕+ML)G(M_\oplus + M_L); la diferencia 4.024−3.986=0.038×10144.024 - 3.986 = 0.038 \times 10^{14} es, aproximadamente, GMLGM_L (0.049×10140.049 \times 10^{14} según la NASA; el resto viene de usar una distancia media redondeada y de la atracción del Sol). Para la Tierra y el Sol la corrección es despreciable: M⊕/M⊙=3×10−6M_\oplus/M_\odot = 3 \times 10^{-6}.

Con un satélite artificial la corrección desaparece. Un satélite geoestacionario (a=42 164a = 42\,164 km, T=86 164T = 86\,164 s) da GM⊕=39.478×(4.2164×107)3/86 1642=3.986×1014GM_\oplus = 39.478 \times (4.2164 \times 10^{7})^3/86\,164^2 = 3.986 \times 10^{14}: exacto.

2. La forma astronómica: masas solares, UA y años

Ilustración: La forma astronómica: masas solares, UA y años

Si medimos aa en UA, TT en años y MM en masas solares, la constante 4π2/G4\pi^2/G vale exactamente 1 (porque la Tierra, con a=1a = 1 UA y T=1T = 1 año, orbita una masa de 1 M⊙1\ M_\odot):

 M+m [M⊙]=a3 [UA3]T2 [an˜os2] \boxed{\,M + m\ [M_\odot] = \frac{a^3\ [\text{UA}^3]}{T^2\ [\text{años}^2]}\,}

Esta forma es la que usan los astrónomos para estrellas dobles (donde mm no es despreciable y se obtiene la suma de las dos masas) y para el centro de la galaxia.

Ejemplo resuelto 4: pesar el agujero negro de la Vía Láctea

La estrella S2 orbita el objeto Sagitario A*, en el centro de la Vía Láctea. El instrumento GRAVITY del Observatorio Europeo Austral midió su órbita (2020): periodo T=16.0455T = 16.0455 años, semieje mayor angular 125.058125.058 milisegundos de arco (mas), distancia al centro galáctico R0=8246.7R_0 = 8246.7 pc.

Primero el semieje en UA. Por la definición del pársec, un ángulo de 1′′1'' a 11 pc corresponde a 11 UA, así que a [UA]=a [′′]×d [pc]a\ [\text{UA}] = a\ ['']\times d\ [\text{pc}]:

a=0.125 058×8246.7=1031.3 UA.a = 0.125\,058 \times 8246.7 = 1031.3\ \text{UA}.

Y la masa:

M=a3T2=1031.3316.04552=1.0969×109257.46=4.26×106 M⊙.M = \frac{a^3}{T^2} = \frac{1031.3^3}{16.0455^2} = \frac{1.0969 \times 10^{9}}{257.46} = 4.26 \times 10^{6}\ M_\odot .

Cuatro millones de soles en una región más pequeña que la órbita de Mercurio… y que no emite luz. La masa de S2 (unas 14 M⊙M_\odot) es despreciable. El resultado publicado por GRAVITY es 4.261×106 M⊙4.261 \times 10^{6}\ M_\odot.

3. ¿Y los planetas sin lunas?

Ilustración: ¿Y los planetas sin lunas?

Mercurio y Venus no tienen satélites naturales, así que su masa fue durante siglos la peor conocida del Sistema Solar (solo se podía estimar por las perturbaciones que causan en las órbitas vecinas). Hoy se pesan con sondas: la trayectoria de Mariner 10 y MESSENGER (Mercurio) y de Magallanes y Venus Express (Venus) se desvía por la gravedad del planeta, y de esa desviación se obtiene GMGM. Es la misma ley: un cuerpo en caída libre «mide» la masa que lo atrae.

Simulador: una balanza para el Sol

El simulador resuelve la órbita exacta alrededor del Sol con GM⊙=1.327 124 4×1020GM_\odot = 1.327\,124\,4 \times 10^{20} m³/s² y muestra TT y aa en el panel inferior.

