Astronomía y Exploración Espacial

Educación Secundaria / Medir el universo

7.º · U1: Potencias de diez

Notación científica y distancias en el universo

Potencias de 10, notación científica y las unidades de la astronomía (km, UA, año luz, pársec), con un viaje de potencias de diez desde un niño hasta el universo observable.

⏱ 100 min potencias de 10exponentes enterosnotación científicaconversión de unidadesorden de magnitudfactores de conversión revision

Al terminar podrás:
  • Escribir y leer números muy grandes y muy pequeños en notación científica.
  • Multiplicar y dividir números en notación científica usando las propiedades de las potencias.
  • Definir la unidad astronómica, el año luz y el pársec, y convertir entre ellas y el kilómetro.
  • Ordenar objetos del universo por su tamaño o distancia usando órdenes de magnitud, del átomo al universo observable.

La Luna está a unos 384 400384\,400 km. El Sol, a unos 149 600 000149\,600\,000 km. La estrella más cercana después del Sol, a unos 40 000 000 000 00040\,000\,000\,000\,000 km. Contar ceros así es incómodo y peligroso: es muy fácil equivocarse en uno. Los astrónomos usan potencias de 10.

1. Potencias de 10

Ilustración: Potencias de 10

Una potencia de 10 es el 10 multiplicado por sí mismo varias veces. El exponente dice cuántas veces:

103=10×10×10=1 000,106=1 000 000,100=1.10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000, \qquad 10^6 = 1\,000\,000, \qquad 10^0 = 1 .

Con exponente negativo, dividimos:

10−1=110=0.1,10−3=11 000=0.001.10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1, \qquad 10^{-3} = \frac{1}{1\,000} = 0.001 .

Propiedades (con mm y nn enteros):

10m×10n=10m+n,10m10n=10m−n,(10m)n=10m⋅n.10^m \times 10^n = 10^{m+n}, \qquad \frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}, \qquad \left(10^m\right)^n = 10^{m\cdot n}.

2. Notación científica

Ilustración: Notación científica

Un número está en notación científica si se escribe como

a×10n,1≤a<10,n entero.a \times 10^n, \qquad 1 \le a < 10, \quad n \text{ entero}.

El número aa (la mantisa) lleva las cifras importantes; el exponente nn dice «dónde va la coma».

Ejemplo resuelto 1: escribir en notación científica

  • 384 400=3.844×105384\,400 = 3.844 \times 10^5 (la coma se movió 5 lugares a la izquierda).
  • 149 600 000=1.496×108149\,600\,000 = 1.496 \times 10^8.
  • 0.000 52=5.2×10−40.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4} (la coma se movió 4 lugares a la derecha).

Ejemplo resuelto 2: multiplicar y dividir

Se multiplican (o dividen) las partes aa y se suman (o restan) los exponentes:

(3×105)×(5×102)=15×107=1.5×108.(3 \times 10^5) \times (5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1.5 \times 10^8 . 1.5×1083×105=0.5×103=5×102.\frac{1.5 \times 10^8}{3 \times 10^5} = 0.5 \times 10^3 = 5 \times 10^2 .

Fíjate en el último paso: 1515 y 0.50.5 no cumplen 1≤a<101 \le a < 10, así que se reajusta la coma y el exponente.

Ejemplo resuelto 3: sumar y restar

Para sumar hay que tener el mismo exponente: 3×105+4×104=30×104+4×104=34×104=3.4×1053 \times 10^5 + 4 \times 10^4 = 30 \times 10^4 + 4 \times 10^4 = 34 \times 10^4 = 3.4 \times 10^5. Si los exponentes son muy distintos, el pequeño casi no cuenta: 1×108+1×102=100 000 100≈1.000 001×1081 \times 10^8 + 1 \times 10^2 = 100\,000\,100 \approx 1.000\,001 \times 10^8.

3. Unidades de distancia en astronomía

Ilustración: Unidades de distancia en astronomía

El kilómetro se queda corto. Los astrónomos usan tres unidades más (la lección 6 de este módulo las estudia a fondo):

UnidadSímboloDefiniciónEn kilómetros
Unidad astronómicaUADistancia media Tierra–Sol (fijada exactamente por la IAU en 2012: 149 597 870 700149\,597\,870\,700 m)1.496×1081.496 \times 10^{8} km
Año luzalDistancia que recorre la luz en un año juliano (365.25 días)9.461×10129.461 \times 10^{12} km
PársecpcDistancia a la que 1 UA se ve con un ángulo de 1 segundo de arco (648 000/π648\,000/\pi UA)3.086×10133.086 \times 10^{13} km

Equivalencias útiles (redondeadas): 1 al≈63 241 UA1\ \text{al} \approx 63\,241\ \text{UA};   1 pc≈206 265 UA≈3.262 al\;1\ \text{pc} \approx 206\,265\ \text{UA} \approx 3.262\ \text{al}.

