Un pozo sin sombra
Hace más de 2 200 años, en Egipto, vivía un sabio llamado Eratóstenes. Era el director de la Biblioteca de Alejandría, la más grande del mundo antiguo.
Un día leyó algo curioso. En la ciudad de Siena (hoy Asuán), muy al sur, había un pozo profundo. Un día al año, al mediodía, el Sol iluminaba el fondo del pozo. Los palos no daban sombra. El Sol estaba justo encima.
Eratóstenes se preguntó: ¿ese mismo día, a la misma hora, los palos de Alejandría tampoco dan sombra?
Lo midió. En Alejandría sí había sombra. Una sombra corta, pero sombra.
¿Cómo puede ser? Es el mismo Sol y es el mismo momento.
La Tierra es redonda
La respuesta es que la Tierra es redonda, como una pelota.
Piensa en una naranja con dos palillos clavados, uno en el «ecuador» y otro un poco más arriba. Si alumbras la naranja con una linterna de lejos, un palillo apunta a la luz y no da sombra. El otro está un poco inclinado respecto a la luz y sí da sombra.
Los dos palos de Eratóstenes estaban clavados «derechos» en el suelo, pero como la Tierra se curva, apuntaban en direcciones un poco distintas.
Y lo más importante: el ángulo de la sombra en Alejandría es el mismo ángulo que la Tierra se curva entre Siena y Alejandría.
El ángulo de una sombra
¿Qué es el ángulo de una sombra? Dibuja el palo de pie y la sombra en el suelo. Une la punta del palo con la punta de la sombra. Esa línea es el rayo de Sol.
El ángulo entre el palo y el rayo de Sol es el ángulo de la sombra.
- Sol justo encima: no hay sombra, ángulo 0°.
- Sombra cortita: ángulo pequeño.
- Sombra tan larga como el palo: ángulo de 45°, la mitad de un ángulo recto.
Eratóstenes midió en Alejandría un ángulo de 7,2 grados. Un ángulo pequeño: poco más que la décima parte de un ángulo recto (90 ÷ 10 = 9).
La cuenta de Eratóstenes
Una vuelta completa tiene 360 grados. ¿Cuántas veces cabe 7,2 en 360?
Entonces el pedazo de Tierra entre Siena y Alejandría es una cincuentava parte de la vuelta completa. Como si cortaras una pizza en 50 pedazos y te quedaras con uno.
Eratóstenes sabía la distancia entre las dos ciudades: 5 000 estadios. El estadio era la medida de longitud de los griegos.
Si un pedazo mide 5 000 estadios y la vuelta tiene 50 pedazos:
¡La vuelta completa a la Tierra! Sin salir de Egipto.
¿Cuánto es eso en kilómetros?
Nadie sabe con seguridad cuánto medía el estadio de Eratóstenes. Hay dos medidas posibles:
| Si el estadio medía… | 250 000 estadios son… |
|---|---|
| unos 157 metros y medio | unos 39 000 km |
| unos 185 metros | unos 46 000 km |
Hoy, con satélites, sabemos que la vuelta a la Tierra pasando por los polos mide 40 008 km. Alrededor del ecuador, un poquito más: 40 075 km.
Eratóstenes se acercó muchísimo. Con un palo, una sombra y una división.
Lo repetimos en Colombia
Podemos hacer la misma cuenta con dos ciudades colombianas que están casi en la misma línea norte–sur: Bogotá y Santa Marta.
El 21 de marzo, al mediodía, se midió el ángulo de la sombra en las dos ciudades:
| Ciudad | Ángulo de la sombra |
|---|---|
| Santa Marta | 11,2° |
| Bogotá | 4,7° |
La diferencia es 11,2 − 4,7 = 6,5 grados. Ese es el ángulo que la Tierra se curva entre las dos ciudades.
La distancia de Bogotá a Santa Marta, en línea recta hacia el norte, es de unos 726 km.
Ahora, la regla de tres: si 6,5 grados son 726 km, ¿cuántos kilómetros son 360 grados?
Primero, cuántos kilómetros tiene un grado:
Luego, los 360 grados de la vuelta completa:
(Con las cifras sin redondear sale 40 200 km.) ¡Casi exacto! La vuelta a la Tierra mide 40 008 km.
Juega con el simulador
El simulador dibuja la Tierra, los dos palos y sus sombras. Muestra la cuenta completa y cuánto se equivoca.