  1. Pon e=0e = 0 y a=1.00a = 1.00 UA. Lee TT (en años) y comprueba a3/T2=1a^3/T^2 = 1.
  2. Cambia aa a 5.20 UA (Júpiter) y a 0.39 UA (Mercurio). ¿Se mantiene a3/T2=1a^3/T^2 = 1? Esa constancia es la prueba de que todos orbitan la misma masa.
  3. Pon e=0.5e = 0.5 sin cambiar aa: el periodo no cambia. Solo el semieje mayor determina TT, no la forma de la órbita. Por eso la fórmula usa aa y no la distancia instantánea.
  4. Lee aa en metros y TT en segundos para una órbita cualquiera y calcula 4π2a3/T24\pi^2 a^3/T^2 en la calculadora: debe darte 1.327×10201.327 \times 10^{20}.
Periodo T = 1.000 años · t = 0.000 años · r = 0.000 UA · v = 0.00 km/s

Actividad: la constante de Kepler con los ocho planetas

Necesitas: calculadora científica u hoja de cálculo, y esta tabla (NASA Planetary Fact Sheet).

Planetaaa (UA)TT (días)
Mercurio0.3871087.969
Venus0.72333224.701
Tierra1.00000365.256
Marte1.52371686.980
Júpiter5.202894332.59
Saturno9.5366810759.22
Urano19.1891630685.4
Neptuno30.0699260189
  1. Convierte cada periodo a años dividiendo entre 365.256 (año sidéreo).
  2. Calcula a3a^3, T2T^2 y el cociente a3/T2a^3/T^2 para cada planeta, con cuatro cifras decimales.
  3. Calcula la media y la desviación máxima respecto de 1.0000. ¿Qué planeta se aparta más? ¿Es un error de medida o hay una razón física? (Pista: el cociente da M⊙+mplanetaM_\odot + m_{\text{planeta}} en masas solares.)
  4. Convierte el cociente de la Tierra a unidades SI: multiplica a3a^3 por (1.495 978 707×1011)3(1.495\,978\,707 \times 10^{11})^3 y divide T2T^2 por (3.155 81×107)2(3.155\,81 \times 10^{7})^2; multiplica por 4π24\pi^2 y obtén GM⊙GM_\odot. Divide entre GG y escribe M⊙M_\odot con tres cifras.
  5. En la hoja de cálculo, grafica log⁡10T\log_{10} T contra log⁡10a\log_{10} a: la pendiente debe ser 3/23/2.

Pregunta final: si el periodo de Júpiter se midiera con un error del 1 %, ¿qué error tendría su cociente a3/T2a^3/T^2? ¿Y si el error del 1 % estuviera en aa? ¿Cuál de las dos medidas conviene afinar más?

Ejercicios

Básico

  1. Un satélite da una vuelta a la Tierra cada 100 min a a=7160a = 7160 km. Calcula GM⊕GM_\oplus y compáralo con el valor nominal.
Ver solución

T=6000T = 6000 s. GM=39.478×(7.16×106)3/60002=39.478×3.671×1020/3.6×107=4.03×1014GM = 39.478 \times (7.16 \times 10^{6})^3/6000^2 = 39.478 \times 3.671 \times 10^{20}/3.6 \times 10^{7} = 4.03 \times 10^{14} m³/s², un 1 % por encima de 3.986×10143.986 \times 10^{14} (los datos del enunciado están redondeados).

  1. Marte: su luna Fobos orbita con a=9378a = 9378 km y T=0.31891T = 0.31891 d. Calcula GMMarteGM_{\text{Marte}} y la masa de Marte. NASA: GM=4.2828×1013GM = 4.2828 \times 10^{13} m³/s².
Ver solución

T=27 554T = 27\,554 s. GM=39.478×(9.378×106)3/27 5542=39.478×8.2475×1020/7.592×108=4.289×1013GM = 39.478 \times (9.378 \times 10^{6})^3/27\,554^2 = 39.478 \times 8.2475 \times 10^{20}/7.592 \times 10^{8} = 4.289 \times 10^{13} m³/s² (error 0.1 %). M=4.289×1013/6.6743×10−11=6.43×1023M = 4.289 \times 10^{13}/6.6743 \times 10^{-11} = 6.43 \times 10^{23} kg, el 10.7 % de la masa terrestre.

