Espectros y efecto Doppler

Cuando una ambulancia pasa a tu lado en la avenida Boyacá, la sirena suena más aguda mientras se acerca y más grave cuando se aleja. El sonido no cambia: cambia lo que te llega, porque la fuente se mueve. Con la luz pasa lo mismo, y gracias a eso sabemos a qué velocidad se mueve una estrella que está a cientos de billones de kilómetros, cuán rápido gira el Sol y que las galaxias se alejan unas de otras. La herramienta es el espectro: la luz descompuesta en sus colores, con unas rayas finas que son la huella digital de cada elemento.

1. Tres clases de espectro: las leyes de Kirchhoff

Si haces pasar luz por un prisma o por una rejilla, se abre en un abanico de colores: un espectro. En 1814 Joseph von Fraunhofer notó que el espectro del Sol estaba cruzado por cientos de rayas oscuras, y las bautizó con letras (A, B, C, D…). En 1859–1860 Gustav Kirchhoff y Robert Bunsen descubrieron de dónde salían, y lo resumieron en tres reglas:

1. Un sólido, un líquido o un gas denso y caliente emite un espectro continuo: todos los colores sin huecos (es la curva de cuerpo negro de la lección anterior).
2. Un gas tenue y caliente emite solo ciertas longitudes de onda: un espectro de emisión, rayas brillantes sobre fondo oscuro. Cada elemento tiene su propio conjunto de rayas, como un código de barras.
3. Si la luz continua atraviesa un gas tenue y más frío, el gas absorbe exactamente las longitudes de onda que emitiría si estuviera caliente: aparece un espectro de absorción, rayas oscuras sobre el continuo.

El Sol es el caso 3: la fotosfera densa emite el continuo y la atmósfera, más fría y tenue, imprime las líneas oscuras. La raya «D» de Fraunhofer, por ejemplo, es en realidad un par de líneas del sodio en 589,0 y 589,6 nm; la raya «C», en 656,3 nm, es del hidrógeno. Así se supo, sin viajar, de qué está hecho el Sol, y así se descubrió el helio en 1868 en el espectro solar antes de encontrarlo en la Tierra.

2. El código de barras del hidrógeno: la serie de Balmer

El hidrógeno es el elemento más simple y más abundante del universo, y sus líneas visibles siguen una fórmula que el maestro suizo Johann Balmer encontró en 1885 por puro ensayo numérico. En la forma que le dio Rydberg:

donde:

• $\lambda$ es la longitud de onda de la línea (en metros);
• $R_H = 1{,}0968 \times 10^{7}\ \text{m}^{-1}$ es la constante de Rydberg para el hidrógeno;
• $n$ es un número entero mayor que 2 (hoy sabemos que es el nivel de energía desde el que salta el electrón hasta el nivel 2).

Ejemplo resuelto 1: la línea Hα. Con $n = 3$:

Es la Hα (hache-alfa), la línea roja del hidrógeno. Las tablas dan 656,28 nm: la diferencia de 0,03 % se debe a que en el aire la luz viaja un poco más despacio que en el vacío y las longitudes de onda se miden algo más cortas. En esta lección usaremos $\lambda_0 = 656{,}28\ \text{nm}$ para Hα.

Repite el cálculo con $n = 4, 5, 6$ y obtendrás la serie completa:

A medida que $n$ crece, $1/n^2$ se hace diminuto y las líneas se amontonan hacia el límite de Balmer, $\lambda = 4/R_H = 364{,}7$ nm, ya en el ultravioleta. Esa secuencia de rayas, cada vez más juntas, es inconfundible: basta verla en el espectro de una estrella para saber que allí hay hidrógeno.

