Aristarco: distancias Tierra–Luna–Sol

Una tarde de cuarto creciente, hacia las cuatro, puedes ver a la vez el Sol bajando por el occidente y la media Luna alta en el cielo. Hace unos 2300 años, Aristarco de Samos miró esa misma escena y se hizo una pregunta que nadie había sabido responder con números: ¿cuántas veces más lejos está el Sol que la Luna? No tenía telescopio ni reloj, pero tenía geometría. Su método es correcto; su número, no. Entender por qué falló es la mejor lección de esta unidad.

1. El triángulo de la media Luna

La Luna brilla porque refleja la luz del Sol: siempre está iluminada exactamente la mitad que mira al Sol. En el cuarto creciente (o menguante) vemos iluminada justo la mitad del disco. Eso solo ocurre cuando el terminador (la línea que separa la parte iluminada de la oscura) apunta hacia nosotros, es decir, cuando la línea Luna→Sol es perpendicular a la línea Luna→Tierra.

Dicho en geometría: en el instante exacto de la media Luna (la dicotomía), el triángulo Sol–Luna–Tierra tiene un ángulo recto en la Luna.

Llamemos:

• $d_L$: distancia Tierra–Luna,
• $d_S$: distancia Tierra–Sol,
• $\theta$: ángulo Sol–Tierra–Luna, con vértice en la Tierra (la elongación de la Luna en ese instante).

En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente dividido por la hipotenusa es el coseno del ángulo:

Esta es toda la idea. Basta medir un ángulo en el cielo para saber cuántas veces más lejos está el Sol que la Luna.

Ejemplo resuelto 1: el cálculo de Aristarco

Aristarco afirmó que en la dicotomía el ángulo $\theta$ es «menor que un cuadrante en la treintava parte de un cuadrante»: $90° - 90°/30 = 87°$. Entonces

Aristarco no conocía la función coseno (la trigonometría se inventaría siglos después); con desigualdades geométricas al estilo de Euclides demostró que la razón estaba entre 18 y 20. Ese número se aceptó durante casi dos mil años.

Ejemplo resuelto 2: el valor real

Hoy sabemos que $d_L = 384\,400$ km (distancia media) y $d_S = 1\ \text{UA} = 149\,597\,871$ km, así que

El ángulo real de la dicotomía es, por tanto,

Aristarco se equivocó en el ángulo por menos de 3°, ¡y el resultado salió 20 veces más pequeño que el real! Su geometría era impecable; el problema estaba en otra parte.

2. ¿Por qué un error tan grande? Sensibilidad del método

Cerca de 90° el coseno es casi cero y cambia muy rápido. Mira la tabla:

Entre 89.85° y 89.95°, una diferencia de una décima de grado, la razón se triplica. Decimos que el método es muy sensible al error del ángulo: un error pequeño en la entrada produce un error enorme en la salida.

Podemos cuantificarlo sin cálculo. Si $\theta = 90° - \varepsilon$ con $\varepsilon$ pequeño (en radianes), $\cos\theta = \sin\varepsilon \approx \varepsilon$, de modo que

La razón de distancias es el inverso del pequeño ángulo que falta para 90°. Si $\varepsilon$ se mide con un error relativo del 10 %, la razón sale con un error relativo del 10 %; pero si el valor verdadero es $\varepsilon = 0.147°$ y Aristarco midió $3°$, su error relativo fue del 1900 %. No había manera de medir a simple vista una décima de grado en el momento de la dicotomía:

1. El terminador no es una línea nítida: montañas y cráteres lo hacen irregular, y a simple vista es imposible decir si la Luna está iluminada al 50.0 % o al 50.5 %.
2. El momento de la dicotomía es difícil de fijar. La Luna se aleja del Sol a razón de $360°/29.53\ \text{d} = 12.2°$ por día $\approx 0.51°$ por hora. Un error de 2.85° en el ángulo equivale a equivocarse en $2.85/0.51 \approx 5.6$ horas al decidir cuándo la Luna está exactamente «media». Para acertar a $0.1°$ habría que fijar el instante con una precisión de 12 minutos.
3. El ángulo hay que medirlo entre el Sol y la Luna, en pleno día, con el Sol cegador: no se puede mirar directamente.

El método de Aristarco es correcto, pero los instrumentos de su época no podían darle el dato que necesitaba. Esta distinción, método válido con medida insuficiente, es una de las ideas centrales de la ciencia.