  1. Usa la forma astronómica para hallar la masa de una estrella alrededor de la cual un planeta orbita a 2 UA con periodo 2 años.
Ver solución

M=a3/T2=8/4=2 M⊙M = a^3/T^2 = 8/4 = 2\ M_\odot.

Medio

  1. Europa (a=671 100a = 671\,100 km, T=3.551 181T = 3.551\,181 d), Ganímedes (1 070 4001\,070\,400 km, 7.154 5537.154\,553 d) y Calisto (1 882 7001\,882\,700 km, 16.689 01716.689\,017 d) orbitan Júpiter. Calcula GMJGM_J con cada una y comenta la dispersión.
Ver solución

Europa: T=3.0682×105T = 3.0682 \times 10^{5} s, GM=39.478×3.0224×1026/9.414×1010=1.2674×1017GM = 39.478 \times 3.0224 \times 10^{26}/9.414 \times 10^{10} = 1.2674 \times 10^{17}. Ganímedes: T=6.1815×105T = 6.1815 \times 10^{5} s, GM=39.478×1.2264×1027/3.8211×1011=1.2671×1017GM = 39.478 \times 1.2264 \times 10^{27}/3.8211 \times 10^{11} = 1.2671 \times 10^{17}. Calisto: T=1.44193×106T = 1.44193 \times 10^{6} s, GM=39.478×6.6733×1027/2.0792×1012=1.2671×1017GM = 39.478 \times 6.6733 \times 10^{27}/2.0792 \times 10^{12} = 1.2671 \times 10^{17}. Los cuatro satélites (con Ío, 1.268×10171.268 \times 10^{17}) coinciden en tres cifras: cuatro «balanzas» independientes dan el mismo peso, lo que confirma que todos orbitan la misma masa central con la misma ley.

  1. Saturno: Titán orbita con a=1 221 870a = 1\,221\,870 km y T=15.945 421T = 15.945\,421 d. Calcula la masa de Saturno y exprésala en masas terrestres (M⊕=5.972×1024M_\oplus = 5.972 \times 10^{24} kg).
Ver solución

T=1.37768×106T = 1.37768 \times 10^{6} s. GM=39.478×(1.22187×109)3/(1.37768×106)2=39.478×1.8242×1027/1.8980×1012=3.794×1016GM = 39.478 \times (1.22187 \times 10^{9})^3/(1.37768 \times 10^{6})^2 = 39.478 \times 1.8242 \times 10^{27}/1.8980 \times 10^{12} = 3.794 \times 10^{16} m³/s². M=5.685×1026M = 5.685 \times 10^{26} kg =95.2 M⊕= 95.2\ M_\oplus (NASA: 568×1024568 \times 10^{24} kg).

  1. Despeja aa de la fórmula y calcula a qué distancia debería orbitar un satélite de Júpiter para tardar exactamente un día terrestre (86 400 s).
Ver solución

a=GM T2/4π23=1.2669×1017×7.4650×109/39.4783=2.3956×10253=2.88×108a = \sqrt[3]{GM\,T^2/4\pi^2} = \sqrt[3]{1.2669 \times 10^{17} \times 7.4650 \times 10^{9}/39.478} = \sqrt[3]{2.3956 \times 10^{25}} = 2.88 \times 10^{8} m =288 000= 288\,000 km, entre Ío (421 800 km) y la superficie de Júpiter (71 500 km).

Reto

  1. Con la órbita de la Luna obtuvimos G(M⊕+ML)=4.024×1014G(M_\oplus + M_L) = 4.024 \times 10^{14}, pero el valor exacto es G(M⊕+ML)=3.986 004×1014+0.0490×1014=4.035×1014G(M_\oplus + M_L) = 3.986\,004 \times 10^{14} + 0.0490 \times 10^{14} = 4.035 \times 10^{14}. Calcula qué periodo lunar TT sería compatible con ese valor y a=384 400a = 384\,400 km, y compáralo con 27.3217 d. ¿A qué atribuyes la diferencia de minutos?
Ver solución