3. El efecto Doppler: las líneas se mueven

Christian Doppler propuso en 1842 que el color de la luz debía cambiar si la fuente se mueve, igual que el tono de un sonido. Para la luz, cuando la velocidad $v$ es mucho menor que $c$, la regla es una proporción:

donde:

• $\lambda_0$ es la longitud de onda de la línea en reposo (la del laboratorio, p. ej. 656,28 nm para Hα);
• $\lambda_{\text{obs}}$ es la longitud de onda observada en el espectro del astro;
• $v_r$ es la velocidad radial: la componente de la velocidad a lo largo de la línea de visión. Positiva si el astro se aleja ($\Delta\lambda > 0$, las líneas se corren hacia el rojo), negativa si se acerca (corrimiento al azul);
• $c = 299\,792{,}458$ km/s es la velocidad de la luz.

Fíjate en lo que dice la fórmula: el corrimiento relativo $\Delta\lambda/\lambda_0$ es la misma fracción para todas las líneas del espectro. Por eso los astrónomos no miden una línea, sino que comparan el patrón completo: si todo el código de barras aparece estirado un 0,1 %, la fuente se aleja a $0{,}001\,c \approx 300$ km/s. Y la fórmula solo informa de la componente radial: una estrella que se mueva «de lado» por el cielo no muestra corrimiento Doppler.

Ejemplo resuelto 2: la estrella de Barnard. Es la estrella con mayor movimiento propio del cielo y además viene hacia nosotros: su velocidad radial es $v_r = -110{,}5$ km/s. ¿Dónde aparece su Hα?

así que $\lambda_{\text{obs}} = 656{,}28 - 0{,}24 = 656{,}04$ nm. Un corrimiento de un cuarto de nanómetro: invisible al ojo (la estrella no «se ve azul»), pero fácil de medir con un espectrógrafo.

Ejemplo resuelto 3: al revés, de la línea a la velocidad. En el espectro de una estrella la línea Hβ aparece en 486,42 nm en lugar de 486,13 nm. Entonces $\Delta\lambda = +0{,}29$ nm y

la estrella se aleja a unos 180 km/s. Así, en 1868, William Huggins midió por primera vez la velocidad de una estrella (Sirio), y desde entonces es el método estándar.

4. Tres casos reales

El Sol gira

El Sol rota con un periodo sidéreo de 25,38 días (609,12 h, valor adoptado por la NASA a 16° de latitud) y su radio es $R_\odot = 695\,700$ km. Un punto de su superficie cerca del ecuador se mueve a

El borde este del Sol viene hacia nosotros a 2 km/s y el borde oeste se aleja a 2 km/s. En Hα:

Entre un borde y el otro la línea se desplaza $2 \times 4{,}4 = 8{,}8$ picómetros. Es pequeñísimo, pero medible, y fue así como se descubrió que el Sol gira más rápido en el ecuador que en los polos (rotación diferencial). Con la misma técnica se mide la rotación de otras estrellas, que no podemos ver como discos: una estrella que gira rápido muestra líneas ensanchadas, porque un borde las corre al azul y el otro al rojo a la vez.

Andrómeda se acerca

La galaxia de Andrómeda (M31) tiene velocidad radial heliocéntrica $v_r = -301$ km/s: su luz llega corrida al azul. Su Hα aparece en

Parte de esa velocidad es el movimiento del Sol dentro de la Vía Láctea; descontado, las dos galaxias se acercan a unos 110 km/s. Volveremos sobre ello en la lección de la Vía Láctea.

Un cúmulo de galaxias se aleja: el corrimiento al rojo

El cúmulo de Coma, a 85,6 Mpc, se aleja a $v = 7143$ km/s (Key Project del telescopio Hubble). El cociente

se llama corrimiento al rojo $z$. Hα sale en $656{,}28 \times 1{,}0238 = 671{,}9$ nm, 15,6 nm más al rojo. Este $z$ es el que Hubble comparó con las distancias para descubrir la expansión del universo (lección El universo se expande). Una advertencia: $v = cz$ solo vale para $z \ll 1$. Para galaxias muy lejanas, con $z$ cercano o mayor que 1, la fórmula correcta es relativista y el «corrimiento» se debe a la expansión del espacio, no a un movimiento a través de él. Lo que siempre se mide directamente es $z$.

¿Y un planeta?