El pársec viene del paralaje (lección 1 de este módulo).

Ejemplo resuelto 4: convertir con un factor de conversión

Júpiter está a 5.25.2 UA del Sol. ¿Cuántos km son?

5.2 UA×1.496×108 km1 UA=7.78×108 km.5.2\ \text{UA} \times \frac{1.496 \times 10^8\ \text{km}}{1\ \text{UA}} = 7.78 \times 10^8\ \text{km}.

La fracción 1.496×108 km1 UA\dfrac{1.496 \times 10^8\ \text{km}}{1\ \text{UA}} vale 1 (arriba y abajo hay la misma longitud), por eso podemos multiplicar por ella sin cambiar la distancia. La unidad «UA» se cancela.

Ejemplo resuelto 5: la estrella más cercana

Próxima Centauri está a unos 4.254.25 al.

4.25 al×9.461×1012 km1 al≈4.02×1013 km,4.25 al×1 pc3.262 al≈1.30 pc.4.25\ \text{al} \times \frac{9.461 \times 10^{12}\ \text{km}}{1\ \text{al}} \approx 4.02 \times 10^{13}\ \text{km}, \qquad 4.25\ \text{al} \times \frac{1\ \text{pc}}{3.262\ \text{al}} \approx 1.30\ \text{pc}.

4. Viaje en potencias de diez: del átomo al universo observable

Ilustración: Viaje en potencias de diez: del átomo al universo observable

Cada fila es unas diez veces (o más) mayor que la anterior. Las cifras están redondeadas; lo importante es el exponente, el orden de magnitud.

Objeto o distanciaTamaño aproximadoPotencia de 10 (m)
Núcleo de un átomo∼10−14\sim 10^{-14} m10−1410^{-14}
Un átomo de hidrógeno∼10−10\sim 10^{-10} m10−1010^{-10}
Una bacteria∼10−6\sim 10^{-6} m10−610^{-6}
Grosor de un cabello∼10−4\sim 10^{-4} m10−410^{-4}
Un niño de tu colegio1.31.3 m10010^{0}
Una cancha de fútbol100100 m10210^{2}
Una ciudad grande, de lado a ladodecenas de km10410^{4}
Colombia, de norte a sur≈1 800\approx 1\,800 km10610^{6}
Diámetro de la Tierra12 74212\,742 km10710^{7}
Distancia Tierra–Luna384 400384\,400 km10810^{8}
Diámetro del Sol1.39×1061.39 \times 10^{6} km10910^{9}
Distancia Tierra–Sol (1 UA)1.5×1081.5 \times 10^{8} km101110^{11}
Distancia Sol–Neptuno (≈30\approx 30 UA)4.5×1094.5 \times 10^{9} km101210^{12}
Sonda Voyager 1 (2026, ≈170\approx 170 UA)≈2.5×1010\approx 2.5 \times 10^{10} km101310^{13}
Estrella más cercana (4.254.25 al)4×10134 \times 10^{13} km101610^{16}
Diámetro de la Vía Láctea (∼100 000\sim 100\,000 al)∼1018\sim 10^{18} km102110^{21}
Galaxia de Andrómeda (≈2.5\approx 2.5 millones de al)≈2.4×1019\approx 2.4 \times 10^{19} km102210^{22}
Radio del universo observable (≈46 000\approx 46\,000 millones de al)≈4.4×1023\approx 4.4 \times 10^{23} km102610^{26}

De un núcleo atómico al borde del universo observable hay unos 40 órdenes de magnitud; de un niño al borde del universo, 26: habría que multiplicar por 10 veintiséis veces.

Ojo. El tamaño de la Vía Láctea depende de dónde se ponga el «borde» (el disco no termina de golpe), por eso se escribe ∼\sim («del orden de»). La posición de la Voyager 1 cambia cada día: avanza unas 3.63.6 UA por año.

