La velocidad de la luz y el año luz

Cuando miras el Sol, no lo ves como está ahora: lo ves como era hace unos 8 minutos. Esa es la demora de la luz en llegar. La luz es lo más rápido que existe, pero no es instantánea. En esta lección vamos a describir su viaje con una de las herramientas más útiles del álgebra: la función lineal.

1. Una velocidad constante: proporcionalidad directa

En el vacío, la luz viaja siempre a la misma velocidad:

Este valor es exacto por definición: desde 1983 el metro se define a partir de $c$.

Si la luz viaja durante un tiempo $t$, la distancia $d$ que recorre es

Aquí $d$ (distancia) y $t$ (tiempo) son directamente proporcionales: si el tiempo se duplica, la distancia se duplica. La constante de proporcionalidad es $c$:

Ejemplo resuelto 1: de Bogotá a Santa Marta

¿Cuánto tarda la luz en recorrer los $726$ km entre Bogotá y Santa Marta? Despejamos $t$ de $d = c\,t$:

Menos de tres milésimas de segundo: en la vida diaria la luz parece instantánea.

2. La gráfica: una recta cuya pendiente es la velocidad

La función $d(t) = c\,t$ es una función lineal. Su gráfica en el plano cartesiano (tiempo en el eje horizontal, distancia en el vertical) es una recta que pasa por el origen.

La pendiente $m$ de una recta que pasa por los puntos $(t_1, d_1)$ y $(t_2, d_2)$ es

En una gráfica distancia–tiempo, la pendiente es una velocidad: cuántos kilómetros se avanzan por cada segundo. Para la luz, $m = c$.

Ejemplo resuelto 2: leer la pendiente

Una recta pasa por $(1\ \text{s},\ 3 \times 10^{5}\ \text{km})$ y $(4\ \text{s},\ 1.2 \times 10^{6}\ \text{km})$:

Comparación. Si dibujas en los mismos ejes el sonido en el aire ($\approx 343$ m/s a $20\ °$C), un bus a $60$ km/h y la luz, las tres son rectas por el origen, pero la de la luz es casi vertical: su pendiente es unas $870\,000$ veces la del sonido. Por eso primero ves el relámpago y después oyes el trueno.

Función afín: cuando no se empieza en cero

Si en $t = 0$ la señal ya estaba a una distancia $d_0$ del punto de referencia, la relación es

una función afín: misma pendiente $c$ (rectas paralelas), pero corta el eje vertical en $d_0$. Si la señal se acerca al punto de referencia, la distancia disminuye y la pendiente es negativa: $d(t) = d_0 - c\,t$.

3. El año luz

Un año luz (al) es la distancia que recorre la luz en un año. Para que sea exacto se usa el año juliano, de $365.25$ días:

(El valor exacto es $9\,460\,730\,472\,580.8$ km.) El año luz es una unidad de distancia, no de tiempo. Del mismo modo se definen el segundo luz ($3 \times 10^{5}$ km), el minuto luz ($1.8 \times 10^{7}$ km) o el día luz ($\approx 2.59 \times 10^{10}$ km).

Ventaja: decir que Próxima Centauri está a $4.25$ al significa que la luz que vemos hoy salió de ella hace 4.25 años. Mirar lejos es mirar al pasado.

Ejemplo resuelto 3: la luz del Sol

Si el Sol se apagara, lo seguiríamos viendo brillar durante más de 8 minutos.

4. Hablar con naves lejanas

Las órdenes a las sondas espaciales viajan como ondas de radio, que son luz (radiación electromagnética) y van a la velocidad $c$.

Por eso los vehículos en Marte no se manejan con un control remoto en tiempo real: entre la orden y la confirmación pasan, como mínimo, unos 6 minutos (ida y vuelta), y a veces más de 40.

Voyager 1, lanzada en 1977, es el objeto humano más lejano. En 2026 está a unas 170 UA, casi un día luz: un mensaje tarda alrededor de un día en llegar y la respuesta otro día. La cifra exacta cambia cada día (la nave se aleja unas $3.6$ UA por año); consúltala en la página de estado de la misión.

5. Historia: Rømer y las lunas de Júpiter

Hasta el siglo XVII muchos pensaban que la luz era instantánea. En el Observatorio de París, el astrónomo danés Ole Rømer estudiaba Ío, una luna de Júpiter que entra en la sombra del planeta (se eclipsa) una vez por vuelta, cada $1.769$ días $\approx 42.5$ horas. Los eclipses de Ío son como un reloj en el cielo: si fueran perfectamente regulares, se podría predecir cada uno con años de antelación.

Pero Rømer notó que los eclipses se adelantaban cuando la Tierra se acercaba a Júpiter y se atrasaban cuando se alejaba. Su explicación: la luz de Ío necesita tiempo para cruzar la distancia extra. Cuando la Tierra está al otro lado de su órbita, la luz debe recorrer de más hasta un diámetro de la órbita terrestre ($2$ UA).

Los datos históricos (verificados):

• Con sus observaciones de 1671 a 1676, Rømer predijo en septiembre de 1676 que un eclipse de Ío de noviembre llegaría unos 10 minutos más tarde de lo que decían las tablas, y así ocurrió.
• El 22 de agosto de 1676 Cassini comunicó a la Academia de Ciencias de París que la luz tardaba «de diez a once minutos» en cruzar el semidiámetro de la órbita terrestre; Rømer explicó el método el 21 de noviembre y lo publicó en el Journal des Sçavans el 7 de diciembre de 1676.
• Rømer estimó en unos 22 minutos el retraso total para el diámetro de la órbita ($2$ UA).
• Rømer no publicó un valor de la velocidad. Fue Christiaan Huygens quien, en su Tratado de la luz (1690), combinó ese retraso con el tamaño de la órbita que se conocía entonces y obtuvo unas 16⅔ veces el diámetro de la Tierra por segundo: unos $2.1 \times 10^{5}$ km/s.