Un planeta no se ve, pero hace bambolear a su estrella. 51 Pegasi, la primera estrella de tipo solar con planeta conocido (Mayor y Queloz, 1995), se mueve hacia y desde nosotros con una semiamplitud de solo $K = 56$ m/s y periodo 4,23 días. En Hα eso es

una parte en cinco millones. Ningún espectroscopio escolar lo detecta, pero con espectrógrafos estabilizados y miles de líneas medidas a la vez hoy se alcanzan precisiones de 1 m/s. Toda la «caza de exoplanetas por velocidad radial» es esta misma proporción llevada al extremo.

Simulador: el continuo sobre el que se dibujan las líneas

El simulador de cuerpo negro muestra el espectro continuo de una estrella: es el «fondo» sobre el que la atmósfera estelar imprime sus líneas de absorción.

1. Pon la temperatura del Sol (5772 K). Localiza en el eje horizontal dónde caerían Hα (656 nm) y Hβ (486 nm): ¿en qué zona de la curva están? ¿Emite el Sol mucho o poco continuo allí?
2. Baja a 3000 K (una enana roja). ¿Cuánto cae el continuo en 410 nm (Hδ) respecto a 656 nm? Explica por qué en las estrellas frías las líneas de Balmer del violeta son difíciles de ver.
3. Sube a 25 000 K. El continuo es intensísimo en el azul y el ultravioleta, pero en estas estrellas las líneas de Balmer son débiles: casi todo el hidrógeno está ionizado y no puede absorber. Las líneas de Balmer son más fuertes cerca de 10 000 K (estrellas tipo A, como Sirio y Vega).

Actividad: un espectroscopio con un CD

Un CD tiene sus datos grabados en una pista en espiral cuyas vueltas están separadas 1,6 μm (norma IEC 60908). Esas 625 ranuras por milímetro actúan como una rejilla de difracción: cada longitud de onda se desvía un ángulo distinto según

donde $d = 1{,}6\ \mu\text{m}$ es la separación entre surcos, $\theta$ el ángulo de desviación, $m = 1, 2, \ldots$ el orden del espectro y $\lambda$ la longitud de onda.

Necesitas:

• un CD (o un DVD: su separación es 0,74 μm y dispersa más);
• una caja de cartón pequeña (de zapatos o de cereal), cinta negra, cúter y regla;
• un transportador y una hoja de papel blanco;
• fuentes de luz: un bombillo incandescente o la llama de una vela (continuo), un tubo fluorescente o bombillo «ahorrador» (líneas del mercurio), una lámpara de sodio de alumbrado público si hay cerca, y luz del día reflejada en una pared (nunca mires al Sol directamente, ni con el espectroscopio).

1. Corta en un extremo de la caja una rendija de 1 mm de ancho y 2 cm de alto (dos trozos de cinta negra casi juntos dan un borde limpio). En el extremo opuesto haz una ventana y pega el CD por dentro, inclinado unos 60° respecto a la rendija, con la cara brillante hacia ella. Cierra la caja: la luz entra por la rendija, se refleja en el CD y sale por la ventana descompuesta.
2. Apunta la rendija al bombillo incandescente. Verás un arcoíris continuo (ley 1 de Kirchhoff). Dibuja lo que ves.
3. Apunta al tubo fluorescente: sobre un fondo tenue aparecen rayas brillantes separadas, azul-violeta, verde y amarillo-naranja: son líneas del mercurio en 436, 546 y 577–579 nm (ley 2). Dibuja su posición relativa.
4. Apunta a una pared blanca iluminada por el Sol. Con una rendija fina y paciencia, se ven algunas rayas oscuras de Fraunhofer sobre el continuo (ley 3); la más fácil es la D del sodio, en el amarillo.
5. Medir la rejilla. Quita el CD de la caja. Apunta con un puntero láser rojo (λ ≈ 650 nm) perpendicular al CD sobre una pared a 1 m; mide con la regla la distancia entre el reflejo central y el primer punto lateral ($m = 1$), calcula $\tan\theta$ y luego $\theta$ y $\sin\theta$. Con $d\sin\theta = \lambda$ obtén $d$. Con $d = 1{,}6\ \mu$m y $\lambda = 650$ nm esperas $\sin\theta = 0{,}406$, $\theta \approx 24°$. (Si no hay láser, calcula a qué ángulo deben salir el rojo de 656 nm y el violeta de 410 nm y compáralo con la anchura del arcoíris que ves.)

