La vida de las estrellas

Un bus que sale de Bogotá con el tanque lleno llega más lejos que una tractomula con el mismo tanque: la tractomula consume mucho más por kilómetro. Con las estrellas pasa algo parecido, pero con un giro sorprendente: las estrellas más masivas tienen más combustible y aun así viven menos, porque lo gastan a un ritmo desproporcionado. En esta lección vas a calcular cuánto vive una estrella a partir de su masa, con una función potencia, y a descubrir que lo que queda al final (una enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro) también lo decide la masa.

1. El combustible: E = mc²

Una estrella de la secuencia principal brilla porque en su núcleo fusiona hidrógeno en helio. Cuatro átomos de hidrógeno (4 × 1,007 825 u = 4,031 300 u) se convierten en un átomo de helio (4,002 602 u): faltan 0,028 698 u, el 0,7 % de la masa, que se transforma en energía según

donde $E$ es la energía liberada (J), $m$ la masa que desaparece (kg) y $c = 2{,}998 \times 10^{8}$ m/s la velocidad de la luz.

Ejemplo resuelto 1: cuánta masa pierde el Sol cada segundo. El Sol emite $L_\odot = 3{,}828 \times 10^{26}$ W, es decir, $3{,}828 \times 10^{26}$ J cada segundo. La masa convertida es

cuatro millones de toneladas por segundo. Y como solo el 0,7 % del hidrógeno fusionado se convierte en energía, el Sol «quema» $4{,}26 \times 10^{9}/0{,}007 \approx 6 \times 10^{11}$ kg de hidrógeno por segundo.

Ejemplo resuelto 2: cuánto dura. Solo el núcleo, en torno al 10 % de la masa de la estrella, está lo bastante caliente para fusionar. El combustible utilizable del Sol es entonces $0{,}1\,M_\odot = 1{,}99 \times 10^{29}$ kg, del que el 0,7 % se vuelve energía:

(un año tiene $3{,}156 \times 10^{7}$ s). Diez mil millones de años en la secuencia principal. El Sistema Solar tiene $4{,}567 \times 10^{9}$ años (datación de los meteoritos más antiguos), así que el Sol va por la mitad de su vida: le quedan unos 5000 millones de años.

2. Más masa, mucha más luminosidad

Las masas de las estrellas se miden en sistemas binarios con la tercera ley de Kepler. Al compararlas con las luminosidades aparece una función potencia muy empinada, la relación masa–luminosidad:

válida de forma aproximada para estrellas de la secuencia principal entre 0,5 y 20 $M_\odot$ (el exponente real cambia por tramos entre 2 y 6; 3,5 es un promedio útil). Una estrella con el doble de masa no brilla el doble, sino

Ejemplo resuelto 3: Sirio A. Su masa es $2{,}063\,M_\odot$. Predicción: $2{,}063^{3{,}5}$. Con logaritmos, $\log L = 3{,}5\log 2{,}063 = 3{,}5 \times 0{,}3145 = 1{,}101$, así que $L \approx 10^{1{,}10} = 12{,}6\,L_\odot$. El valor medido es $25{,}4\,L_\odot$: el orden de magnitud es correcto, pero la ley «promedio» se queda corta a un factor 2, porque en ese rango de masas el exponente real es más cercano a 4,5. Es lo que ocurre con toda ley empírica: sirve para estimar, no para sustituir a la medida.

Más ejemplos: $M = 10\,M_\odot \Rightarrow L = 10^{3{,}5} \approx 3200\,L_\odot$; $M = 20 \Rightarrow 20^{3{,}5} \approx 36\,000$; $M = 0{,}5 \Rightarrow 0{,}5^{3{,}5} = 0{,}088$.

En forma logarítmica, $\log(L/L_\odot) = 3{,}5\log(M/M_\odot)$: en un plano $(\log M, \log L)$ es una recta de pendiente 3,5 que pasa por el origen (el Sol). Así se dibuja y así se mide el exponente a partir de los datos: con la pendiente.