5. Explora con el simulador

Ilustración: Explora con el simulador
Si la Tierra fuera una canica de 1.6 cm, Júpiter mediría 17.9 cm y el Sol 175 cm (¡más de 1.7 m!). Caben unas 1 297 753 Tierras dentro del Sol.
  1. Elige el Sol como una canica de 1.6 cm. Lee a qué distancia queda la Tierra y a cuál Neptuno. Escribe las dos en notación científica, en metros.
  2. Divide la distancia de Neptuno entre la de la Tierra. ¿Qué número obtienes? ¿Depende del tamaño del Sol elegido? Explica por qué.
  3. Cambia a una esfera de 1 m y calcula a cuántos kilómetros quedaría Próxima Centauri: la escala es 1 m:1.39×109 m1\ \text{m} : 1.39 \times 10^{9}\ \text{m} y la estrella está a 4×10164 \times 10^{16} m.

Actividad: la línea de potencias de diez del colegio

Necesitas: una cuerda o cinta de 10 m, 20 tarjetas, marcadores, cinta adhesiva, la tabla de la sección 4.

  1. Marquen la cuerda cada 25 cm: cada marca es una potencia de 10 más (10−1410^{-14}, 10−1310^{-13}, …, 102610^{26}). ¡Ojo! Aquí la cuerda no está a escala: entre marcas vecinas el tamaño real se multiplica por 10.
  2. Escriban una tarjeta por fila de la tabla (objeto, tamaño y potencia) y cuélguenla en su marca. Añadan al menos tres objetos propios: la altura del colegio, la distancia a la capital del departamento, la longitud de Colombia de este a oeste…
  3. Investiguen un dato que falte en la tabla (por ejemplo, el diámetro de Júpiter o la distancia a Saturno), escríbanlo en notación científica con su fuente y cuélguenlo.
  4. Recorran la cuerda en voz alta: «aquí cabe la Tierra; diez Tierras después…». ¿Cuántas marcas separan la Tierra del Sol? ¿Y el Sol de Próxima Centauri?

Pregunta final: si la cuerda estuviera a escala real con 1 cm para el niño, ¿cuánto mediría hasta el universo observable? (Pista: 102610^{26} cm =1021= 10^{21} km.)

Ejercicios

Nivel 1 — practicar

  1. Escribe en notación científica: (a) 5 900 000 0005\,900\,000\,000 km; (b) 0.000 000 70.000\,000\,7 m; (c) 299 792299\,792 km/s.
Ver solución

(a) 5.9×1095.9 \times 10^{9} km; (b) 7×10−77 \times 10^{-7} m; (c) 2.99792×1052.99792 \times 10^{5} km/s.

  1. Escribe en forma decimal: (a) 6.4×1036.4 \times 10^{3}; (b) 2.5×10−22.5 \times 10^{-2}.
Ver solución

(a) 6 4006\,400; (b) 0.0250.025.

  1. Calcula y deja en notación científica: (a) (2×104)×(4×103)(2 \times 10^{4}) \times (4 \times 10^{3}); (b) (6×108)÷(3×102)(6 \times 10^{8}) \div (3 \times 10^{2}); (c) (4×107)×(5×106)(4 \times 10^{7}) \times (5 \times 10^{6}).
Ver solución

(a) 8×1078 \times 10^{7}; (b) 2×1062 \times 10^{6}; (c) 20×1013=2×101420 \times 10^{13} = 2 \times 10^{14}.

Nivel 2 — aplicar

  1. Saturno está a unas 9.59.5 UA del Sol. Exprésalo en km.
Ver solución

9.5×1.496×108≈1.42×1099.5 \times 1.496 \times 10^{8} \approx 1.42 \times 10^{9} km.

  1. ¿Cuántas Tierras (diámetro 12 74212\,742 km) caben, una tras otra, entre la Tierra y la Luna?
Ver solución

384 400/12 742≈30384\,400 / 12\,742 \approx 30 Tierras.

  1. Sirio está a unos 8.68.6 al. ¿Cuántos pársecs son? ¿Cuántos km?
Ver solución

8.6/3.262≈2.68.6/3.262 \approx 2.6 pc; 8.6×9.461×1012≈8.1×10138.6 \times 9.461 \times 10^{12} \approx 8.1 \times 10^{13} km.

  1. Si la Voyager 1 está a unas 170170 UA, ¿qué fracción de año luz es? Escríbela en notación científica.
Ver solución

170/63 241≈2.7×10−3170 / 63\,241 \approx 2.7 \times 10^{-3} al (menos de tres milésimas de año luz).