Pregunta final: el rojo de Hα sale a 24° y el violeta de Hδ a 15°. Si una estrella se alejara a 3000 km/s, Hα se correría 6,6 nm. ¿Cuántos grados cambiaría su ángulo de salida en tu CD? ¿Podrías notarlo con un transportador? ¿Qué necesitarías para medir el corrimiento de la estrella de Barnard (0,24 nm)?

Ejercicios

Nivel básico

1. Calcula con la fórmula de Balmer la longitud de onda de la línea con $n = 7$ (Hε). ¿Es visible?

2. Una estrella se aleja a 30 km/s. ¿En qué longitud de onda aparece su Hα?

3. En el espectro de Arturo la línea Hα está en 656,27 nm. ¿Se acerca o se aleja, y a qué velocidad?

Nivel medio

4. La Tierra orbita al Sol a 29,8 km/s. Si observas una estrella situada en la dirección del movimiento de la Tierra, ¿cuánto se desplaza su Hα respecto a lo que verías seis meses después? ¿Por qué los catálogos dan velocidades «heliocéntricas»?

5. Para ver la rotación del Sol en Hα hay que distinguir un desplazamiento de 8,8 pm entre los dos bordes. El poder de resolución de un espectrógrafo es $\mathcal{R} = \lambda/\Delta\lambda_{\min}$. ¿Qué $\mathcal{R}$ hace falta? Un espectroscopio de CD tiene $\mathcal{R} \approx 100$: ¿cuál es la mínima velocidad que puede medir?

6. Una galaxia tiene $z = 0{,}010$. Calcula su velocidad de alejamiento y, con la ley de Hubble $v = H_0 d$ y $H_0 = 70$ km/s/Mpc, su distancia en Mpc y en millones de años luz (1 Mpc = 3,26 millones de años luz).

Nivel reto

7. En una estrella binaria, la línea Hα de una de las componentes oscila entre 656,13 y 656,43 nm con un periodo de 10,0 días. Suponiendo órbita circular vista de canto, calcula la velocidad orbital y el radio de la órbita en km y en UA (1 UA = $1{,}496 \times 10^{8}$ km).

8. El espectrógrafo ELODIE con el que se descubrió 51 Pegasi b tenía $\mathcal{R} \approx 42\,000$, es decir, $\Delta\lambda_{\min} \approx 0{,}016$ nm en Hα. El corrimiento producido por el planeta es $1{,}2 \times 10^{-4}$ nm. ¿Cuántas veces más pequeño es el corrimiento que la mínima separación resoluble? ¿Cómo es posible medirlo entonces?

9. Una compañera aplica $v = cz$ a un cuásar con $z = 2$ y concluye que se aleja al doble de la velocidad de la luz. Explica qué está mal y qué sí se puede afirmar.

Recuerda

• Kirchhoff: sólido o gas denso caliente → continuo; gas tenue caliente → líneas de emisión; continuo a través de gas tenue frío → líneas de absorción. El Sol y las estrellas son el tercer caso.
• Balmer: $1/\lambda = R_H(1/4 - 1/n^2)$; Hα = 656,28 nm, Hβ = 486,13 nm, Hγ = 434,05 nm, Hδ = 410,17 nm; límite 364,7 nm.
• Doppler: $\Delta\lambda/\lambda_0 = v_r/c$ (para $v \ll c$). Rojo = se aleja, azul = se acerca. Es la misma fracción para todas las líneas.
• Barnard: −110,5 km/s → −0,24 nm. Sol: ±2 km/s → ±4,4 pm. Andrómeda: −301 km/s. Coma: $z = 0{,}024$. 51 Peg: 56 m/s → $1{,}2 \times 10^{-4}$ nm.
• Un CD es una rejilla de 625 líneas/mm: $d\sin\theta = m\lambda$.