3. Tiempo de vida: t ∝ M^−2,5

El tiempo que una estrella pasa en la secuencia principal es combustible dividido entre ritmo de consumo. El combustible es proporcional a la masa $M$ y el consumo es la luminosidad $L$:

Calibrando con el Sol ($t_\odot \approx 10^{10}$ años):

Observa el signo: exponente negativo, así que a más masa, menos vida. La tractomula.

Ejemplo resuelto 4: tres estrellas.

Para calcular $20^{-2{,}5}$: $20^{2{,}5} = 20^2 \times \sqrt{20} = 400 \times 4{,}47 = 1789$, y el signo negativo invierte. Con logaritmos: $\log t = 10 - 2{,}5 \times 1{,}301 = 6{,}75$, $t = 10^{6{,}75} = 5{,}6 \times 10^{6}$.

Dos consecuencias enormes salen de esa tabla:

• Ninguna enana roja ha muerto todavía. Con $M < 0{,}8\,M_\odot$ la vida supera la edad del universo. Todas las que se formaron siguen ahí.
• Las estrellas masivas que vemos son jóvenes. Rigel o las estrellas azules de Orión tienen pocos millones de años: nacieron cuando ya había mamíferos en la Tierra. Y si vemos una región llena de estrellas azules, allí se están formando estrellas ahora.

Ejemplo resuelto 5: Betelgeuse. Con una masa de unas $18\,M_\odot$: $18^{2{,}5} = 324 \times 4{,}24 = 1375$, $t \approx 10^{10}/1375 \approx 7 \times 10^{6}$ años. Betelgeuse ya ha agotado el hidrógeno del núcleo (por eso es supergigante, fuera de la secuencia principal) y está en sus últimos cientos de miles de años.

4. ¿Y después? Depende de la masa

Cuando se acaba el hidrógeno del núcleo, la estrella se reorganiza: el núcleo se contrae y se calienta, las capas externas se hinchan y enfrían, y la estrella sube a la zona de las gigantes del diagrama H–R (Arturo y Aldebarán son soles del futuro). Lo que pasa después lo decide, otra vez, la masa inicial:

Menos de ~8 M☉: enana blanca

La estrella llega a fusionar helio en carbono y oxígeno, pero no más allá. Expulsa sus capas externas (una nebulosa planetaria) y queda el núcleo desnudo: una enana blanca, con una masa parecida a la del Sol comprimida en un radio parecido al de la Tierra. Ya no produce energía; se enfría durante miles de millones de años. Sirio B es una.

Ejemplo resuelto 6: la densidad de Sirio B. $M = 1{,}018\,M_\odot = 2{,}02 \times 10^{30}$ kg y $R = 0{,}0081\,R_\odot = 5{,}63 \times 10^{6}$ m:

Un centímetro cúbico de Sirio B pesa 2,7 toneladas: una cucharadita, lo que un carro.

¿Qué la sostiene, si ya no hay fusión? La presión de degeneración de los electrones: un efecto cuántico por el que los electrones se niegan a apretarse más. Esa presión tiene un límite. En 1930, con 19 años y durante el viaje en barco de la India a Inglaterra, Subrahmanyan Chandrasekhar calculó (y publicó en 1931) que por encima de cierta masa los electrones no aguantan:

Es el límite de Chandrasekhar. Ninguna enana blanca puede superarlo. Y tiene una propiedad extraña: cuanta más masa tiene una enana blanca, más pequeña es ($R \propto M^{-1/3}$); al acercarse al límite, el radio tiende a cero. Por eso las estrellas de hasta ~8 $M_\odot$ pueden terminar como enanas blancas: pierden la mayor parte de su masa antes de morir y el núcleo que queda está por debajo de 1,44 $M_\odot$.

En el simulador (activa el «Modo sencillo») mueve la densidad central: la enana blanca gana masa y se encoge. Busca Sirio B y compara su radio con el de la Tierra. ¿Qué pasa con el radio cuando la masa se acerca a la línea del límite?