Nivel 3 — retos

  1. Maqueta del sistema solar. Si el Sol fuera una pelota de 11 m de diámetro, ¿a qué distancia estaría la Tierra y de qué tamaño sería? ¿Y a qué distancia estaría Próxima Centauri? (Usa los datos de la tabla.)
Ver solución

La escala es 1 m:1.39×109 m1\ \text{m} : 1.39 \times 10^{9}\ \text{m}. Tierra: a 1.5×1011/1.39×109≈1081.5 \times 10^{11}/1.39 \times 10^{9} \approx 108 m, con un diámetro de 1.27×107/1.39×109≈0.0091.27 \times 10^{7}/1.39 \times 10^{9} \approx 0.009 m ≈9\approx 9 mm (un garbanzo). Próxima Centauri: a 4×1016/1.39×109≈2.9×1074 \times 10^{16}/1.39 \times 10^{9} \approx 2.9 \times 10^{7} m ≈29 000\approx 29\,000 km, ¡más de dos veces el diámetro real de la Tierra!

  1. ¿Cuántos órdenes de magnitud hay entre el diámetro de la Tierra y la distancia a Andrómeda? ¿Y entre un átomo y un niño?
Ver solución

1022/107=101510^{22}/10^{7} = 10^{15}: quince órdenes de magnitud. 100/10−10=101010^{0}/10^{-10} = 10^{10}: diez órdenes de magnitud.

  1. Un error común es escribir 103×104=101210^3 \times 10^4 = 10^{12}. Explica cuál es el error y da el resultado correcto.
Ver solución

Al multiplicar potencias de la misma base los exponentes se suman, no se multiplican: 103×104=10710^{3} \times 10^{4} = 10^{7}.

✦ Mini-prueba

  1. 1. El número 149 600 000 en notación científica es…
  2. 2. (3 × 10⁵) × (4 × 10³) = …
  3. 3. 10⁻³ es…
  4. 4. Un año luz es…
  5. 5. Entre 10⁷ m (la Tierra) y 10¹¹ m (1 UA) hay…
Responde todas para comprobar.

Recuerda

  • Notación científica: a×10na \times 10^{n} con 1≤a<101 \le a < 10. Multiplicar: sumar exponentes. Dividir: restar exponentes. Reajusta la mantisa al final.
  • 10−n10^{-n} es un número pequeño y positivo: 10−3=0.00110^{-3} = 0.001.
  • 1 UA≈1.496×1081\ \text{UA} \approx 1.496 \times 10^{8} km; 1 al≈9.461×10121\ \text{al} \approx 9.461 \times 10^{12} km; 1 pc≈3.086×10131\ \text{pc} \approx 3.086 \times 10^{13} km ≈3.26\approx 3.26 al.
  • Un orden de magnitud es un factor 10. Del átomo al universo observable hay unos 40.
🍎 Guía docente
Tiempo
2 sesiones de 55 min + montaje de la línea de potencias de diez
Estándar MEN
Matemáticas 6.º a 7.º: «Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación»; «Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones»; «Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud»; «Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación». Ciencias Naturales 6.º a 7.º: «Utilizo las matemáticas como una herramienta para organizar, analizar y presentar datos»; «Busco información en diferentes fuentes»; «Evalúo la calidad de la información, escojo la pertinente y doy el crédito correspondiente».
Evidencia de aprendizaje
Convierte entre notación científica y decimal en ambos sentidos, opera productos y cocientes reajustando la mantisa, convierte distancias entre km, UA, al y pc, y ubica correctamente al menos diez objetos en la línea de potencias de diez citando la fuente de los datos nuevos.

Materiales

  • Calculadoras científicas
  • Cuerda o cinta de 10 m, tarjetas, marcadores y cinta adhesiva
  • Tabla de potencias de diez impresa
  • Computador o tableta con el simulador
  • Balón y garbanzo para el ejercicio 8 en el patio (opcional)

Secuencia sugerida

Sesión 1. Potencias y notación científica (55 min). Inicio: escribir en el tablero la distancia a Próxima Centauri en km con todos sus ceros y pedir que la lean; motivar la necesidad de una notación. Desarrollo: secciones 1 y 2 con los ejemplos 1 a 3; ejercicios 1 a 3 en parejas. Cierre: reto 1 del simulador.