Reto con el simulador. Arrastra la Luna hasta que la fracción iluminada marque 50.0 % y lee el ángulo Sol–Tierra–Luna: el simulador muestra 90°. El modelo exacto (Meeus, ec. 48.3) da 89.85°: la diferencia con 90° es más pequeña que la precisión con que se muestra el ángulo, y mucho más pequeña que lo que puede apreciar un ojo. Ahora arrastra la Luna de 80° a 100° y observa cuán poco cambia el aspecto del disco: entre 49 % y 51 % iluminado.

3. El tamaño de la Luna: la sombra de la Tierra

Aristarco combinó la razón anterior con una segunda observación: en un eclipse lunar, la Luna cruza la sombra de la Tierra, y cronometrando cuánto tarda en entrar y en atravesarla se obtiene la anchura de la sombra en diámetros lunares. Aristarco supuso que la sombra medía 2 diámetros lunares; las medidas modernas dan 2.65.

Por qué la sombra es más estrecha que la Tierra

La sombra de la Tierra es un cono, porque el Sol es más grande que la Tierra. Un hecho afortunado simplifica la geometría: el Sol y la Luna tienen el mismo tamaño angular en el cielo (unos $0.5°$; por eso existen los eclipses totales de Sol). Llamemos $\alpha$ a ese semiángulo ($\approx 0.26°$).

• El radio de la Luna es $R_M = d_L \tan\alpha$ (triángulo rectángulo Tierra–centro de la Luna–borde de la Luna).
• El cono de sombra se estrecha, por cada unidad de distancia, en $\tan\alpha' = (R_S - R_\oplus)/d_S$, donde $R_S$ es el radio del Sol y $R_\oplus$ el de la Tierra. Como $d_S \gg d_L$, $\alpha'$ es prácticamente el semiángulo del Sol, igual a $\alpha$.

Así, a la distancia de la Luna el radio de la sombra $u$ es

La sombra de la Tierra a la distancia de la Luna mide un radio lunar menos que la Tierra. Si la sombra mide $n$ radios lunares ($u = nR_M$),

Ejemplo resuelto 3: con el dato de Aristarco y con el moderno

• Aristarco, $n = 2$: $R_\oplus = 3R_M$. La Luna tendría un tercio del tamaño de la Tierra. (Con su geometría de desigualdades obtuvo una razón de diámetros entre $108/43 = 2.51$ y $60/19 = 3.16$.)
• Moderno, $n = 2.65$: $R_\oplus = 3.65R_M$, es decir, $R_M = 6371/3.65 = 1745$ km. El valor medido es 1737.4 km: un error del 0.4 %.

Comprobación del dato moderno con la geometría exacta: $u = 6371 - 384\,400 \times (695\,700 - 6371)/149\,597\,871 = 6371 - 1771 = 4600$ km, y $4600/1737.4 = 2.65$. ✓

4. De la Luna al Sol: la cadena de Aristarco

Con el radio de la Tierra (que Eratóstenes mediría unas décadas después) todo lo demás cae en cadena:

1. Distancia a la Luna. El diámetro angular de la Luna es $\theta_M \approx 0.52°$ (NASA: $2 \times 1737.4/384\,400$ rad). Como el ángulo es pequeño, $d_L = \frac{2R_M}{\theta_M\ (\text{rad})} = \frac{2 \times 1737.4}{0.52 \times \pi/180} = 383\,000\ \text{km} \approx 60\,R_\oplus .$ (Media real: 384 400 km $= 60.3\,R_\oplus$.) En su tratado Aristarco usó un diámetro angular de $2°$, cuatro veces demasiado grande; Arquímedes cuenta que más tarde lo corrigió a $1/720$ de círculo, es decir, 0.5°.
2. Distancia al Sol. $d_S = 19\,d_L \approx 1140\,R_\oplus$ según Aristarco; en realidad $389\,d_L = 23\,500\,R_\oplus$.
3. Tamaño del Sol. Como Sol y Luna tienen el mismo tamaño angular, $R_S/R_M = d_S/d_L$. Con la razón 19 y $R_\oplus = 3R_M$: $R_S = 19R_M = 6.3\,R_\oplus$. (Real: $695\,700/6371 = 109\,R_\oplus$.)

Aunque le faltó un factor 20, Aristarco llegó a una conclusión revolucionaria: el Sol es mucho más grande que la Tierra. Y se preguntó qué era más razonable: que lo enorme girara alrededor de lo pequeño o al revés. Por eso propuso, diecisiete siglos antes que Copérnico, que la Tierra gira alrededor del Sol.