Entre ~8 y ~20–25 M☉: supernova y estrella de neutrones

Una estrella masiva fusiona elementos cada vez más pesados hasta llegar al hierro, que ya no da energía al fusionarse. El núcleo de hierro crece, supera el límite de Chandrasekhar y colapsa en una fracción de segundo: los electrones se funden con los protones y forman neutrones. La energía liberada vuela las capas externas en una supernova y deja una estrella de neutrones: ~1,4 $M_\odot$ en unos 12 km de radio, sostenida por la degeneración de los neutrones. Muchas giran decenas de veces por segundo y emiten pulsos de radio: los púlsares, descubiertos por Jocelyn Bell en 1967.

Ejemplo resuelto 7: la densidad de una estrella de neutrones. El púlsar J0030+0451 tiene $M = 1{,}34\,M_\odot$ y $R = 12{,}71$ km (medidos por el telescopio NICER):

Un centímetro cúbico: 310 millones de toneladas, la masa de una montaña. Es la densidad del núcleo atómico: la estrella entera es, en la práctica, un núcleo gigante.

Más de ~20–25 M☉: agujero negro

Las estrellas de neutrones también tienen un límite, unas $2{,}2\,M_\odot$ (deducido de la fusión de dos estrellas de neutrones detectada por ondas gravitacionales en 2017). Si el núcleo que colapsa lo supera, nada puede detener el colapso: se forma un agujero negro, una región de la que no escapa ni la luz. Su «tamaño» es el radio de Schwarzschild:

con $G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$. Por ejemplo, Cygnus X-1, el primer agujero negro identificado, tiene $21\,M_\odot$ y $R_s = 62$ km. El del centro de la Vía Láctea, Sagitario A*, tiene $4{,}3 \times 10^{6}\,M_\odot$ y $R_s = 1{,}27 \times 10^{7}$ km $= 0{,}085$ UA, 18 veces el radio del Sol: no es «estelar», pero la fórmula es la misma.

Resumen

Las fronteras (8, 20–25 $M_\odot$) son aproximadas y dependen de la composición y de cuánta masa pierde la estrella por viento. Por debajo de ~0,08 $M_\odot$ el hidrógeno nunca llega a fusionarse: es una enana marrón, no una estrella.

Simulador: el Sol, antes y después

Usa el simulador de cuerpo negro para ver cómo cambia la apariencia del Sol a lo largo de su vida (la luminosidad se calcula con $L = 4\pi R^2\sigma T^4$):

1. Hoy: $T = 5772$ K, $R = 1\,R_\odot$. Anota $L$ y el color.
2. Gigante roja (dentro de ~5000 millones de años): $T \approx 3500$ K y $R \approx 150\,R_\odot$ (del orden de la órbita de Venus). ¿Cuántas veces más luminoso que hoy? A pesar de ser más frío, ¿por qué brilla tanto más?
3. Enana blanca (el final): $T \approx 25\,000$ K, $R = 0{,}01\,R_\odot$ (deslizador de radio en su mínimo). Compara la luminosidad con la de hoy: más caliente, pero ¿cuánto más débil? Con el eje vertical logarítmico, fija las tres curvas y compáralas.

Actividad: la vida de las estrellas en una cinta métrica

Vamos a dibujar las vidas estelares a escala: 1 metro = 10¹⁰ años, es decir, 1 mm = 10 millones de años.

Necesitas:

• un rollo de cinta de enmascarar o de papel (mínimo 6 m) y un patio o pasillo largo;
• cinta métrica, marcadores de colores;
• calculadora;
• la tabla del ejemplo 4.

1. Fija el extremo de la cinta en el suelo: es el nacimiento de cada estrella (t = 0). Todos los tiempos se miden desde ahí.
2. Marca la vida del Sol: $10^{10}$ años → 1,00 m. Marca su edad actual: $4{,}567 \times 10^{9}$ años → 45,7 cm. Marca también la edad del universo: 13 800 millones de años → 1,38 m.
3. Calcula con $t = 10^{10} M^{-2{,}5}$ y marca: estrella de 2 $M_\odot$ (18 cm), de 5 $M_\odot$ (calcúlalo: 1,8 mm), de 20 $M_\odot$ (0,56 mm: apenas el grosor de una línea de marcador). ¿Dónde quedaría una de 0,5 $M_\odot$ (5,7 m: hace falta todo el rollo) y una de 0,1 $M_\odot$ (300 m: ¡el patio no alcanza!)?
4. Añade hitos de la Tierra a la misma escala desde el nacimiento del Sol: formación de la Tierra (unos 50 millones de años después del Sol: 5 mm), primeras células (hace ~3800 millones de años: en 8 cm), dinosaurios extinguidos (hace 66 millones de años: 6,6 mm antes del «hoy»), Homo sapiens (hace 300 000 años: 0,03 mm antes del «hoy»).
5. Cada integrante elige una estrella de la tabla H–R (Rigel, Sirio A, Próxima…) con su masa estimada, calcula su vida y la marca con su nombre.