Sesión 2. Unidades y órdenes de magnitud (55 min). Inicio: tabla de unidades (sección 3) y ejemplos 4 y 5. Desarrollo: tabla del viaje en potencias de diez; ejercicios 4 a 7; retos 2 y 3 del simulador. Cierre: ejercicio 8 en el patio (balón y garbanzo) y mini-prueba.

Proyecto (una semana). Montaje de la línea de potencias de diez en el pasillo con tarjetas investigadas y citadas; conecta con la insignia «Maestro de las potencias» (diez distancias cósmicas en notación científica).

Conexión. La lección 6 de este módulo profundiza en las definiciones oficiales de UA, año luz y pársec; la lección 3 (8.º) desarrolla el año luz desde la función lineal d=c td = c\,t.

Errores frecuentes

  • Multiplicar los exponentes al multiplicar potencias (10³ × 10⁴ = 10¹²). Volver a la definición: contar los dieces.
  • Creer que 10⁻³ es negativo. Escribirlo como fracción y como decimal.
  • Dejar mantisas fuera de [1, 10) (15 × 10⁷). Pedir siempre el reajuste final.
  • Tomar el año luz como unidad de tiempo. Reformular: «la luz tarda tantos años en llegar desde allí».
  • Pensar que la cuerda de la actividad está a escala. Aclarar que cada marca multiplica por 10 y pedir el cálculo de la pregunta final.
Palabras clave de esta lección (9)

Términos del glosario que aparecen en el texto. Cada uno enlaza a su ficha completa.

  • Notación científica Manera corta de escribir números enormes o diminutos usando potencias de diez. 150 000 000 km se escribe 1,5 × 10⁸ km.
  • Orden de magnitud La potencia de diez más cercana a un número: decir «el Sol es un millón de veces más grande que la Tierra» es hablar de órdenes de magnitud. Sirve para comparar cosas muy distintas sin exactitud.
  • Magnitud aparente Número que dice qué tan brillante se ve una estrella desde la Tierra. Cuanto más pequeño, más brillante: Sirio tiene −1,5 y las estrellas más débiles que ves a simple vista, 6.
  • Unidad astronómica La distancia media entre la Tierra y el Sol. Sirve de «regla» para medir el Sistema Solar: Júpiter está a unas 5 UA del Sol.
  • Parsec Unidad de distancia que usan los astrónomos para las estrellas: un parsec son unos 3,26 años luz. Viene de medir el pequeño ángulo con que una estrella «se mueve» cuando la Tierra da la vuelta al Sol.
  • Año luz La distancia que recorre la luz en un año. No mide tiempo, mide distancia: unos 9,5 billones de kilómetros.
  • Paralaje El cambio aparente de posición de un objeto cuando lo miras desde dos lugares distintos. Cierra un ojo y luego el otro: tu pulgar «salta» frente al fondo. Con ese salto se miden distancias a las estrellas.
  • Galaxia Una ciudad de estrellas: cientos de miles de millones de ellas, con gas, polvo y materia oscura, unidas por la gravedad. La nuestra es la Vía Láctea; la vecina más grande, Andrómeda.
  • Segundo de arco Un ángulo muy pequeño: la 3600.ª parte de un grado. Una moneda vista a 4 km mide más o menos un segundo de arco.

Ver todo el glosario →

Referencias

  • IAU (2012). Resolución B2: la unidad astronómica es 149 597 870 700 m exactos.
  • IAU (2015). Resolución B2 (Mamajek et al., arXiv:1510.06262): pársec = 648 000/π UA. Año luz = c × año juliano de 365.25 d (BIPM: c = 299 792 458 m/s).
  • NASA Goddard Space Flight Center, Planetary Fact Sheet (nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/): diámetro de la Tierra 12 742 km (medio), distancia media a la Luna 384 400 km, semieje de Neptuno 30.2 UA, diámetro del Sol 1.39 × 10⁶ km.
  • Gaia Collaboration (2023). Gaia DR3: Próxima Centauri a 1.302 pc = 4.247 al.
  • NASA/JPL, Voyager Mission Status (voyager.jpl.nasa.gov): distancia de la Voyager 1, unas 170 UA en 2026 (cambia unas 3.6 UA por año; consultar el valor del día).
  • Morrison, P. y Morrison, P. (1982). Powers of Ten. Scientific American Library.
  • Ministerio de Educación Nacional (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá, MEN: Matemáticas 6.º a 7.º (pp. 84–85) y Ciencias Naturales 6.º a 7.º (pp. 136–137).

Simuladores de esta lección: El Sistema Solar a escala