T=2πa3/G(M+m)=2π5.6800×1025/4.035×1014=2π1.4077×1011=2π×3.7519×105=2.3574×106T = 2\pi\sqrt{a^3/G(M+m)} = 2\pi\sqrt{5.6800 \times 10^{25}/4.035 \times 10^{14}} = 2\pi\sqrt{1.4077 \times 10^{11}} = 2\pi \times 3.7519 \times 10^{5} = 2.3574 \times 10^{6} s =27.285= 27.285 d, unos 53 min menos que 27.3217 d (0.13 %). La órbita lunar no es una elipse kepleriana pura: el Sol la perturba (su atracción diferencial alarga el periodo) y 384 400 km es una media convencional. Para la precisión de un libro de secundaria el acuerdo es excelente; para la precisión de un astrónomo hace falta la teoría de perturbaciones.

  1. S2 tiene excentricidad e=0.8846e = 0.8846. Calcula su distancia mínima y máxima a Sagitario A* en UA y en horas luz (1 UA = 499 s luz). ¿Cabría el Sistema Solar (Neptuno a 30 UA) dentro de la órbita de S2?
Ver solución

rp=a(1−e)=1031.3×0.1154=119r_p = a(1-e) = 1031.3 \times 0.1154 = 119 UA =16.5= 16.5 h luz; ra=a(1+e)=1944r_a = a(1+e) = 1944 UA =269= 269 h luz =11.2= 11.2 días luz. El Sistema Solar entero (30 UA) cabe cuatro veces dentro de la distancia mínima de S2 al agujero negro.

  1. Demuestra que en la forma astronómica la constante vale 1: parte de M=4π2a3/(GT2)M = 4\pi^2 a^3/(GT^2) en SI y sustituye a=1a = 1 UA, T=1T = 1 año sidéreo =3.155 81×107= 3.155\,81 \times 10^{7} s, GG y M⊙=1.988×1030M_\odot = 1.988 \times 10^{30} kg.
Ver solución

4π2a3/(GT2)=39.478×3.3479×1033/(6.6743×10−11×9.9591×1014)=1.988×10304\pi^2 a^3/(GT^2) = 39.478 \times 3.3479 \times 10^{33}/(6.6743 \times 10^{-11} \times 9.9591 \times 10^{14}) = 1.988 \times 10^{30} kg =1.000 M⊙= 1.000\ M_\odot. Al expresar aa en UA, TT en años y MM en M⊙M_\odot, todos los factores de conversión se cancelan y queda M=a3/T2M = a^3/T^2.

✦ Mini-prueba

  1. 1. Para pesar el Sol basta conocer…
  2. 2. Si se duplica el semieje mayor de un satélite (misma masa central), su periodo se multiplica por…
  3. 3. ¿Por qué GM del Sol se conoce con más cifras que M?
  4. 4. Con la órbita de la Luna, 4π²a³/T² sale un 1 % mayor que GM⊕ porque…
  5. 5. En unidades astronómicas (UA, años, masas solares), la tercera ley se escribe…
  6. 6. La estrella S2 orbita Sagitario A* con a ≈ 1031 UA y T ≈ 16.05 años. La masa del agujero negro es de unos…
Responde todas para comprobar.