Pregunta final: si la vida entera de una estrella de 20 $M_\odot$ cabe en medio milímetro de tu cinta, ¿qué significa que veamos hoy miles de estrellas así en la Vía Láctea? ¿Qué nos dice eso sobre la formación de estrellas?

Ejercicios

Nivel básico

1. Calcula $L/L_\odot$ para estrellas de 3 y de 0,3 $M_\odot$ con $L \propto M^{3{,}5}$.

2. ¿Cuánto vive en la secuencia principal una estrella de 4 $M_\odot$?

3. Calcula el radio de Schwarzschild de un agujero negro de 10 $M_\odot$ y de uno de la masa de la Tierra ($M_\oplus = 3 \times 10^{-6}\,M_\odot$).

Nivel medio

4. En un cúmulo de estrellas, todas nacieron a la vez. Las estrellas más masivas que aún están en la secuencia principal tienen 3 $M_\odot$. ¿Qué edad tiene el cúmulo? (Este método, el «punto de giro», es como se datan los cúmulos.)

5. Con la forma logarítmica $\log t = 10 - 2{,}5\log M$, ¿qué masa tiene una estrella cuya vida es de $10^{8}$ años?

6. Una enana blanca de 0,6 $M_\odot$ tiene $R \approx 0{,}0125\,R_\odot$. Usando $R \propto M^{-1/3}$, estima el radio de una de 1,2 $M_\odot$ y compara ambas densidades.

Nivel reto

7. Mide el exponente de la relación masa–luminosidad con dos estrellas reales: Sirio A ($M = 2{,}063$, $L = 25{,}4$) y Próxima ($M = 0{,}120$, $L = 0{,}00151$). Calcula la pendiente de la recta que las une en el plano $(\log M, \log L)$.

8. Una estrella de 15 $M_\odot$ termina como estrella de neutrones de 1,4 $M_\odot$. ¿Qué fracción de su masa inicial queda en el residuo? ¿Dónde fue el resto? Si una fracción de esa masa expulsada contiene hierro, oxígeno y calcio, ¿qué relación tiene eso con tu propio cuerpo?

9. Deduce la densidad media de una estrella de neutrones de masa $M$ y radio $R$ en función de la de un núcleo atómico: un núcleo de hierro-56 tiene masa $9{,}3 \times 10^{-26}$ kg y radio $4{,}6 \times 10^{-15}$ m. Compara con el ejemplo 7.

Recuerda

• Fusión: el 0,7 % de la masa del hidrógeno se vuelve energía ($E = mc^2$). El Sol pierde 4 millones de toneladas por segundo y vive $\sim 10^{10}$ años en la secuencia principal; lleva 4567 millones.
• Masa–luminosidad: $L \propto M^{3{,}5}$ (recta de pendiente 3,5 en log-log). Vida: $t \approx 10^{10}\,M^{-2{,}5}$ años: 20 $M_\odot$ → 6 millones de años; 0,5 $M_\odot$ → 57 000 millones.
• $< 8\,M_\odot$: nebulosa planetaria + enana blanca ($< 1{,}44\,M_\odot$, límite de Chandrasekhar; $R \propto M^{-1/3}$; $\rho \sim 10^{9}$ kg/m³).
• $8$–$20\,M_\odot$: supernova + estrella de neutrones ($\lesssim 2{,}2\,M_\odot$, 12 km, $\rho \sim 3 \times 10^{17}$ kg/m³).
• $\gtrsim 20\,M_\odot$: agujero negro, $R_s = 2{,}95\ \text{km} \times M/M_\odot$.