Actividad: medir el ángulo Sol–Luna sin mirar al Sol

Necesitas: una tabla o cartón rígido de unos 40 × 40 cm, un transportador grande (o uno impreso), dos pitillos, cinta adhesiva, una tarde con la Luna en cuarto creciente visible junto al Sol (busca la fecha en el simulador: edad ≈ 7 días) y, opcionalmente, un celular con brújula.

Nunca mires al Sol directamente ni a través de un pitillo. El pitillo del Sol se apunta por su sombra.

1. Pega el transportador en el centro de la tabla. Fija un pitillo con cinta sobre la línea de 0° de modo que pueda girar con la tabla.
2. Sostén la tabla de canto (vertical o inclinada) y gírala hasta que el plano de la tabla contenga al Sol y a la Luna: lo sabrás porque la sombra del primer pitillo cae sobre la tabla como una línea, no como un punto ancho.
3. Orienta el primer pitillo hacia el Sol mirando su sombra: cuando apunta exactamente al Sol, su sombra se reduce a un punto en el extremo.
4. Sin mover la tabla, apunta el segundo pitillo a la Luna mirando a través de él. Lee en el transportador el ángulo entre los dos pitillos: es $\theta$.
5. Repite tres veces y promedia. Calcula $d_S/d_L = 1/\cos\theta$ con cada lectura.

Pregunta final: tus tres lecturas probablemente difieren en 1° o 2°. ¿Entre qué valores queda $d_S/d_L$? ¿Qué precisión tendrías que alcanzar para distinguir 89.85° de 90°? ¿Qué cambiarías del instrumento?

Ejercicios

Básico

1. Calcula $d_S/d_L$ para $\theta = 80°$, $86°$ y $88°$. ¿Cuánto cambia el resultado por cada grado?

2. Si $d_L = 384\,400$ km, ¿a qué distancia pondría Aristarco al Sol? Exprésala en km y en UA.

3. En un eclipse lunar la Luna tarda unos 60 min en entrar completamente en la sombra y la totalidad dura unos 100 min. Estima la anchura de la sombra en diámetros lunares (usa que el borde de la Luna cruza la sombra a velocidad constante).

Medio

4. Con $\theta = 90° - \varepsilon$ y $\varepsilon$ pequeño, $d_S/d_L \approx 1/\varepsilon$ (radianes). Calcula la razón para $\varepsilon = 3°$ y $\varepsilon = 0.147°$ con esta aproximación y compárala con la tabla.

5. La Luna se aleja del Sol $0.51°$ por hora. Si un observador fija el instante de la dicotomía con un error de ±2 h, ¿entre qué valores obtiene $d_S/d_L$ si el valor verdadero del ángulo es 89.85°?

6. Demuestra que, si la sombra de la Tierra a la distancia de la Luna mide $n$ radios lunares, entonces $R_M/R_\oplus = 1/(n+1)$, y calcula $R_M$ con $n = 2.65$ y $R_\oplus = 6371$ km. ¿Qué error relativo tiene el resultado frente a 1737.4 km?

Reto

7. Aristarco usó en su tratado un diámetro angular lunar de $2°$. Rehaz el paso 1 de la sección 4 con ese dato y explica por qué una Luna tan «grande» tendría que estar tan cerca. Luego usa $0.5°$ y compara.

8. La distancia Tierra–Luna varía entre 363 300 km (perigeo) y 405 500 km (apogeo). Calcula el ángulo de dicotomía $\theta$ en cada caso con $d_S = 1$ UA y explica si Aristarco habría podido notar la diferencia.

Recuerda

• En la media Luna el triángulo Sol–Luna–Tierra es rectángulo en la Luna: $d_S/d_L = 1/\cos\theta$.
• Aristarco: $\theta = 87° \Rightarrow 19$. Real: $\theta = 89.85° \Rightarrow 389$. Un error de 3° en el ángulo se convierte en un factor 20 en la distancia.
• Cerca de 90°, $d_S/d_L \approx 1/\varepsilon$ con $\varepsilon = 90° - \theta$ en radianes: el método es extremadamente sensible.
• En un eclipse lunar la sombra de la Tierra mide $n \approx 2.65$ radios lunares, y $R_\oplus = (n+1)R_M$: la Luna tiene un 27 % del radio terrestre.
• Con el diámetro angular ($0.52°$) y el radio de la Luna, la distancia Tierra–Luna sale $\approx 60\,R_\oplus$.
• Un método puede ser correcto y dar un resultado malo si la medida no tiene la precisión que el método exige.