Recuerda

  • M=4π2a3/(GT2)M = 4\pi^2 a^3/(GT^2): cualquier satélite es una balanza para el cuerpo central; la masa del satélite no interviene (salvo en G(M+m)G(M+m) si no es pequeña).
  • Las órbitas dan GMGM con enorme precisión; MM hereda la incertidumbre de GG.
  • Sol (con la Tierra): GM⊙=1.327×1020GM_\odot = 1.327 \times 10^{20} m³/s², M⊙=1.988×1030M_\odot = 1.988 \times 10^{30} kg. Júpiter (con Ío): 1/1047 M⊙1/1047\ M_\odot. Tierra (con la Luna): 4.02×10144.02 \times 10^{14}, un 1 % de más por la masa lunar.
  • En UA, años y masas solares: M=a3/T2M = a^3/T^2. Con S2: 10313/16.052=4.3×106 M⊙1031^3/16.05^2 = 4.3 \times 10^{6}\ M_\odot para el agujero negro de la Vía Láctea.
  • Sin lunas (Mercurio, Venus) se pesa con la trayectoria de las sondas.
🍎 Guía docente
Tiempo
2 sesiones de 55 min
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Ciencias Naturales 10.º a 11.º, entorno físico: «Relaciono masa, distancia y fuerza de atracción gravitacional entre objetos» y «Establezco relaciones entre el modelo del campo gravitacional y la ley de gravitación universal»; me aproximo al conocimiento como científico natural: «Utilizo las matemáticas para modelar, analizar y presentar datos y modelos en forma de ecuaciones, funciones y conversiones» e «Interpreto los resultados teniendo en cuenta el orden de magnitud del error experimental». Matemáticas 10.º a 11.º, pensamiento numérico: «Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada»; pensamiento métrico: «Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media» y «Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos».
Evidencia de aprendizaje
Despeja M de la tercera ley, calcula GM y M del Sol, Júpiter y la Tierra a partir de datos orbitales reales en unidades SI con notación científica, explica la corrección G(M + m) con la Luna, verifica a³/T² = 1 con la tabla de los ocho planetas y aplica la forma astronómica para pesar Sagitario A* con la órbita de S2, propagando errores de T y a.

Materiales

  • Calculadora científica (raíces cúbicas y notación científica)
  • Computador con hoja de cálculo para la actividad (uno por grupo)
  • Tabla de la actividad impresa
  • Computador o tableta con el simulador de órbitas

Secuencia sugerida

Sesión 1. La balanza de Newton (55 min). Inicio: ¿cómo se pesa lo que no se puede tocar? (5 min). Desarrollo: despeje de MM, ejemplos resueltos 1 y 2 en el tablero con calculadora, discusión de GMGM frente a MM (25 min); simulador, pasos 1–4 (10 min). Cierre: ejercicios 1 y 2 (15 min).

Sesión 2. De la Luna al agujero negro (55 min). Inicio: ejemplo 3 y la corrección G(M+m)G(M+m) (10 min). Desarrollo: forma astronómica y ejemplo 4 (S2), con énfasis en la conversión de mas y pc a UA (15 min); actividad de la tabla de planetas por grupos en hoja de cálculo (20 min). Cierre: mini-prueba (10 min). Los retos 7–9 pueden dejarse como tarea para el grupo que termine antes.

Errores frecuentes

  • Usar la altura del satélite en lugar del semieje mayor, o km en lugar de m. Exigir conversión a SI y comprobar el orden de magnitud contra el valor nominal.
  • Creer que un satélite más masivo orbita distinto. Mostrar la cancelación de m en v²/r = GM/r² y la constancia de a³/T² para las cuatro lunas de Júpiter.
  • Confundir G con GM. Insistir en que la órbita mide el producto y en que G se mide en laboratorio.
  • Olvidar que T debe ser el periodo sidéreo (respecto a las estrellas) y no el sinódico. Remitir a la lección de fases y eclipses.
  • Sumar errores relativos sin tener en cuenta los exponentes: el error de a³ es el triple del de a y el de T² el doble del de T.
Palabras clave de esta lección (12)

Términos del glosario que aparecen en el texto. Cada uno enlaza a su ficha completa.