- Pulsa Siena–Alejandría. Comprueba que salen 250 000 estadios. Cambia la unidad entre «estadios (157.5 m)» y «estadios (185 m)»: ¿con cuál se parece más a 40 008 km?
- Pulsa Bogotá–Santa Marta (equinoccio). ¿Cuántos kilómetros da la vuelta completa? ¿Cuánto se equivoca?
- Mueve el ángulo de Santa Marta un poco: de 11,2° a 12,2°. ¿Cuánto cambia el resultado? Por eso hay que medir con mucho cuidado.
- Quita la casilla Exagerar. Así de pequeños son los palos comparados con la Tierra… y aun así la sombra sirve para medirla.
- Δα
- 7.20° (1/50.0 de vuelta)
- d
- 5 000 estadios (157.5 m) ≈ 788 km
- C
- 250 000 estadios ≈ 39 375 km
- R
- 6 267 km
- Real
- C meridional = 40 008 km (R = 6 367 km); ecuatorial 40 075 km
- Error
- −1.6 %
Actividad: mide el ángulo de tu sombra
Necesitas: un palo recto de 30 cm (o una regla), plastilina para pararlo derecho, una hoja grande, un lápiz, una cinta métrica, un transportador y un lugar plano con sol cerca del mediodía.
- Clava el palo en la plastilina sobre la hoja, bien vertical. Compruébalo mirándolo desde dos lados.
- A las 12 del día (o a la hora en que la sombra sea más corta, como aprendiste con el reloj de sol) marca la punta de la sombra y mide su largo. Anota también la altura del palo.
- En una hoja aparte, dibuja el palo y la sombra a escala: por ejemplo, 1 cm del dibujo por cada 2 cm reales. Dibuja el palo de pie y la sombra acostada, formando un ángulo recto.
- Une la punta del palo con la punta de la sombra. Ese es el rayo de Sol.
- Con el transportador, mide el ángulo entre el palo y el rayo. Ese es el ángulo de tu sombra.
- Anota la fecha, la hora y el ángulo. Si un colegio de otra ciudad hace lo mismo el mismo día, podrán repetir la cuenta de Eratóstenes.
Pregunta: en el equinoccio (21 de marzo o 23 de septiembre), el ángulo de la sombra al mediodía es igual a la latitud de tu ciudad. ¿Qué ángulo te dio? Búscala en un mapa y compara.
Ejercicios
- En Alejandría el ángulo era 7,2° y 360 ÷ 7,2 = 50. Si el ángulo hubiera sido de 9°, ¿en cuántos pedazos se dividiría la vuelta completa?
Ver solución
360 ÷ 9 = 40 pedazos. Un ángulo más grande significa que las ciudades están más separadas, así que la vuelta se divide en menos pedazos.
- Dos ciudades están separadas por 9° de curvatura y por 1 000 km. ¿Cuánto mide la vuelta completa a ese planeta?
Ver solución
360 ÷ 9 = 40 pedazos. 1 000 × 40 = 40 000 km. Sería un planeta casi como la Tierra.
- En Bogotá, ¿cuántos kilómetros hay en un grado si 6,5 grados son 726 km? Redondea.
Ver solución
726 ÷ 6,5 ≈ 112 km por grado (el valor exacto es 111,7). Es un número útil: en toda la Tierra, un grado de norte a sur son unos 111 km.
- Eratóstenes obtuvo 250 000 estadios. Si el estadio medía 157,5 m, ¿cuántos kilómetros son? Pista: 250 000 × 157,5 m, y luego pasa de metros a kilómetros dividiendo entre 1 000.
Ver solución
250 000 × 157,5 = 39 375 000 m. En kilómetros: 39 375 000 ÷ 1 000 = 39 375 km. Comparado con 40 008 km, le faltaron unos 630 km: ¡muy poco para una medida tan grande!
- Lucía midió en Cali un ángulo de 3,5° el 21 de marzo y su amigo en Barranquilla midió 11°. Ordena las dos ciudades de sur a norte y explica cómo lo sabes.
Ver solución
En el equinoccio, el ángulo de la sombra es la latitud. Cali está a 3,5° y Barranquilla a 11°, así que Cali está más al sur y Barranquilla más al norte. Entre las dos hay 11 − 3,5 = 7,5° de curvatura, unos 7,5 × 112 ≈ 840 km de norte a sur.
✦ Mini-prueba
Recuerda
- La Tierra es redonda: por eso dos palos verticales en ciudades distintas dan sombras distintas al mismo tiempo.