Ejemplo resuelto 4: ¿qué velocidad dan los 22 minutos?

Con la UA actual, $2$ UA $= 2.992 \times 10^{8}$ km y $22$ min $= 1\,320$ s:

El valor real del retraso es $2 \times 499\ \text{s} = 998\ \text{s} \approx 16.6$ min; con él sale $3.00 \times 10^{5}$ km/s. Rømer se pasó un 32 % en el tiempo (y por tanto se quedó un 24 % corto en la velocidad), pero fue la primera prueba de que la luz tiene velocidad finita, y del orden de magnitud correcto.

6. Explora con el simulador

Usa el modo del viaje de la luz: un «cohete de luz» sale del Sol y el simulador marca cuándo llega a cada planeta.

1. Anota el tiempo de llegada a la Tierra, Marte, Júpiter y Neptuno. Haz una tabla distancia (UA)–tiempo (min).
2. Dibuja los cuatro puntos en una gráfica cartesiana. ¿Están alineados? Calcula la pendiente en UA/min y compárala con $1\ \text{UA}/8.32\ \text{min} = 0.120$ UA/min.
3. ¿Cuánto tardaría la luz en llegar a un planeta a 50 UA? Usa la recta, no el simulador, y luego comprueba.

Actividad: el mapa de tiempos de luz

Necesitas: hoja cuadriculada o papel milimetrado, regla, calculadora.

1. Copia esta tabla y complétala con $t = d/c$ (usa $c = 3.00 \times 10^{5}$ km/s y $1\ \text{UA} = 1.496 \times 10^{8}$ km). Expresa $t$ en minutos.

2. Dibuja la gráfica $d$ (UA) en el eje vertical contra $t$ (min) en el horizontal, con los seis puntos.
3. Traza la recta por el origen que mejor pase por ellos y calcula su pendiente con dos puntos lejanos. ¿Cuántas UA por minuto? ¿Cuánto es eso en km/s?
4. Escribe la ecuación de tu recta en la forma $d = m\,t$ y úsala para predecir el tiempo de luz hasta Neptuno (30 UA) y hasta la Voyager 1 (170 UA).

Pregunta final: si un día recibimos una señal de radio desde una nave a 100 UA, ¿cuándo fue enviada? ¿Qué fecha y hora pondrías en la respuesta para que la nave la reciba «hoy a mediodía» desde su punto de vista?

Ejercicios

Nivel 1 — practicar

1. ¿Qué distancia recorre la luz en $5$ s? ¿Y en $1$ minuto? Usa $c \approx 3 \times 10^{5}$ km/s.

2. Una recta distancia–tiempo pasa por $(2\ \text{s},\ 6 \times 10^{5}\ \text{km})$ y $(5\ \text{s},\ 1.5 \times 10^{6}\ \text{km})$. Calcula su pendiente. ¿Puede ser la gráfica de la luz?

3. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a Júpiter ($5.2$ UA)? Usa que a la Tierra ($1$ UA) tarda $499$ s.

Nivel 2 — aplicar

4. Comprueba con tus propios cálculos que $1$ al $\approx 9.46 \times 10^{12}$ km.

5. Ves un relámpago y oyes el trueno $6$ s después. ¿A qué distancia cayó? (Sonido: $343$ m/s.) ¿Cuánto tardó la luz del relámpago? ¿Era razonable despreciarlo?

6. Una señal de un vehículo en Marte tarda $12$ min en llegar a la Tierra. ¿A qué distancia está Marte, en km y en UA? ¿Cuánto tiempo pasa entre enviar una orden y recibir la confirmación?

7. ¿Cuántos km y cuántas UA hay en un día luz? Compáralo con la distancia de la Voyager 1.

Nivel 3 — retos

8. Rømer. Con su retraso de $22$ min para $2$ UA, calcula $c$ en km/s y el error porcentual frente al valor actual. Repite con $16.6$ min.

9. Dibuja en los mismos ejes (con escalas adecuadas) las gráficas del sonido y de la luz. ¿Cuántas veces mayor es la pendiente de la luz? ¿Por qué no se ven bien en la misma escala?

10. Ida y vuelta. A las 12:00 se envía un mensaje a una sonda situada a $2$ horas luz; la sonda responde de inmediato. Escribe la distancia del mensaje a la Tierra como función del tiempo $t$ (en horas, desde las 12:00), en la ida y en la vuelta. ¿Cuál es la pendiente de cada tramo? ¿A qué hora llega la respuesta?

11. Ío como reloj. Ío se eclipsa cada $42.46$ h. Si la Tierra se aleja de Júpiter a $30$ km/s (velocidad orbital típica), ¿cuántos km más tiene que recorrer la luz de un eclipse al siguiente? ¿Cuántos segundos de retraso acumula cada eclipse? ¿Cuántos eclipses hacen falta para acumular 10 minutos?

Recuerda

• $c = 299\,792\,458$ m/s, exacta. $d = c\,t$ es una función lineal: la gráfica es una recta por el origen y su pendiente es $c$.
• Función afín $d = d_0 \pm c\,t$: misma pendiente, otro punto de partida; signo negativo si la señal se acerca.
• $1\ \text{al} = c \times 365.25 \times 86\,400\ \text{s} \approx 9.46 \times 10^{12}$ km: una distancia.
• La luz del Sol tarda 8 min 19 s; una orden a Marte, entre 3 y 22 min; a la Voyager 1, cerca de un día.
• Rømer (1676) vio que los eclipses de Ío se retrasaban hasta 22 min: primera prueba de que la luz no es instantánea.