  • Órbita El camino que sigue un cuerpo alrededor de otro por la gravedad: la Luna alrededor de la Tierra, la Tierra alrededor del Sol. Casi todas son elipses, óvalos un poco achatados.
  • Unidad astronómica La distancia media entre la Tierra y el Sol. Sirve de «regla» para medir el Sistema Solar: Júpiter está a unas 5 UA del Sol.
  • Agujero negro Un objeto con tanta masa en tan poco espacio que ni la luz puede escapar de él. Se forman cuando mueren las estrellas más grandes; en el centro de casi toda galaxia hay uno gigante.
  • Leyes de Kepler Tres reglas sobre cómo se mueven los planetas: (1) siguen elipses con el Sol en un foco, (2) van más rápido cuando están más cerca del Sol y (3) los planetas lejanos tardan mucho más en dar la vuelta.
  • Perturbación Cualquier «empujoncito» que aparta una órbita de la elipse perfecta: la atracción de otros planetas, el achatamiento de la Tierra, el rozamiento con el aire. Así se descubrió Neptuno, por las perturbaciones en Urano.
  • Masa y peso La masa es cuánta «materia» tienes, y es la misma en cualquier lugar. El peso es la fuerza con que un planeta te atrae: en la Luna pesarías seis veces menos, pero tu masa sería la misma.
  • Semieje mayor La mitad del largo de la elipse: la distancia «media» del planeta al Sol. Es el número que manda en la tercera ley de Kepler: cuanto mayor, más lento es el planeta.
  • Órbita geoestacionaria Una órbita a 35 786 km de altura sobre el ecuador en la que un satélite tarda exactamente un día en dar la vuelta, así que siempre queda sobre el mismo punto de la Tierra. Ahí están los satélites de televisión.
  • Parsec Unidad de distancia que usan los astrónomos para las estrellas: un parsec son unos 3,26 años luz. Viene de medir el pequeño ángulo con que una estrella «se mueve» cuando la Tierra da la vuelta al Sol.
  • Mes sidéreo El tiempo que tarda la Luna en dar una vuelta completa a la Tierra respecto a las estrellas: 27,3 días. Es también lo que tarda en girar sobre sí misma, por eso siempre nos muestra la misma cara.
  • Período orbital El tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa a su órbita: un año para la Tierra, 27,3 días para la Luna, 88 días para Mercurio.
  • Problema de dos cuerpos Calcular cómo se mueven dos cuerpos que solo se atraen entre sí, como el Sol y un planeta. Tiene solución exacta: las elipses de Kepler. Con tres cuerpos ya no hay fórmula cerrada.

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Referencias

  • Newton, I. (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, libro III, proposiciones VIII y XII (masas del Sol, Júpiter, Saturno y la Tierra a partir de sus satélites).
  • CODATA (2018). Recommended values of the fundamental physical constants: G = 6.674 30(15) × 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻².
  • IAU (2015). Resolution B3 on recommended nominal conversion constants: (GM)☉ = 1.327 124 4 × 10²⁰ m³ s⁻², (GM)⊕ = 3.986 004 × 10¹⁴ m³ s⁻², (GM)_J = 1.266 865 3 × 10¹⁷ m³ s⁻². IAU (2012) Resolution B2: 1 UA = 1.495 978 707 × 10¹¹ m.
  • NASA Goddard Space Flight Center, Planetary Fact Sheet y Earth Fact Sheet (nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/): periodo orbital sidéreo de la Tierra 365.256 d; semiejes y periodos de los ocho planetas; Mars Fact Sheet: GM = 0.042828 × 10⁶ km³/s², Fobos a = 9378 km, T = 0.31891 d.
  • NASA GSFC, Moon Fact Sheet: semieje mayor 0.3844 × 10⁶ km, periodo sidéreo 27.3217 d, GM = 0.00490 × 10⁶ km³/s², masa 0.07346 × 10²⁴ kg, razón de masas Luna/Tierra 0.0123.
  • NASA GSFC, Jovian Satellite Fact Sheet: Ío a = 421.8 × 10³ km, T = 1.769138 d; Europa 671.1 × 10³ km, 3.551181 d; Ganímedes 1070.4 × 10³ km, 7.154553 d; Calisto 1882.7 × 10³ km, 16.689017 d. Saturnian Satellite Fact Sheet: Titán a = 1221.87 × 10³ km, T = 15.945421 d.
  • GRAVITY Collaboration, Abuter, R. et al. (2020). Detection of the Schwarzschild precession in the orbit of the star S2 near the Galactic centre massive black hole. A&A 636, L5 (arXiv:2004.07187), tabla 1: M = 4.261 × 10⁶ M☉, R₀ = 8246.7 pc, a = 125.058 mas, e = 0.884649, P = 16.0455 yr.
  • Galilei, G. (1610). Sidereus Nuncius (descubrimiento de los cuatro satélites de Júpiter).
  • Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, MEN: Matemáticas 10.º a 11.º (pp. 88–89) y Ciencias Naturales 10.º a 11.º (pp. 140–141).

Simuladores de esta lección: Órbita kepleriana