- El ángulo de la sombra se mide entre el palo y el rayo de Sol.
- La diferencia de ángulos entre dos ciudades es cuánto se curva la Tierra entre ellas.
- Regla de tres: si 6,5° son 726 km, un grado son unos 112 km y 360° son unos 40 000 km.
- Eratóstenes lo calculó hace 2 200 años con un palo, una sombra y una división. Hoy sabemos que la vuelta mide 40 008 km.
🍎 Guía docente
- Tiempo
- 2 sesiones de 55 min + una medición al mediodía
- Estándar MEN
- Ciencias Naturales 4.º a 5.º (MEN, 2006): «Describo las características físicas de la Tierra y su atmósfera»; «Realizo mediciones con instrumentos convencionales (balanza, báscula, cronómetro, termómetro...) y no convencionales (paso, cuarta, pie, braza, vaso...)»; «Registro mis observaciones, datos y resultados de manera organizada y rigurosa (sin alteraciones), en forma escrita y utilizando esquemas, gráficos y tablas». Matemáticas 4.º a 5.º: «Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas»; «Resuelvo y formulo problemas en situaciones de proporcionalidad directa, inversa y producto de medidas»; «Identifico, en el contexto de una situación, la necesidad de un cálculo exacto o aproximado y lo razonable de los resultados obtenidos».
- Evidencia de aprendizaje
- Explica con la naranja y la linterna por qué dos palos verticales dan sombras distintas; mide el ángulo de una sombra con un dibujo a escala y el transportador; resuelve la regla de tres de Bogotá–Santa Marta y compara el resultado con 40 008 km diciendo si la estimación es buena.
Materiales
- Naranja, dos palillos y una linterna
- Palos de 30 cm, plastilina, cinta métrica, transportadores y hojas grandes
- Fotocopia de la tabla de ángulos de Bogotá y Santa Marta
- Computador o tableta con el simulador
- Mapa de Colombia con latitudes
Secuencia sugerida
Sesión 1. La historia y la geometría (55 min). Inicio (10 min): el pozo de Siena; ¿por qué en Alejandría sí había sombra? Hipótesis en el tablero. Desarrollo (35 min): naranja con dos palillos y linterna lejana; luego cada grupo dibuja un palo y una sombra a escala y mide el ángulo con el transportador. Se presenta la cuenta de Eratóstenes paso a paso (360 ÷ 7,2 = 50; 5 000 × 50). Cierre (10 min): ejercicios 1 y 2.
Sesión 2. Colombia y el simulador (55 min). Inicio (10 min): tabla de ángulos de Bogotá y Santa Marta; ¿cuánto se curva la Tierra entre ellas? Desarrollo (30 min): regla de tres en el cuaderno (km por grado, luego × 360) y comprobación con el simulador, retos 1 a 4; ejercicio 3 y 4. Cierre (15 min): ejercicio 5 y mini-prueba. Se programa la medición de la sombra al mediodía (actividad) y, si es posible, se contacta un colegio de otra ciudad para repetir la cuenta con datos propios.
Nota sobre los datos. Los ángulos de Bogotá (4,7°) y Santa Marta (11,2°) son los que corresponden al mediodía solar del equinoccio, cuando el ángulo de la sombra coincide con la latitud. En otra fecha los dos ángulos cambian, pero su diferencia se mantiene en 6,5°, como se puede comprobar en el simulador con el preajuste del 21 de junio. La distancia de 726 km es la separación norte–sur entre las dos ciudades (111,2 km por grado de latitud), no la distancia por carretera.
Errores frecuentes
- Creer que la sombra cambia porque «el Sol está más lejos» de una ciudad. Con la naranja se ve que la luz llega igual a los dos palillos; lo que cambia es la inclinación del palillo respecto a la luz.
- Medir el ángulo entre la sombra y el palo en vez de entre el palo y el rayo. Marcar con color el rayo en el dibujo a escala antes de usar el transportador.
- Dividir 726 entre 360 en lugar de entre 6,5. Volver a la pregunta: «¿cuántos kilómetros tiene UN grado?».
- Tomar el resultado de Eratóstenes como «equivocado» porque no da 40 008 exacto. Comparar: 39 375 frente a 40 008 es un error de menos de 2 %; discutir qué es una buena estimación.
- Clavar el palo inclinado. Comprobar la vertical con una plomada (hilo y tuerca) o mirando desde dos lados.